中考数学解题思路之三

中考数学解题思路之三 中考数学解题思路之三分类思想与讨论方法东格致中学郁强所谓“分类讨论”就是在研究数学问题时，根据某一标准把研究对象进行分类，然后按类进行讨论。 分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法，初中数学中分类思想的教学是培养学生逐步建立逻辑思维能力较为有效的载体。 初中四年，是学生由形象的接受知识到抽象的感知知识的阶段。 学生通过对分类思想的建立和研究，培养了学生思维的条理性和缜密性，提高了学生全面周密地分析问题和解决问题的能力。 分类是讨论的前提，讨论是分类的延续，在建立了合理的分类后，只有找到正确的讨论方法，才能认为是完整的解决了问题。 分类思想是根据数学对象的本质与属性的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的数学思想方法。 数学分类思想须满足两点要求 （1）对称性，即保证分类的对象既不重复又不遗漏。 （2）同一性，即每次分类必须保持同一的分类标准。 初中数学分类思想的研究主要体现在以下三个基本的层面 一、数学知识点定义下的分类。 具体的体现在等腰三角形的底角和顶角的分类；等腰三角形的腰和底边的分类；不确定的相似三角形中对应顶点的分类等等。 此类问题的主要特点是由于数学知识点在定义时自身产生了分类，而问题的提问方式没有对该定义的分类内容进行解释，题意本身要求学生在解题的时候，根据定义的分类要求进行合理的分类讨论。 例 1、如图 （1），在直角三角形ABC中，直角边AC=3cm,BC=4cm.设P，Q分别为AB，BC上的动点，在点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，它们移动的速度均为每秒1cm，当Q点到达C点时，P点就停止移动设P，Q移动的时间t秒 （1）当t为何值时，?PBQ为等腰三角形？ （2）?PBQ能否与直角三角形ABC相似？若能，求t的值；若不能，说明理由（xx年黄浦区中考数学模拟试卷第24题）B QC PA图 （1）此题是典型的根据定义分类讨论的问题，第一小题要求确定?PBQ为等腰三角形，但是题目中未确定哪两条边相等，所以根据等腰三角形的定义进行适当的分类讨论，为了在讨论中不重复和不遗漏，对三条边BP、BQ两两相等进行了组合分类讨论，分成了 (1)BP=； (2)=BQ； (3)BP=BQ三种不同的情况。 第二小题要求确定?PBQ使其与?ABC相似，但是题目中未确定相似三角形的对应顶点，所以根据相似三角形的定义进行适当的分类讨论，而本题根据图形特点存在公共角，则若?PBQ与?ABC，存在 (1)BP BQBP BQ?； (2)两种不同的情况。 AB BC BC AB这类问题的分类思想还是明确的，学生也是容易掌握分类和讨论的方法，相对的难点在于分类后的解题方法会有一些困难，需要学生进行训练和总结。 二、数学问题中图形形状及位置不确定情况下的分类。 如不确定的三角形锐角、钝角与直角的分类；不确定三角形的高存在外高和内高的分类；圆中两条平行弦在圆心同侧和异侧的分类；两圆相切存在内切和外切的分类；两圆相交两圆心在公共弦同侧和异侧的分类等等。 此类问题较多也较为复杂和隐蔽，很多情况下的分类是学生意想不到的。 例 2、若等腰三角形一腰上的高与该腰所对底角平分线的夹角是10，则此三角形的顶角是多少度.例 3、半径为25的圆O中的两条平行弦，AB=40，CD=48，求两弦之间的距离？此两题并不是很难理解，对于例2，学生很快会告诉我答案为答案不完整，还存在另一个解144度，我告诉他们3220度，很多学生的疑惑是“另一解是如何产生的？”3“此题我为什么不知道要分类？”。 由于问题中没有给出具体的图形，所以要求我们自己进行画图，学生思维的习惯性会画出图 (2)，而很多人会忽略了图 (3)的情况，即不确定的一个三角形的同一条边所对的高和角平分线存在两种不同的位置关系。 同样分析例3，学生也是想不到画两条弦时有在圆心的同侧和异侧两种不同情况的分类。 对于这类问题，学生不是不会做，而是分类思想是学生在解题时不容易想到，对于这类问题一方面在平时不断的积累，不断的总结，使再次遇上同类型问题时有分类的意识。 其次是在分析题目时要不断的问自己（特别是未给出图形，自己画图时），是否有其他情况存在的可能性。 B图 （2）D HCBA AH DC图 （3） 三、数学运动型问题中不同情况下的分类。 具体体现在点在线段、射线、直线及折线上运动时在不同的位置产生的分类；图形运动中构成相应图形不同情况下的分类等等。 此类问题的主要特点是点或是图形在运动，由于运动产生了不同的情况。 例 4、如图 （4），?ACB与?DFE是全等的两个直角三角形，其中?ACB=?DFE=90，AC=DF=4，BC=EF=3，点D、C、F、B在同一条直线上，E点E在边AC上，?DFE沿着直线DB向右平移的过程中，设平移过程中的平移距离为x，?DFE与?ACB的公共部分的面积为y，D0A在0?x?7移动过程中，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域.C（F）图 (4)B此题的题意非常清楚，我们通过观察，发现?DFE在移动过程中与?ACB的公共部分分成了四种情况 (1)如图 (5)图形构成梯形，此时x的范围为0?x?图形构成五边形，此时x的范围为3； (2)如图 (6)43?x?3； (3)如图 (7)图形构成四边形，此时x的4范围为3?x?4； (4)如图 (8)图形构成三角形，此时x的范围为4?x?7。 D E A AE AEAE CF图 (5)B DF C图 (6)B DC图 (7)B FC DB图 (8)F此类问题涉及点或图形的运动，一