高中数学第二章平面解析几何2.3.1圆的标准方程课件

2 3 1圆的标准方程 一 二 三 一 圆的定义 问题思考 1 填空 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 定点是圆心 定长是圆的半径 设M x y 是 C上的任意一点 点M在 C上的条件是 CM r r为 C的半径 2 平面内到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是什么 提示 是一个以定点为圆心 以定长为半径的圆面 一 二 三 二 圆的方程 问题思考 1 在平面直角坐标系中 圆是函数的图象吗 提示 根据函数知识 对于平面直角坐标系中的某一曲线 如果垂直于x轴的直线与此曲线至多有一个交点 那么这条曲线是函数的图象 否则 不是函数的图象 对于平面直角坐标系中的圆 垂直于x轴的直线与其至多有两个交点 因此圆不是函数的图象 2 填空 1 圆心在坐标原点 半径为r的圆的标准方程为x2 y2 r2 2 圆心坐标为 a b 半径为r的圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 一 二 三 答案 A 一 二 三 三 点与圆的位置关系 问题思考 1 用数形结合的思想方法说明直线y k x 3 与圆x2 y2 16的位置关系怎样 提示 相交 因为直线y k x 3 恒过定点 3 0 又点 3 0 在圆x2 y2 16的内部 故直线与圆是相交的 2 填空 设点P x0 y0 和圆C x a 2 y b 2 r2 则 点P在圆上 x0 a 2 y0 b 2 r2 PC r 点P在圆外 x0 a 2 y0 b 2 r2 PC r 点P在圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2 PC r 一 二 三 3 做一做 点 1 1 在圆 x a 2 y a 2 4的外部 则a的取值范围为 解析 由题意知 1 a 2 1 a 2 4 所以a 1或a 1 答案 1 1 一 二 三 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 x 2 2 y 3 2 4是表示以 2 3 为圆心 以2为半径的圆 2 在平面直角坐标系中 只要确定了圆心和半径 那这个圆的标准方程就确定了 3 与两坐标轴均相切的圆的标准方程可设为 x R 2 y R 2 R2 其中R为圆的半径 4 函数y b r 0 的图象是以 a b 为圆心 半径为r的位于直线y b下方的半圆弧 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思想方法 直接法求圆的标准方程 例1 1 圆心是C 3 4 半径长为5的圆的方程为 A x 3 2 y 4 2 5B x 3 2 y 4 2 25C x 3 2 y 4 2 5D x 3 2 y 4 2 25 2 已知点A 4 5 B 6 1 则以线段AB为直径的圆的方程为 解析 1 因为圆心是C 3 4 半径长为5 所以圆的方程为 x 3 2 y 4 2 25 2 AB的中点坐标即为圆心坐标C 1 3 又圆的半径r AC 所以所求圆的方程为 x 1 2 y 3 2 29 答案 1 D 2 x 1 2 y 3 2 29 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟通过以上例题可总结出以下规律 1 由圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2可知 圆心为 a b 半径为r 它体现了圆的几何性质 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2中有三个参数a b r 只要求出a b r 圆的方程也就确定了 因此确定圆的方程需三个独立条件 其中圆心是圆的定位条件 半径是圆的定形条件 2 几种特殊形式的圆的标准方程 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练1圆心为 1 1 且过原点的圆的方程是 A x 1 2 y 1 2 1B x 1 2 y 1 2 1C x 1 2 y 1 2 2D x 1 2 y 1 2 2解析 圆的半径r 圆心坐标为 1 1 所以圆的标准方程为 x 1 2 y 1 2 2 答案 D 探究一 探究二 探究三 思想方法 待定系数法求圆的标准方程 例2 求下列圆的方程 1 圆心在直线y 2x上 且与直线y 1 x相切于点 2 1 2 圆心C 3 0 且截直线y x 1所得的弦长为4 3 已知一个圆关于直线2x 3y 6 0对称 且经过点A 3 2 B 1 4 思路分析 利用圆的标准方程 把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解 解 1 设圆心为 a 2a 半径为r 则圆的方程为 x a 2 y 2a 2 r2 所以所求圆的方程为 x 1 2 y 2 2 2 探究一 探究二 探究三 思想方法 2 设圆的半径为r 则圆的方程为 x 3 2 y2 r2 利用点到直线的距离公式可以求得 所以所求圆的方程为 x 3 2 y2 12 探究一 探究二 探究三 思想方法 即x 3y 1 0 因为圆心在弦AB的垂直平分线上 也在对称轴上 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 待定系数法求圆的标准方程 需求出圆心和半径 即列出关于a b r的方程组 求出a b r 一般步骤如下 1 根据题意 设所求的圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 2 根据已知条件 建立关于a b r的方程组 3 解方程组 求出a b r 代入圆的方程中 求出圆的标准方程 2 有时求圆的方程时 用上初中所学圆的几何性质往往使问题容易解决 圆的常用几何性质如下 1 圆心在过切点 且与切线垂直的直线上 2 圆心必是两条不平行的弦的中垂线的交点 3 不过圆心的弦 弦心距d 半弦长m及半径r满足r2 d2 m2 4 直径所对的圆周角是90 即圆的直径的两端点与圆周上异于端点的任意一点的连线互相垂直 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练2求圆心在直线x 2y 3 0上 且过点A 2 3 B 2 5 的圆的标准方程 解 设点C为圆心 因为点C在直线l x 2y 3 0上 所以可设点C的坐标为 2a 3 a 又因为该圆经过A B两点 所以 CA CB 解得a 2 所以圆心坐标为C 1 2 半径r 故所求圆的标准方程为 x 1 2 y 2 2 10 探究一 探究二 探究三 思想方法 点与圆的位置关系 例3 已知在平面直角坐标系中有A 0 1 B 2 1 C 3 4 D 1 2 四点 这四点能否在同一个圆上 为什么 思路分析 先确定出过其中三点的一个圆的方程 再验证第四个点是否在这个圆上 即可得出答案 解 设经过A B C三点的圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 把A B C的坐标分别代入 得 所以 经过A B C三点的圆的标准方程是 x 1 2 y 3 2 5 把点D的坐标 1 2 代入上述圆的方程 得 1 1 2 2 3 2 5 所以 点D在经过A B C三点的圆上 即A B C D四点在同一个圆上 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟判断点P x0 y0 与圆 x a 2 y b 2 r2的位置关系有几何法和代数法两种 1 对于几何法 主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小 2 对于代数法 主要把点的坐标代入圆的标准方程 左端与r2比较 探究一 探究二 探究三 思想方法 试求过三点A 0 1 B 2 1 C 3 4 的圆的方程 并且判断点 3 6 与所求圆的关系 解 所求方程同例题中的结论 x 1 2 y 3 2 5 经判断 因为点 3 6 代入圆方程左边可得 3 1 2 6 3 2 13 5 因此点 3 6 在该圆外 探究一 探究二 探究三 思想方法 利用数形结合思想求有关圆的最值问题 典例 如图所示 圆C x 8 2 y 6 2 1 点A 0 1 B 0 1 设P是圆上的动点 令d PA 2 PB 2 求d的最大值和最小值 思路点拨 本题考查点与圆的位置关系及数形结合思想 可先列出函数关系式 再借助图形特点解决问题 解 设点P的坐标为 x0 y0 所以d PA 2 PB 2 因为原点O在圆外 点C的坐标为 8 6 圆的半径为1 所以 OP max CO 1 10 1 11 OP min CO 1 10 1 9 所以dmax 2 112 2 244 dmin 2 92 2 164 探究一 探究二 探究三 思想方法 方法点睛如图所示 点P x0 y0 是圆C x a 2 y b 2 r2 r 0 外一点 则圆上到点P距离最近的点为点P与圆C的圆心的连线与圆的交点A 圆上离点P最远的点为点P与圆C的圆心的连线的延长线与圆的交点B 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练实数x y满足x2 y2 4 y 0 试求m x y的取值范围 解 作出半圆 x2 y2 4 y 0 和动直线l y x m 如图知 在l与半圆有公共点的前提下 当l与半圆相切时 纵截距最大 设这时切点为B l与y轴相交于A 则OB AB OB 2 OAB 30 OA 4 当l通过半圆与x轴的负半轴的交点C时 纵截距最小 设这时l与y轴相交于D点 OC 2 CDO 30 1 2 3 4 5 6 1 圆 x 3 2 y 2 2 13的周长是 答案 B 1 2 3 4 5 6 2 以点A 5 4 为圆心 且与x轴相切的圆的标准方程为 A x 5 2 y 4 2 16B x 5 2 y 4 2 16C x 5 2 y 4 2 25D x 5 2 y 4 2 25解析 因为圆与x轴相切 所以半径r 4 所以圆的标准方程为 x 5 2 y 4 2 16 答案 A 1 2 3 4 5 6 3 圆 x 2 2 y2 5关于原点 0 0 对称的圆的方程为 A x 2 2 y2 5B x2 y 2 2 5C x 2 2 y 2 2 5D x2 y 2 2 5解析 求圆关于某点或某直线的对称图形的方程 主要是求圆心关于点或直线的对称点 易求得圆心 2 0 关于 0 0 的对称点为 2 0 则所求的圆的方程为 x 2 2 y2 5 答案 A 1 2 3 4 5 6 A 一条射线B 一个圆C 两条射线D 半个圆答案 D 1 2 3 4 5 6 5 已知圆C经过A 5 1 B