概率论与数理统计教程第三章课后习题答案概率(03章)

华南农业大学理学院应用数学系,Probability,概率,第一章 随机事件及其概率,第四章 随机变量的数字特征,第二章 随机变量及其概率分布,第三章 二维随机变量及其分布,二维随机变量及其分布,第三章,二维随机变量及其联合分布,边缘分布与独立性,两个随机变量的函数的分布,3.1 二维随机变量及其联合分布,例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重 Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。,不过此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质， 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此， 我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X, Y),称为随机向量，又称多维R.v.。,前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。,设X、Y 为定义在同一样本空间上的随机变量，则称向量（ X，Y ）为上的一个二维随机变量。有时也用(,)表示.,0,x,y,X(e),Y(e),(X(e), Y(e),定义,二维随机变量,二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点,（x，y）,A,随机事件,定义,称为二维随机变量的联合分布函数,性质,二维随机变量的联合分布函数,若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.,设随机变量（X，Y）的分布函数为,确定常数A，B，C的值；,例,( X , Y ) 平面上的随机点,随机点（X, Y）落在以点（x，y）为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域G内的概率。,几何意义,P（x1 X x2，y1 Y y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1),联合分布函数表示矩形域概率,P（x1 X x2，y1 X y2）,F(x2,y2),-F(x2,y1),-F(x1,y2),+F(x1,y1), （X，Y）可能取哪些值？ 它取这些值的概率分别为多少？,定义,研究问题,二维离散型随机变量,若二维 R.v. （X，Y）的所有可能的取值是有限对或可列个实数对，则称（X，Y）是二维离散型随机变量。,（xi, yj),PX=xi，Y=yj）= Pij（i，j=1,2,）,（X，Y）的联合概率分布（分布律）,pij0,表达式形式,表格形式,例,掷三次均匀的硬币，以X表示出现正面的次数，以Y表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求（X，Y）的分布列。,解,的可能取值为(0， 3)， (1， 1)， (2， 1)，（3，3）.,P(X=0,Y=3)=1/8,P(X=1,Y=1)=3/8,P(X=2,Y=1)=3/8,P(X=3,Y=3)=1/8,的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2).,，(1/3) (2/2)1/3， ，(2/3) (1/2)1/3， ，= (2/3) (1/2)1/3，,例,解,则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.,联合概率密度,定义,若存在非负函数 f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数,联合概率密度f (x, y)的性质,非负,几何解释,.,.,设二维随机变量,的概率密度为,(1) 确定常数 k；,；,.,(4) 求,例,(1),(2),(3),(4),例,设随机向量（X，Y）的分布函数为,求其密度函数。,例,设随机向量（X，Y）的密度函数为,求,二维均匀分布,二维正态分布,作业P691; 3; 5; 7;,3.2 边缘分布与独立性,边缘分布 marginal distribution,二维离散型R.v.的边缘分布,关于X的边缘分布,关于Y的边缘分布,行和,列和,Y y1 y2 y3 Pi . X x p11 p12 p13 p1 x p21 p22 p23 p2 p. j p. p.2 p.3 ,例1 设袋中有4个白球及5个红球，现从其中随机地抽取两次，每次取一个，定义随机变量,，,如下：,写出下列两种试验的随机变量,的联合分布与边缘分布.,(1) 有放回摸球； (2) 无放回摸球.,解 (1)采取有放回摸球时，,的联合分布与边缘分布由下表给出：,(2),采取无放回摸球时，,的联合分布与边缘分布由下表给出：,(2),采取无放回摸球时，,的联合分布与边缘分布由下表给出：,二维连续型随机变量的边缘分布,的边缘分布函数为,X的边缘概率密度为,Y的边缘概率密度为,求导可得,边缘概率密度,积分结果不含y,-由 f(x, y)求 fX(x)和 fY(y)：,例 设（X, Y）的联合密度为,求k和边缘密度,同理,解,边缘密度和概率的计算,例,设（X, Y) 的联合密度为,（1）求k,(2) 求X和Y的边缘密度,（3）求概率P(X+Y1/2),(1),(2),同理,均匀分布,(3),化重积分为累次定积分,下面我们借助于随机事件的相互独立性概念，引进随机变量的相互独立性.,二、随机变量的独立性,定义3.4 设,及,分别是二维随机变量,的联合分布函数及边缘分布函数，若对一切,，都有,，,即,， (3.13),则称随机变量,和,是相互独立的.,特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于,则称 X与 Y相互独立.,若对任意的实数集D1和 D2,定义,随机变量的相互独立,在实际问题或应用中，当X的取值与Y的取值互不影响时，我们就认为X与Y是相互独立的，进而把上述定义式当公式运用., 在X与Y是相互独立的前提下，,由联合分布可求边缘分布；,由边缘分布也可求联合分布！,实际意义,补充说明,设（X，Y）的概率分布（律）为,证明：X、Y相互独立。,例,证 X与Y的边缘分布律分别为,于是直接验证知,X、Y相互独立,（i, j=1，2，3）,例 设（X，Y)的概率密度为,求 (1)P（0X1 ，0Y1） (2)(X,Y)的边缘密度， （3）X、Y是否独立。,解 设A=（x，y）：0x1 ，0y1） ，,P（0 X 1 ， 0 Y1）, 边缘密度X（x）和 Y（y）为, 已知,可验证，对一切 x，y ，都有,因而 X 与 Y 相互独立。,例,时,解,于是,同理,所以,即 X 与 Y 独立。,离散型随机变量的条件分布,条件分布律具有一维分布律的性质,联合分布律唯一确定条件分布律，要求条件分布律，只须先求出边缘分布律，然后将联合概率除以边缘分布的概率即可.,连续型随机变量的条件分布密度,两个随机变量的函数的分布,设,是二维随机变量,其联合分布密度为,是随机变量,的二元函数,的分布函数,的密度函数,例 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为,求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数,解,两个独立随机变量的和的分布,如果X与Y相互独立,作业P708； 10,复习与小结,知识点,事件的关系与运算,加法定理,2. 事件A，B满足条件,摩根定律,甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4，0.5，0.7，如果只有一个人击中，则收音机被击落的概率是0.2; 如果有二人击中，则飞机被击落的概率是0.6; 如果三人都击中，则飞机一定被击落求 （1）飞机被击落的概率 （2）当已知飞机被击落，问飞机是被第一人击中 的概率。,知识点,全概率公式,条件概率,玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱中含0 ，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，求 （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率； （2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。,知识点,全概率公式,Bayes定理,知识点,二项分布,从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是0.4。设X为途中遇到的红灯次数，求随机变量X的分布律和数学期望。,二项分布的数学期望,知识点,泊松分布,设某班车起点站上客人数X服从参数为（ 0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 p, (0p1),且中途下车与否相互独立。以Y表示在中途下车的人数，求 （1）在发车时有 n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率； （2）二维随机变量（X,Y)的概率分布,二项分布,联合分布与边缘分布,某市举行大学生数学竞赛，设参赛者的成绩X服从正态分布，其均值为66.8分，均方差为12.5分，现按上,中,下把成绩分成三等，他们所占的比例分别为25%，50%，25%，求中等参赛者的分数线。 （已知标准正态分布的分布函数 （0.675）=0.75）,知识点,正态分布的期望和方差,正态分布的标准化,标准正态分布的查表,（1）随机变量X服从区间1，6上的均匀分布,（2）随机变量X服从1，2，3，4，5，6上的均匀 分布,知识点,均匀分布的密度函数,一维连续随机变量的区间概率,知识点,二维离散随机变量的联合分布和边缘分布,随机变量的独立性及其性质,袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5。从任取3个球，用X,Y分别表示其中最小号码和最大号码。,（1）求 （X,Y)的联合分布,（2）判断 X,Y的独立性,（3）计算 E(Y-X).,知识点,二维离散随机变量的独立性,二维离散随机变量的联合分布,方差的性质和计算,知识点,密度函数的性质,区间概率的计算,由密度函数求分布函数,知识点,二维连续随机变量的边缘分布,二维连续随机变量的期望和方差,二维连续随机变量的独立性,知识点,正态分布,期望和方差的性质,随机变量的函数的期望和方差,设两个随机变量X,Y相互独立。且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差。,期望和方差的计算,知识点,正态分布,期望和方差的性质,随机变量的函数的期望和方差,设两个随机变量X,Y相互独立。且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差。,期望和方差的计算,有限多个事件的独立性,如果事件1 ，2