2014-2015《三维设计》高三数学湘教版(文)一轮复习【精品讲义】选修4-4 坐标系与参数方程.doc

选修44坐标系与参数方程第一节坐标系1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，)一般地，不做特殊说明时，我们认为0，可取任意实数3极坐标与直角坐标的互化设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos_圆心为，半径为r的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线(1)(R)或(R) (2)(0)和(0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos_a过点，与极轴平行的直线sin_a(0)1在将直角坐标化为极坐标求极角时，易忽视判断点所在的象限(即角的终边的位置)2在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视注意极坐标(，)(，2k)，(，2k)(kZ)表示同一点的坐标试一试1点P的直角坐标为(1，)，求点P的极坐标解：因为点P(1，)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为，所以点P的极坐标为.2求极坐标方程sin 2cos 能表示的曲线的直角坐标方程解：由sin 2cos ，得2sin 2cos ，x2y22xy0.故故极坐标方程sin 2cos 表示的曲线直角坐标方程为x2y22xy0.1确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可2直角坐标(x，y)化为极坐标(，)的步骤(1)运用，tan (x0)(2)在0,2)内由tan (x0)求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限练一练1在极坐标系中，求圆心在(，)且过极点的圆的方程解：如图，O为极点，OB为直径，A(，)，则ABO90，OB2，化简得2cos .2已知直线的极坐标方程为sin ()，求极点到该直线的距离解：极点的直角坐标为O(0,0)，sin()，sin cos 1，化为直角坐标方程为xy10.点O(0,0)到直线xy10的距离为d，即极点到直线sin的距离为.考点一平面直角坐标系中的伸缩变换1.(2014佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为求在这一坐标变换下正弦曲线ysin x的方程解：代入ysin x得y3sin 2x.2求函数ysin(2x)经伸缩变换后的解析式解：由得将代入ysin(2x)，得2ysin(2x)，即ysin(x)3求双曲线C：x21经过：变换后所得曲线C的焦点坐标解：设曲线C上任意一点P(x，y)，由上述可知，将代入x21得1，化简得1，即1为曲线C的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(5,0)，F2(5,0)为所求 类题通法平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆考点二极坐标与直角坐标的互化典例(2013石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3212cos 10(0)(1)求曲线C1的直角坐标方程；(2)曲线C2的方程为1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值解(1)曲线C1的方程可化为3(x2y2)12x10，即(x2)2y2.(2)依题意可设Q(4cos ，2sin )，由(1)知圆C1的圆心坐标为C1(2,0)故|QC1|2 ，|QC1|min，所以|PQ|min.类题通法直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行针对训练(2013安徽模拟)在极坐标系中，判断直线cos sin 10与圆2sin 的位置关系解：直线cos sin 10可化成xy10，圆2sin 可化为x2y22y，即x2(y1)21.圆心(0,1)到直线xy10的距离d01.故直线与圆相交考点三极坐标方程及应用典例(2013郑州模拟)已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为sin()2.(1)求曲线C在极坐标系中的方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长解(1)由已知得，曲线C的普通方程为(x2)2y24，即x2y24x0，化为极坐标方程是4cos .(2)由题意知，直线l的直角坐标方程为xy40，由得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为2.在本例(1)的条件下，求曲线C与曲线C1：cos 3(0,00)所表示的图形的交点的极坐标解：圆2cos 可转化为x22xy20，直线可转化为yx(x0)，两个方程联立得交点坐标是(1,1)，可得其极坐标是(，)2(2013惠州模拟)在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为(3，)、(4，)，求AOB(其中O为极点)的面积解：由题意知A，B的极坐标分别为(3，)、(4，)，则AOB的面积SAOBOAOBsinAOB34sin 3.3(2013天津高考改编)已知圆的极坐标方程为4cos ， 圆心为C, 点P的极坐标为，求|CP|的值解：由4cos 可得圆的直角坐标方程为x2y24x，圆心C(2,0)点P的直角坐标为(2,2)，所以|CP|2.4在极坐标系中，求圆：2上的点到直线：(cos sin )6的距离的最小值解：由题意可得，圆的直角坐标方程为x2y24，圆的半径为r2，直线的直角坐标方程为xy60，圆心到直线的距离d3，所以圆上的点到直线的距离的最小值为dr321.5(2013银川调研)已知直线l：(t为参数)与圆C：4cos()(1)试判断直线l和圆C的位置关系；(2)求圆上的点到直线l的距离的最大值解：(1)直线l的参数方程消去参数t，得xy10.由圆C的极坐标方程，得24cos()，化简得24cos 4sin ，所以圆C的直角坐标方程为x2y24x4y，即(x2)2(y2)28，故该圆的圆心为C(2,2)，半径r2.从而圆心C到直线l的距离为d，显然2，所以直线l和圆C相交(2)由(1)知圆心C到直线l的距离为d，所以圆上的点到直线l的距离的最大值为2.课下提升考能1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)由cos1得1，从而曲线C的直角坐标方程为xy1，即xy2.0时，2，所以M(2,0)时，所以N.(2)由(1)得点M的直角坐标为(2,0)，点N的直角坐标为.所以点P的直角坐标为，则点P的极坐标为，所以直线OP的极坐标方程为，(，)2在极坐标系中定点A，点B在直线l：cos sin 0(01，所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点(2)设Q(0，0)，P(，)，则即因为点Q(0，0)在曲线C2上，所以0cos1，将代入，得cos1，即2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为221，因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆6(2014苏州模拟)在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标解：(1)圆O：cos sin ，即2cos sin ，圆O的直角坐标方程为：x2y2xy，即x2y2xy0，直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为：yx1，即xy10.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.第二节参数方程1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么，就是曲线的参数方程2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0) (t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)1不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程(t为参数)注意：t是参数，则是直线的倾斜角2参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性试一试1若直线的参数方程为(t为参数)，求直线的斜率解：，tan .即直线的斜率为.2(2013辽宁模拟)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知射线l：与曲线C：(t为参数)相交于A，B两点求射线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程解：由题意得射线l的直角坐标方程为yx(x0)，则射线l的参数方程为(t0，t为参数)，曲线C的直角坐标方程为y(x2)2.1化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法2利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0；(2)|PM|t0|；(3)|AB|t2t1|；(4)|PA|PB|t1t2|.练一练1已知P1，P2是直线(t为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t1，t2，求线段P1P2的中点到点P(1，2)的距离解：由t的几何意义可知，线段P1P2的中点对应的参数为，P对应的参数为t0，线段P1P2的中点到点P的距离为.2已知直线(t为参数)与圆x2y24相交于B，C两点，求|BC|的值解：代入x2y24，得224，t23t10，|BC|t1t2|，即|BC|.考点一参数方程与普通方程的互化1.求曲线(为参数)中两焦点间的距离解：曲线化为普通方程为1，c，故焦距为2.2(2014西安质检)若直线3x4ym0与圆(为参数)相切，求实数m的值解：圆消去参数，化为普通方程是(x1)2(y2)21.因为直线与圆相切，所以圆心(1，2)到直线的距离等于半径，即1，解得m0或m10.3(2014武汉调研)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线(t为参数，tR)与曲线C1：4sin 异于点O的交点为A，与曲线C2：2sin 异于点O的交点为B，求|AB|的值解：由题意可得，直线yx，曲线C1：x2(y2)24，曲线C2：x2(y1)21，画图可得，|AB|4cos 30. 类题通法参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围考点二参数方程的应用典例(2013郑州模拟)已知直线C1：(t为参数)，曲线C2：(为参数)(1)当时，求C1与C2的交点坐标；(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当变化时，求点P轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线解(1)当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21，联立方程解得C1与C2的交点坐标分别为(1,0)，.(2)依题意，C1的普通方程为xsin ycos sin 0，则A点的坐标为(sin2，sin cos )，故当变化时，P点轨迹的参数方程为(为参数)，点P轨迹的普通方程为(x)2y2.故点P的轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆在本例(1)条件下，若直线C1：(t为参数)，与直线C2(s为参数)垂直，求a.解：由(1)知C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为y1ax，由两线垂直得a1，故a.类题通法1解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题2对于形如(t为参数)当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题针对训练(2013新课标卷)已知动点P，Q在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2为(02)，M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解：(1)依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2), 因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)(2)M点到坐标原点的距离d(02)当时，d0，故M的轨迹过坐标原点考点三极坐标、参数方程的综合应用典例(2013福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为cosa，且点A在直线l上(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系解(1)由点A在直线cosa上，可得a.所以直线l的方程可化为cos sin 2，从而直线l的直角坐标方程为xy20.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆C的圆心为(1,0)，半径r1，因为圆心C到直线l的距离d0总成立设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，t1t2，t1t24，|AB|t1t2|3.课下提升考能1在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由xt1得tx1，代入y2t，得到直线l的普通方程为2xy20.同理得到曲线C的普通方程为y22x.解方程组得公共点的坐标为(2,2)，(，1)2(2014长春模拟)已知曲线C的极坐标方程为4cos ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为(t为参数)(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(2)设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积解：(1)由4cos ，得24cos ，即曲线C的直角坐标方程为x2y24x；由(t为参数)，得y(x5)，即直线l的普通方程为xy50.(2)由(1)可知C为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d，弦长|PQ|2，因此以PQ为一条边的圆C的内接矩形面积S2d|PQ|3.3在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是(为参数)和(为参数)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求圆C1和C2的极坐标方程；(2)射线OM：与圆C1的交点为O，P，与圆C2的交点为O，Q，求|OP|OQ|的最大值解：(1)圆C1和圆C2的普通方程分别是(x2)2y24和x2(y1)21，所以圆C1和C2的极坐标方程分别是4cos 和2sin .(2)依题意得，点P，Q的极坐标分别为P(4cos ，)，Q(2sin ，)，所以|OP|4cos |，|OQ|2sin |.从而|OP|OQ|4sin 2|4，当且仅当sin 21时，上式取“”，即|OP|OQ|的最大值是4.4(2013福建模拟)如图，在极坐标系中，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系已知直线l的参数方程为(t为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系解：(1)如图，设M(，)为圆C上除点O，B外的任意一点，连接OM，BM，在RtOBM中，|OM|OB|cos BOM，所以2cos .可以验证点O(0，)，B(2,0)也满足2cos ，故2c