勾股定理全章知识点归纳总结

勾股定理全章知识点归纳总结 勾股定理全章知识点归纳总结一基础知识点1勾股定理一基础知识点1勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 （即a2+b2c2）要点诠释勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用 （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，90C=，则22c a b=+，22b ca=?，22a cb=?） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c，则有关系a2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2a2+b2，则ABC是以C为直角的直角三角形（若c2a2+b2，则ABC是以C为钝角的钝角三角形；若c2 （定理中a，b，c及222a bc+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222a cb+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）判断直角三角形其他方法 （1）有一个角为90?的三角形是直角三角形. （2）有两个角互余的三角形是直角三角形.注意 （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30?，那么它所对的直角边等于斜边的一半. （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30?。 3勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a bc+=中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等用含字母的代数式表示n组勾股数221,2,1n n n?+（2,nn为正整数）；2221,22,221n nnnn+（n为正整数）2222,2,m nmn m n?+（,mnm，n为正整数） 二、经典例题精讲题型一直接考查勾股定理经典例题精讲题型一直接考查勾股定理例.在ABC中，90C=已知6AC=，8BC=求AB的长已知17AB=，15AC=，求BC的长分析直接应用勾股定理222a bc+=解2210AB ACBC=+=228BC ABAC=?=CB DA题型二利用勾股定理测量长度例题2如图 （8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.解析同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，由题意可知ACD中,ACD=90,在RtACD中，只知道CD=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下（仅供参考）解如图2，根据勾股定理，AC2+CD2=AD2设水深AC=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（x+0.5）2解之得x=2.故水深为2米.例题3某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为题型三勾股定理和逆定理并用例题4如图，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且AB FB41=那么DEF是直角三角形吗？为什么？解析这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。 仔细读题会意可以发现规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由AB FB41=可以设AB=4a，那么BE=CE=2a,AF=3a,BF=a,那么在RtAFD、RtBEF和RtCDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断DEF是否是直角三角形。 详细解题步骤如下解设正方形ABCD的边长为4a,则BE=CE=2a,AF=3a,BF=a在RtCDE中，DE2=CD2+CE2=(4a)2+(2a)2=20a2同理EF2=5a2,DF2=25a2在DEF中，EF2+DE2=5a2+20a2=25a2=DF2DEF是直角三角形，且DEF=90.注本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。 题型四利用勾股定理求线段长度利用列方程求线段的长（方程思想）例题5如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析解题之前先弄清楚折叠中的不变量。 合理设元是关键。 详细解题过程如下解根据题意得RtADERtAEFAFE=90,AF=10cm,EF=DE设CE=xcm，则DE=EF=CDCE=8x在RtABF中由勾股定理得AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，BF=6cmCF=BCBF=106=4(cm)在RtECF中由勾股定理可得EF2=CE2+CF2，即(8x)2=x2+426416x+x2=2+16x=3(cm),即CE=3cm注本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 变式一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米题型五利用勾股定理逆定理判断垂直例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该是头先距离灯5米。 转化为数学模型，如图6所示，A点表示控制灯，BM表示人的高度，BCMN,BCAN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。 已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可计算BC=4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。 题型六旋转问题例 7、旋转问题例 7、如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，若AP=3，求PP的长。 题型七题型七关于翻折问题例例8如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（）变式如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.题型八关于勾股定理在实际中的应用例例 9、如图，公路MN和公路在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？解A到MN的距离为80m，而拖拉机的噪音范围为100m以内，80100，故拖拉机会影响学校变式1.变式1.某公司的大门如图所示,其中四边形是长方形,上部是以为直径的半圆,其中=2.3，=2,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5,宽为1.6,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 2、将一根长24的筷子置于地面直径为5，高为12的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h，则h的取值范围。 题型九关于最短性问题.在圆柱中，可将其侧面展开求出最短路程.在长方体（正方体）中，求最短路程将其中含有一点的面展开，与含另一点的面在同一平面内即可，主要可以分为三种情形 （1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，可得其路程为s1= （2）将前表面展开与上表面在同一平面内，可得其路程为s2= （3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，可得其路程为s3=然后比较s 1、s 2、s3的大小，即可得到最短路程.例例 10、如右图119，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）圆柱侧面展开图式变式1如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？式变式2如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm,8cm,30cm. (1)在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？ (2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?勾股定理易错题 一、审题不仔细，受定势思维影响ABCD.12830例1在ABC中，,A BC的对边分别为,a bc，且2()()a ba bc+?=，则（）（A）A为直角（B）C为直角（C）B为直角（D）不是直角三角形错解选（B）分析因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为C，因而有同学就习惯性的认为C就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为222a bc?=，即222a bc=+，因根据这一公式进行判断.正解222a bc?=?，222a bc=+.故选（A）例2已知直角三角形的两边长分别为 3、4，求第三边长.错解第三边长为2234255+=.分析因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是 3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边.正解 （1）当两直角边为3和4时，第三边长为2234255+=； （2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长为22437?=. 二、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理例3下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）（A） 1、 2、3（B）2223,4,5（C）1,2,3（D）3,4,5错解选（B）分析未能彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足222a bc+=的形式.正解因为()()()222123+=，故选（C）变式已知a，b，c为ABC三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2)0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形例4在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？错解甲船航行的距离为BM=8216=（海里），乙船航行的距离为BP=15230=（海里）.22163034+=（海里）且MP=34（海里）MBP为直角三角形，90MBP=，乙船是沿着南偏东30方向航行的.分析虽然最终判断的结果也是对的，但这解题过程中存在问题.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理.其形式为“若222abc+=，则90C=.错解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念，导致错误运用.正解甲船航行的距离为BM=8216=（海里），乙船航行的距离为BP=15230=（海里）.22216301156,341156+=，222BM BPMP+=，MBP为直角三角形，90MBP=，乙船是沿着南偏东30方向航行的.综合习题题 一、填空题（每题3分，共30分）1如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底4米处，那么这棵树折断之前的高度是_米2直角三角形一条直角边与斜边分别为4cm和5cm，则斜边上的高等于_cm3如图，在直角三角形ABC中，C90，AC12，BC5，则以AB为直径的半圆的面积为_4如图，在四边形ABCD中，A90，若AB4cm，AD3cm，CD12cm，BC13cm，则四边形ABCD的面积是_5木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面_（填“合格”或“不合格”）6甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了8km，乙往南走了6km，这时两人相距_km7如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了_步路（假设2步为1米），却踩伤了花草8如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边ABa，则图中阴影部分的面积为_9如图，在RtABC中，BCA90，点D是BC上一点，ADBD，若AB8，BD5，则CD_10动手操作在矩形纸片ABCD中，AB3，AD5如图所示，折叠纸片使点A落在边BC上的A处，折痕为当点A在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A在边BC上可移动的最大距离为_题 二、选择题（每题3分，共30分）11下列各组数中，可以构成勾股数的是()A13，16，19B17，21，23C18，24，36D12，35，3712下列命题中，是假命题的是()A在ABC中，若BCA，则ABC是直角三角形B在ABC中，若a2(bc)(bc)，则ABC是直角三角形C在ABC中，若ABC345，则ABC是直角三角形D在ABC中，若abc543，则ABC是直角三角形13一直角三角形的三边分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为()A13B5C13或5D414如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大的正方形E的面积是()A13B26C47D9415在RtABC中，C90，AC3，BC4，则点C到AB的距离是()A125B425C34D9416已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为()A30cm B80cm C90cm D120cm17底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是()A10B8C5D418如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC，交AD于点E，AD8，AB4，则DE的长为()A3B4C5D619如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，ABC是等边三角形，ADC30，AD3，BD5，则CD的长为()A32B4C25D4.520如图，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1A1D1，白甲壳虫爬行的路线是ABBB1，并且都遵循如下规则所爬行的第n2与第n条棱所在的直线必须是既