考点31 数学归纳法及其应用（原卷版）

考点31 数学归纳法及其应用（原卷版） 考点31数学归纳法及其应用【知识框图】【自主热身，归纳总结】 11、(2019南京三模）对由0和1这两个数字组成的字符串，作如下规定按从左向右的顺序，当第一个子串“010”的最后一个0所在数位是第k(kN*，且k3)位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第k1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第km位(其中m3且mN*)，则称子串“010”在第km位出现；如此不断地重复下去如在字符串11010101010中，子串“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位和第11位出现记在n位由0，1组成的所有字符串中，子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n) (1)求f (3)，f (4)的值； (2)求证对任意的正整数n，f(4n1)是3的倍数 22、(20199）镇江期末）已知x，y为整数，且xy0，?0，2，n为正整数，cosx2y2x2y2，sin2xyx2y2，记A n(x2y2)n cosn，B n(x2y2)n sinn. (1)试用x，y分别表示A1，B1； (2)用数学归纳法证明对一切正整数n，A n均为整数 33、(2019）苏锡常镇调查（二）已知数列a n，a12，且a n1a2na n1对任意nN*恒成立求证 (1)a n1a na n1a n2a2a11(nN*)； (2)a n1n n1(nN*) 44、(20188南通、泰州一调） (1)用数学归纳法证明当xN*时，cosxcos2xcos3xcosnxsin?n12x2sin12x12(xR，且x2k，kZ)； (2)求sin62sin263sin364sin462018sin20186的值【问题探究，开拓思维】题型一运用数学归纳法证明等式知识点拨运用数学归纳法证明等式要注意三个步棸 1、验证对于成立的第一个数， 2、假设基础， 3、证通过假设基础验证n=n+1也成立。 例 11、(20199）南京、盐城一模）已知数列a n满足a11，a23，且对任意nN*，都有a1C0na2C1na3C2na n1C nn(a n21)2n1成立 (1)求a3的值； (2)证明数列a n是等差数列【变式11】(20199）泰州期末）已知函数f(x)1|2x1|，0x1，设f n(x)f n1(f1(x)，其中f1(x)f(x)，方程f n(x)0和方程f n(x)1根的个数分别为g n (0)，g n (1) (1)求g2 (1)的值； (2)证明g n (0)g n (1)1.【变式22】7(xx苏锡常镇调研（一）设|2，n为正整数，数列a n的通项公式a nsinn2tan n，其前n项和为S n. (1)求证当n为偶数时，a n0；当n为奇数时，a n(1)n12tan n； (2)求证对任何正整数n，S2n12sin21(1)n1tan2n【变式33】(xx6）南京三模）在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线yx2(x0)上已知点A(0，1)，P n(x n0，y n0)，nN*.记直线AP n的斜率为k n. (1)若k12，求P1的坐标； (2)若k1为偶数，求证k n为偶数23.思路分析 (1)先求得k nx n01x n0.题型二运用数学归纳法证明不等式知识点拨运用数学归纳法证明不等式处理运用假设基础，最关键的是要用到放缩法进行缩小或者放大。 有时也要运用综合法、分析法进行证明。 例例 22、(20199苏北三市期末）已知数列a n满足a113，a n12a2n2a n，nN*. (1)用数学归纳法证明a n?0，12； (2)令b n12a n，证明ni11b i3n13.【变式11】(20199）苏锡常镇调查（一）已知f(n)错误!错误!错误!错误!，g(n)错误!错误!错误!错误!，其中nN*，n2. (1)求f (2)，f (3)，g (2)，g (3)的值； (2)记h(n)f(n)g(n)，求证对任意的mN*，m2，总有h(2m)m12.【变式22】(92019南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港二调）已知a1，a2，a n(nN*，n4)均为非负实数，且a1a2a n2.证明 (1)当n4时，a1a2a2a3a3a4a4a11； (2)对于任意的nN*，n4，a1a2a2a3a n1a na na11.【变式33】(20199无锡期末）已知数列a n满足a123，1a n12a n1a n11(n2) (1)求数列a n的通项公式； (2)设数列a n的前n项和为S n，用数学归纳法证明S n 例例 33、(20199常州期末）是否存在实数a，b，c，使得等式135246n(n2)(n4)n（n1）4(an2bnc)对于一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由【变式11】(20199南通通州、海门、启东三县期末）设(qx)na0a1xa2x2a rx ra nx n，其中qR，nN*. (1)当q1时，化简nr0a rr1； (2)当qn时，记A nn（a0a1）2，B nnr0a r，试比较A n与B n的大小【变式22】(20188苏州期末）在正整数集N*上定义函数yf(n)，满足f(n)f(n1)122f(n1)，且f (1)2. (1)求证f (3)f (2)910； (2)是否存在实数a，b，使得f(n)1a?32nb1对任意正整数n恒成立，并证明你的结论【变式33】(20188）常州期末）记(x1)?x12?x1n(n2且nN*)的展开式中含x项的系