高中数学第一章计数原理1.5二项式定理课件

1 5二项式定理 一 二 一 二 名师点拨1 一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数 二项式系数与数字系数的积 是两个不同的概念 二项式系数一定为正值 而项的系数既可以是正值也可以是负值 还可以是0 一 二 答案 2 一 二 二 二项式系数表当n依次取1 2 3 时 a b n展开式的二项式系数如图所示 上图所示的表叫作二项式系数表 在二项式系数表中 有如下两个结论 一 二 一 二 名师点拨1 如果二项式的幂指数是偶数 中间一项的二项式系数最大 如果二项式的幂指数是奇数 中间两项的二项式系数相等并且最大 一 二 一 二 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 二项式定理中字母a b的顺序是可以任意变换的 2 二项式系数 与 二项式的展开式系数 可以相等 3 a b n的展开式第5项是 4 1 x n中 令x 1可得展开式的所有项系数和为2n 5 a b n的展开式中某一项的二项式系数与a b无关 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例1 1 求的展开式 2 化简 x 1 5 5 x 1 4 10 x 1 3 10 x 1 2 5 x 1 分析 1 可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开 2 分析式子的结构形式 逆用二项式定理求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开 对于形式较复杂的二项式 在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形 然后再展开 以使运算得到简化 记准 记熟二项式 a b n的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提 2 逆用二项式定理更要注意二项展开式的结构特点 如果项的系数是正负相间 则是 a b n的形式 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例2 已知在的展开式中 第9项为常数项 求 1 n的值 2 展开式中x5的系数 3 含x的整数次幂的项的个数 分析先根据通项确定n的值 再根据特定项的特征逐一求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 在通项公式五个元素 只要知道其中四个就可以求出第五个 同时注意幂指数n是正整数 r是自然数 且r n 在未知r n的情况下 用通项公式解题 一般都需要先将通项公式转化为方程 组 求出r n 再代入通项公式求解 2 利用通项公式可以解决以下问题 1 求指定项 2 求特征项 如常数项 即字母的次数为零 有理项 即字母的次数为整数等 3 求指定项 特征项的系数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 答案 1 B 2 D 3 15 探究一 探究二 探究三 思维辨析 例3 设 求下列各式的值 1 a0 2 a1 a2 a3 a4 a100 3 a1 a3 a5 a99 4 a0 a2 a100 2 a1 a3 a99 2 5 a0 a1 a100 探究一 探究二 探究三 思维辨析 分析要求常数项a0只需令x 0即可 而要求除了常数项a0之外的其他项的系数和 则令x 1求得所有项的系数和 由a1 a3 a5 a7对应的x的指数幂都是奇数 剩下各项对应的x的指数幂都是偶数 分别令x 1 x 1 可区别指数幂为奇数或偶数的项 a0 a1 a100 只要根据a0 a1 a2 a100的正负去绝对值号 再进行求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟二项式定理给出的是一个恒等式 对于a b的一切值都成立 因此 可将a b设定为一些特殊的值 在使用赋值法时 令a b等于多少 应就具体情况而定 有时取 1 有时取 1 也有时要取其他值 一般地 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式各项系数之和 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a1 a2 a7 解 1 令x 0可得 1 0 7 a0 则a0 1 令x 1可得 1 2 1 7 a0 a1 a2 a7 即a0 a1 a2 a7 1 7 1 所以a1 a2 a7 1 a0 2 2 由 1 得x 1时 a0 a1 a2 a7 1 7 1 令x 1得a0 a1 a2 a7 1 2 7 37 得2 a1 a3 a5 a7 1 37 3 a0 a1 a2 a7 a0 a1 a2 a7 37 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因二项式系数与项的系数混淆而致误 典例 设 x n展开式中 第二项与第四项的系数之比为1 2 试求含x2的项 易错分析二项式中二项式系数与展开式中某一项的系数及某一项这些不同的概念容易混淆而致误 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 1 2 3 4 1 化简 x 1 4 4 x 1 3 6 x 1 2 4 x 1 1得 A x4B x 1 4C x 1 4D x5解析原式 x 1 1 4 x4 故选A 答案A 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 3 在二项式的展开式中 各项系数之和为A 各项二项式系数之和为B 且A B 72 则n 解析 赋值法 由题意可知 B 2n 令x 1 得A 4n 由A B 72 得4n 2n 72 即2n 8 n 3 答案3 5 1 2 3 4 答案 40 5 1 2 3 4 5 已知 1 2x 7 a0 a1x a2x2 a7x7 求 1 a1 a2 a7 2 a1 a3 a5 a7 3 a0 a1 a2 a7 5 解 1 令x 0可得 1 0 7 a0 则a0 1 令x 1可得 1 2 1 7 a0 a1 a2 a7 即a0 a1 a2 a7 1 7 1 所以a1