5.3向量的坐标运算(第1课时)PPT演示课件

第五章平面向量 向量的坐标运算 第讲 3 第一课时 1 2 3 一 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内 分别取与x轴 y轴正方向相同的两个单位向量i j作为基底 对任一向量a 有且只有一对实数x y 使得a xi yj 则实数对 x y 叫做向量a的直角坐标 记作a x y 其中x y分别叫做a在x轴 y轴上的坐标 a x y 叫做向量a的坐标表示 相等的向量其坐标相同 坐标相同的向量是相等的向量 4 二 平面向量的坐标运算1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 2 如果A x1 y1 B x2 y2 则AB 3 若a x y 则 a 4 如果a x1 y1 b x2 y2 则a b的充要条件是 x1 x2 y1 y2 x2 x1 y2 y1 x y x1y2 x2y1 0 5 三 平面向量数量积的坐标表示1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b 2 若a x y 则 a 2 a a a 3 若A x1 y1 B x2 y2 则 AB 4 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 x2 y2 x1x2 y1y2 0 6 5 若a x1 y1 b x2 y2 a与b的夹角为 则cos 7 1 对于n个向量a1 a2 an 若存在n个不全为零的实数k1 k2 kn 使得k1a1 k2a2 knan 0成立 则称向量a1 a2 an是线性相关的 按此规定 能使向量a1 1 0 a2 1 1 a3 2 2 是线性相关的实数k1 k2 k3的值依次为 只需写出一组值即可 解 根据线性相关的定义得k1 1 0 k2 1 1 k3 2 2 0 则令k3 1 则k2 2 k1 4 所以k1 k2 k3的一组值为 4 2 1 4 2 1 8 2 已知平面向量a 1 2 b 2 m 且a b 则2a 3b A 2 4 B 3 6 C 4 8 D 5 10 解 由a b 得m 4 所以2a 3b 2 4 6 12 4 8 故选C C 9 3 已知平面向量a 1 3 b 4 2 a b与a垂直 则 A 1B 1C 2D 2解 由于 a b 4 3 2 a 1 3 且 a b a 所以 4 3 3 2 0 即10 10 0 所以 1 故选A A 10 题型1向量的坐标 1 设向量a 1 3 b 2 4 c 1 2 若表示向量4a 4b 2c 2 a c d的有向线段首尾相接能构成四边形 求向量d的坐标解 根据题意 4a 4b 2c 2 a c d 0 即6a 4b 4c d 0 所以d 4c 6a 4b 4 1 2 6 1 3 4 2 4 2 6 11 点评 坐标向量的加减运算 按对应的坐标进行加减运算即可 涉及到已知起点和终点坐标求向量时 用终点坐标减去起点坐标即可 12 点P在平面上作匀速直线运动 速度向量v 4 3 即点P的运动方向与v相同 且每秒移动的距离为 v 个单位长度 设开始时点P的坐标为 10 10 则5秒后点P的坐标为 A 2 4 B 30 25 C 5 10 D 10 5 解 设点A 10 10 5秒后点P运动到B点 则 5v 所以 5v 所以 5v 10 10 5 4 3 10 5 故选D D 13 题型2向量的模 2 已知向量a cos23 cos67 b cos68 cos22 求 a tb t R 的最小值 解 由已知得a cos23 sin23 b sin22 cos22 所以 a b 1 a b sin22 cos23 cos22 sin23 sin45 所以 a tb 2 a tb 2 a2 2ta b t2b2所以当t 时 a tb min 14 点评 坐标向量a x y 的模是一个非负数 涉及到三角函数式的运算时 注意先将三角函数式化简再求解 15 已知向量m cos sin 和n sin cos 2 求 m n 的最大值 解 m n cos sin cos sin 因为 2 所以所以cos 1 所以 m n max 16 已知a b c是同一平面内的三个向量 其中a 1 2 1 若 c 且c a 求c的坐标 2 若 b 且a 2b与2a b垂直 求a与b的夹角 解 1 设c x y 则 c 又c a 则2x y 所以或所以c 2 4 或c 2 4 题型3向量的平行与垂直 17 2 因为a 2b与2a b垂直 所以 a 2b 2a b 2 a 2 3a b 2 b 2 0 因为 b a 所以a b 所以所以a与b的夹角 为135 点评 两坐标向量的平行 或垂直 的充要条件是将向量运算转化为实数运算的依据 注意平行与垂直的充要条件极易弄错或混淆 18 设向量m a t2 k b 其中k 0 且为常数 n sa tb 其中s t是两个非零实数 若m n 1 试将s表示成关于t的函数s f t 2 若s f t 在区间 1 上是单调函数 求k的取值范围 解 1 因为m n 所以m n 0 即 a t2 k b sa tb 0 所以 sa2 t t2 k b2 t s t2 k a b 0 19 由题设知 a b 1 a b 0 所以 s t t2 k 0 即s t3 kt 所以s f t t3 kt t 0 k 0 且k为常数 2 若f t 在区间 1 上是增函数 则当t 1时 f t 3t2 k 0恒成立 即k 3t2恒成立 因为3t2 3 所以k 3 若f t 在区间 1 上是减函数 则当t 1时 f t 3t2 k 0恒成立 即k 3t2恒成立 这不可能 又k 0 所以k的取值范围是 0 3 20 1 建立平面向量的坐标 基础是平面向量基本定理 因此 对所给向量应会根据条件在x轴和y轴进行分解 求出其坐标 2 向量的坐标表示 实际是向量的代数表示 在引入向量的坐标表示后 即可使向量运算完全代数化 将数与形紧密地结合了起来 这样 很多