高考递推数列题型分类归纳解析2728

高考递推数列题型分类归纳解析2728 高考递推数列题型分类归纳解析对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构造把问题转化。 下面分类说明。 类型1a n?1?a n?f(n)解法把原递推公式转化为a n?1?a n?f(n)，利用累加法求解。 例1.变式:已知数列a n中a1?类型2a n?1?f(n)a n解法把原递推公式转化为例1:已知数列?an?满足a1?例2:已知a1?3，a n?1?变式:已知数列a n，满足a1=1，a n?a1?2a2?3a3?(n?1)a n?1(n2)，则a n的通项a n?已知数列?an?满足a1?11，a n?1?a n?2，求a n。 2n?n11，且a n?1?a n?,求a n。 24n2?1a n?1?f(n)，利用累乘法求解。 a n2na n，求a n。 ，a n?1?3n?13n?1a n(n?1)，求a n。 3n?2?1?_n?1n?21类型3a n?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。 解法（待定系数法）把原递推公式转化为a n?1?t?p(a n?t)，其中t?q，再利用换元法转化为等比数列求解。 1?p例:已知数列?an?中，a1?1，a n?1?2a n?1，求a n.变式:在数列?a n?中，若a1?1,a n?1?2a n?3(n?1)，则该数列的通项a n?_类型4a n?1?pa n?q n（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）。 （或a n?1?pa n?rq n,其中p，q,r均为常数）。 解法一般地，要先在原递推公式两边同除以qn?1，得a n?1pa n1?引入辅助数列?bn?（其中qn?1q qnq2b n?a np1），得再待定系数法解决。 b?b?n?1nnq qq511n?1,a n?1?a n?()，求a n。 632例:已知数列?an?中，a1?变式:设数列?a n?的前n项的和S n?412a n?2n?1?，n?1,2,3?333n32n（）求首项a1与通项a n；（）设T n?，n?1,2,3?，证明?T i?2S ni?1类型5递推公式为a n?2?pa n?1?qa n（其中p，q均为常数）。 解法一(待定系数法)先把原递推公式转化为a n?2?sa n?1?t(a n?1?sa n)?s?t?p其中s，t满足?解法二(特征根法)对于由递推公式a n?2?pa n?1?qa n，a1?,a2?给出的st?q?数列?an?，方程x?px?q?0，叫做数列?an?的特征方程。 若x1,x2是特征方程的两个根，当x1?x22时，数列?an?的通项为a n?Ax1n?1n?1，其中A，B由a1?,a2?决定（即把a1,a2,x1,x2和?Bx2n?1n?1,2，代入a n?Ax1n?1?Bx2，得到关于A、B的方程组）；当x1?x2时，数列?an?的通项为a n?(A?Bn)x1n?1，其中A，B由a1?,a2?决定（即把a1,a2,x1,x2和n?1,2，代入。 a n?(A?Bn)x1n?1，得到关于A、B的方程组）解法一（待定系数迭加法）:数列?an?3a n?2?5a n?1?2a n?0(n?0,n?N)，a1?a,a2?b，求数列?an?的通项公式。 3例:已知数列?an?中，a1?1,a2?2,a n?2?21a n?1?a n，求a n。 33变式:1.已知数列?a n?满足a1?1,a2?3,a n?2?3a n?1?2a n(n?N*).（I）证明数列?an?1?a n?是等比数列；（II）求数列?a n?的通项公式；2.已知数列?an?中，S n是其前n项和，并且S n?1?4a n?2(n?1,2,?),a1?1，?a n?1?2a n(n?1,2,?)，求证数列?bn?是等比数列；?a n,(n?1,2,?)，求证数列?是等差数列；求数列?an?的通项公式及前n项和。 n2设数列b n设数列c n类型6递推公式为S n与a n的关系式。 (或S n?f(a n)?S1?(n?1)a?解法这种类型一般利用n?与a n?S n?S n?1?f(a n)?f(a n?1)S?S?(n?2)n?1?n消去S n(n?2)或与S n?f(S n?S n?1)(n?2)消去a n进行求解。 1例已知数列?an?前n项和S n?4?a n?n?2.2 （1）求a n?1与a n的关系； （2）求通项公式a n.4变式:已知数列a n的前n项和S n满足S nS n2=3(?)式.r类型7a n?1?pa n(p?0,a n?0)12n?13(n?3),且S1?1,S2?,求数列a n的通项公2解法这种类型一般是等式两边取对数后转化为a n?1?pan?q，再利用待定系数法求解。 例已知数列a n中，a1?1,a n?1?12?a n(a?0)，求数列?a n?的通项公式.a变式:已知a1=2，点(a n,a n+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3， （1）证明数列lg(1+a n)是等比数列； （2）设T n=(1+a1)(1+a2)(1+a n)，求T n及数列a n的通项；类型8a n?1?f(n)a n解法这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为a n?1?pan?q。 g(n)a n?h(n)例已知数列a n满足a n?a n?1,a1?1，求数列a n的通项公式。 3?a n?1? 151、已知数列a n满足a 12、已知数列a n满足a n 3、若数列an中，a1=1，an?1=?1,n?2时，a n?1?a n?2a n?1a n，求通项公式。 ?a n?1,a1?1，求数列a的通项公式。 3?a n?1?1n2a n nN?，求通项ana n?2类型9周期型解法由递推式计算出前几项，寻找周期。 例若数列?a