奥数竞赛讲座18数学归纳法

奥数竞赛讲座18数学归纳法 教学视频网-公开课,优质课,展示课,课堂实录（.sp910./）竞赛讲座18-数学归纳法基础知识数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法在数学竞赛中占有很重要的地位1数学归纳法的基本形式 （1）第一数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果当n?n0（n0?N）时，P(n)成立；假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立，那么，根据对一切正整数n?n0时，P(n)成立 （2）第二数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果当n?n0（n0?N）时，P(n)成立；假设n?k(k?n0,k?N)成立，由此推得n?k?1时，P(n)也成立，那么，根据对一切正整数n?n0时，P(n)成立2数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法当n?1,2,3,?,l时，P (1),P (2),P (3),?,P(l)成立，假设n?k时P(k)成立，由此推得n?k?l时，P(n)也成立，那么，根据对一切正整数n?1时，P(n)成立 （2）反向数学归纳法设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果P(n)对无限多个正整数n成立；假设n?k时，命题P(k)成立，则当n?k?1时命题P(k?1)也成立，那么根据对一切正整数n?1时，P(n)成立3应用数学归纳法的技巧教学视频网（.sp910./）教学视频网-公开课,优质课,展示课,课堂实录（.sp910./） （1）起点前移有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n都成立，但命题本身对n?0也成立，而且验证起来比验证n?1时容易，因此用验证n?0成立代替验证n?1，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以因而为了便于起步，有意前移起点 （2）起点增多有些命题在由n?k向n?k?1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点 （3）加大跨度有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多 （4）选择合适的假设方式归纳假设为一定要拘泥于“假设n?k时命题成立”不可，需要根据题意采取第 一、第 二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用 （5）变换命题有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明5归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法例题分析例1用数学归纳法证明111(1?1)(1?)(1?)?(1?)?33n?1（n?N*,n?1）473n?2*例2已知对任意n?N，n?1，a n?0且a1?a2?a n?(a1?a2?a n)，3332求证a n?n例3如果正整数n不是6的倍数，则1986?1不是7的倍数例4设a1,a2,?,a n都是正数，证明na1?a2?a nn?a1a2?a nn例5已知函数f(x)的定义域为a,b，对于区间a,b内的任意两数c,d均有f(c?d1)?f(c)?f(d)求证对于任意x1,x2,?,xn?a,b，均有22f(x1?x2?x n1)?f(x1)?f(x2)?f(x n)n n例6试证对一切大于等于1的自然数n都有1?cos?cos2?cosn?2sin2n?1?2?2sin2n2例7试证对一切自然数n（n?1）都有2?2?n教学视频网（.sp910./）教学视频网-公开课,优质课,展示课,课堂实录（.sp910./）例8证明任一正方形可以剖分成任意个数多于5个的正方形例9设0?a?1，a1?1?a，a n?1?1?a，求证对一切n?N均有a n?1a n例10已知a1?a2?1，a n?2例11设f(n)?1?2n?1a n?1?(?1)?，求证对一切n?N，a n都是整数a n111?，是否存在关于正整数n的函数g(n)使等式23nf (1)?f (2)?f(n?1)?g(n)f(n)?1对于n?2的一切自然数都成立？并证明你的结论例12设整数数列an满足a1?1，a2?12，a3?20，且a n?3?2a n?2?2a n?1?a n证明任意正整数n，1?4a na n?1是一个整数的平方例13设x1,x2,?,x n为正数（n?2），证明222x nx nx12x2?1?2?2?2?n?1x12?x2x3x2?x3x4x n?1?x nx1x n?x1x2例14已知a1?1，a n?1?a n?1*（n?N,n?1），求证a9000?302a n2a n