同济六版高等数学(下)知识点整理

精品文档 1 欢迎下载 第八章第八章 1 向量在轴上的投影 性质 即 Prj 其中为向量与轴的夹角 cos aa u u cosaa a u 即 PrjPrj Prj uuu baba u ba u a u b 即 PrjPrj uu aa u a u a 2 两个向量的向量积 设 则kajaiaa zyx kbjbibb zyx ba x x b a i y y b a j z z b a k 11 1 y y b a z z b a i 21 1 x x b a z z b a j 31 1 x x b a y y b a k kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy 注 abba 3 二次曲面 1 椭圆锥面 2 2 2 2 2 z b y a x 2 椭圆抛物面 旋转抛物面 把把面z b y a x 2 2 2 2 z a yx 2 22 xOz 上的抛物线绕轴旋转 z a x 2 2 z 3 椭球面 旋转椭球面 把1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 1 2 2 2 22 c z a yx 面上的椭圆绕轴旋转 xOz1 2 2 2 2 c z a x z 4 单叶双曲面 旋转单叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 把面上的双曲线绕轴旋转 1 2 2 2 22 c z a yx xOz1 2 2 2 2 c z a x z 精品文档 2 欢迎下载 5 双叶双曲面 旋转双叶双曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 把面上的双曲线绕轴旋转 1 2 22 2 2 c zy a x xOy1 2 2 2 2 c z a x x 6 双曲抛物面 马鞍面 z b y a x 2 2 2 2 7 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b y a x ayx 2 4 平面方程 1 平面的点法式方程 其中0 000 zzCyyBxxA 是平面上一点 为平面的一个法向量 0000 zyxM CBAn 2 平面的一般方程 其中为平面的一0 DCzByAx CBAn 个法向量 注 由平面的一般方程可得平面的一个法向量 CBAn 若 0 则平面过原点 D 若 轴 则平面平行于 轴则平面过 xD xD A 0 0 0 若 面 则平面平行于 面 则平面表示 xOyD xOyD BA 0 0 0 3 平面的截距式方程 其中分别叫做平面在轴1 c z b y a x cba zyx 上的截距 5 两平面的夹角 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos CBACBA CCBBAA 特殊 0 212121 CCBBAA两平面互相垂直 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 两平面互相平行或重合 6 点到平面 000 zyxP 精品文档 3 欢迎下载 的距离公式 0 DCzByAx 222 000 CBA DCzByAx d 7 空间直线方程 1 空间直线的一般方程 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 2 空间直线的对称式 点向式 方程 其中 p zz n yy m xx 000 为直线的一个方向向量 为直线上一点 pnms 000 zyxM 3 空间直线的参数方程 ptzz ntyy mtxx 0 0 0 8 两直线的夹角 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 cos pnmpnm ppnnmm 特殊 0 212121 ppnnmm两直线互相垂直 2 1 2 1 2 1 p p n n m m 两直线互相平行或重合 9 直线与平面的夹角 222222 sin pnmCBA CpBnAm 特殊 p C n B m A 直线与平面垂直 直线与平面平行或在平面内 0 CpBnAm 10 平面束的方程 设直线由方程组所确定 其中不L 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 222111 CBACBA与 成比例 则平面为通过直线的0 22221111 DzCyBxADzCyBxA L 所有平面 不包含平面 0 2222 DzCyBxA 精品文档 4 欢迎下载 精品文档 5 欢迎下载 第九章第九章 1 内点一定是聚点 边界点不一定是聚点 2 二重极限存在是指以任何方式趋于时 都无限接近 yxP 000 yxP yxf 于 A 因此当以不同方式趋于时 趋于不同的值 那么 yxP 000 yxP yxf 这个函数的极限不存在 3 偏导数 求时 只要把其他量看作常量而对求导数 x f zyx 求时 只要把其他量看作常量而对求导数 y f zxy 注意 1 偏导数都存在并不一定连续 2 为整体 不可拆分 x z 3 分界点 不连续点处求偏导数要用定义求 4 若函数在点可微分 则该函数在点的偏导数 yxfz yx yx x z 必定存在 且函数在点的全微分为 y z yxfz yxdy y z dx x z dz 5 若函数的偏导数 在点连续 则函数在该点可微分 yxfz x z y z yx 6 连续 偏导数不一定存在 偏导数存在 不一定连续 yxf yxf 连续 不一定可微 但可微 一定连续 yxf yxf 可微 偏导数一定存在 偏导数存在 不一定可微 yxf 可微 偏导数不一定都连续 偏导数都连续 一定可微 yxf 7 多元复合函数的求导法则 1 一元函数与多元函数符合的情形 若函数及都在点 可导 tu tv t 函数在对应点具有连续偏导数 则复合函数在 vufz vu ttfz 点 可导 且有t dt dv v z dt du u z dt dz 2 多元函数与多元函数复合的情形 若函数及都在点 yxu yxv 具有对及对的偏导数 函数在对应点具有连续偏导 yxxy vufz vu 数 则复合函数在点的两个偏导数都存在 且 yxyxfz yx 精品文档 6 欢迎下载 x v v z x u u z x z y v v z y u u z y z 3 其他情形 若函数在点具有对及对的偏导数 函数 yxu yxxy 在点可导 函数在对应点具有连续偏导数 则复合 yv y vufz vu 函数在点的两个偏导数都存在 且 yyxfz yx x u u z x z y v v z y u u z y z 8 隐函数求导公式 1 函数 yxF y x F F dx dy 2 函数 zyxF z x F F x z z y F F y z 9 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为 为曲线上一点 tz ty tx t 000 zyxM 假定上式的三个函数都在上可导 且三个导数不同时为零 则向量为曲线在点处的一个切向量 曲 T 0000 ttttf M 线在点处的切线方程为 法平面方程为 M 0 0 0 0 0 0 t zz t yy t xx 0 000000 zztyytxxt 如果空间曲线的方程以的形式给出 xz xy 则在点处的切线方程为 M 1 0 0 0 00 x zz x yyxx 法平面方程为 0 00000 zzxyyxxx 如果空间曲线的方程以的形式给出 则在点处的切线方 0 0 zyxG zyxF M 精品文档 7 欢迎下载 程为 M y y x x M x x z z M z z y y G F G F zz G F G F yy G F G F xx 000 法平面方程为 0 000 zz F F G F yy G F G F xx G F G F y y x x M x x z z M z z y y 10 曲面的切平面与法线 设曲面方程为 为曲面0 zyxF 000 zyxM 上一点 则曲面在点处的切平面方程为 M 法线方程0 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx 为 00 0 00 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx ozoyx 11 方向导数 若函数在点可微 那么函数在该点沿任一方 yxf 000 yxP 向 的方向导数存在 且l 其中是方向 的方向余弦 cos cos 000oyx yxfyxf l f cos cosl 12 梯度 称为函数在点的梯度 记jyxfiyxf yx 0000 yxf 000 yxP 作 000 yxfyxgradf o 或 即 000 yxfyxgradf o jyxfiyxf yox 000 13 设函数在点具有偏导数 且在点处有极值 则 yxfz 00 yx 00 yx 0 0 0000 yxfyxf yx 14 设函数在点的某邻域里连续且有一阶及二阶偏导数 又 yxfz 00 yx 令0 0 000 yxfyxf yox 则在点处是否取CyxfByxfAyxf yyxyoxx 00000 yxf 00 yx 得极值的条件如下 1 时具有极值 且当时有极大值 当时有极小值 0 2 BAC0 A0 A 2 时没有极值 0 2 BAC 3 时可能有极值 也有可能没有极值0 2 BAC 精品文档 8 欢迎下载 15 具有二阶连续偏导数的函数的极值求法 yxfz 第一步 解方程组 求得一切实数解 即可求得一0 0 yxfyxf yx 切驻点 第二步 对每一个驻点 求出二阶偏导数的值和 00 yxBA C 第三步 定出的符号 按 14 的结论判定是不是极值 是 2 BAC 00 yxf 极大值还是极小值 注 上述步骤是求具有二阶连续偏导数的函数得情况下 那么在考虑函数注 上述步骤是求具有二阶连续偏导数的函数得情况下 那么在考虑函数 极值时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点极值时 除了考虑函数的驻点外 如果有偏导数不存在的点 那么对这些点 也要考虑也要考虑 16 拉格朗日乘数法 要找函数在附加条件下的可能极 yxfz 0 yx 值点 可以先作拉格朗日函数 其中为参数 求 yxyxfyxL 其对及的一阶偏导数 并使之为零 然后与方程联立起来 xy0 yx 由这方程组解出及 这样得到的就是函 0 0 0 yx yxyxf yxyxf yy xx yx yx 数在附加条件下的可能极值点 yxf0 yx 精品文档 9 欢迎下载 第十章 1 二重积分的性质 性质 1 设为常数 则 DDD dyxgdyxfdyxgyxf 性质 2 如果闭区域被有限曲线分为有限个部分闭区域 则在上的二重DD 积分等于在各个部分闭区域上的二重积分之和 二重积分对于积分区域具有 可加性 性质 3 如果在上 为的面积 则D1 yxf D DD dd 1 性质 4 如果在上 则有 D yxyxf DD dyxdyxf 特殊地 由于则 yxfyxfyxf DD dyxfdyxf 性质 5 设分别是在闭区域上的最大值和最小值 是的面mM yxfD D 积 则有 D Mdyxfm 性质 6 二重积分的中值定理 设函数在闭区域连续 是的 yxfD D 面积 则在上至少存在一点 使得 D D fdyxf 2 二重积分直角坐标的计算法 1 若积分区域 D 可用不等式 X 型 来表示 21 xyx bxa 其中 在区间上连续 则 1 x 2 x ba D x x b a dyyxfdxdyxf 2 1 2 若积分区域 D 可用不等式 Y 型 来表示 21 xxx bya 其中 在区间上连续 则 1 x 2 x dc D x x d c dxyxfdydyxf 2 1 注 确定次序原则 1 函数原则 内层积分可以积出 2 区域原则 3 少分块原则 3 二重积分极坐标的计算法 极坐标系中的面积元素 dd 精品文档 10 欢迎下载 若积分区域 D 可用不等式 来表示 其中 21 xx 1 x 在区间上连续 则 2 x 详见 2 1 sin cos sin cos dfdddfdyxf DD P145 146 4 确定上下限原则 1 每层下限小于上限 2 内层一般是与外层积分变量的有关的函数 也可以是常数 3 外层一定为常数 5 利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性简化 1 若积分区域 D 关于对称 则 0 x D D yxfyxfdxdyyxf yxfyxf dxdyyxf 1 2 0 当 当 其中 0 1 xDyxyxD 2 若积分区域 D 关于对称 则 0 y D D yxfyxfdxdyyxf yxfyxf dxdyyxf 1 2 0 当 当 其中 0 2 yDyxyxD 6 直角坐标三重积分的计算 1 先一后二 若 闭区域 xy Dyxyxzzyxzzyx 21 则 bxaxyyxyyxDxy 21 详见 P158 159 2 2 2 1 yxz yxz y y b a dzzyxfdydxdvzyxf 2 先二后一 截面法 S1 将向某轴投影 如轴 z 21 ccz S2 对 用平行于面的平面截 截出部分记为 21 ccz xoy z D 精品文档 11 欢迎下载 S3 计算 z D dxdyzf S4 计算 2 1 c c dzyxF 若空间区域 其中是竖坐标为的平面截 21 czcDyxzyx z z Dz 闭区域所得到的一个平面闭区域 则 2 1 c c Dz dxdyzyxfdzdvzyxf 注 适用于被积函数只有一个变量或为常数 7 柱面坐标三重积分的计算 0 20 z 常数 即以轴为轴的圆柱面 z 常数 即过轴的半平面 z 常数 即与面平行的平面zxoy zz y x sin cos 柱面坐标系中的体积元素 dzdddv 其中 dzddzFdxdydzzyxf sin cos zfzF 再化为三次积分计算 其中 为沿 2 1 2 1 2 1 z z dzzFdddxdydzzyxf 1 z 2 z 轴穿线穿过的两个平面方程 个人理解 z 8 球面坐标三重积分的计算 r0 0 20 cos sinsin cossin rz ry rx 球面坐标系中的体积元素 ddrdrdvsin 2 ddrdrrFdxdydzzyxfsin 2 精品文档 12 欢迎下载 其中 再化为三次积分计算 cos sinsin cossin rrrfrF 其中 2 1 2 1 2 1 sin 2 drrrFdddxdydzzyxf r r 1 r 为沿轴穿线穿过的两个平面方程 个人理解 2 rz 典例 求由曲面与所围成立体体积 利用三种坐azyx2 222 22 yxz 标系求解 解 表示球心在原点 半径为的球体 表示azyx2 222 a2 22 yxz 上半面圆锥体xoy 直角坐标 3 2 22 2 0 2 0 12 3 4 2 11 adzzadzzdxdydzdxdydzdvV a a a a a D a D 柱面坐标 aa dzddvdV 0 22 0 22 球面坐标 4 0 2 2 2 0 sin a o drrddvdV 精品文档 13 欢迎下载 十一章十一章 1 对弧长的曲线积分的计算法 设在曲线弧上有定义且连续 的参数方程为 f x yLL xt yt 其中 在上具有一阶连续导数 且 t t t 则曲线积分存在 且 22 0tt L f x y ds 22 L f x y dsftttt dt 同理 空间曲线 xt yt zt 222 f x y z dsftttttt dt 2 对坐标的曲线积分的计算方法 设 在有向曲线弧上有定义且连续 的参数方程为 P x y Q x yLL xt yt 当参数 单调地由变到时 点从的起点沿运动到终点 t M x yLALB 在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数 且 t t 则曲线积分存在 且 22 0tt L P x y dxQ x y dy 下限下限对应于对应于 LL P x y dxQ x y dyPtttQtttdt 的起点 上限的起点 上限对应于对应于的终点的终点 L L 同理 空间曲线 xt yt zt L L P x y z dxQ x y z dyR x y z dz PttttQttttRtttdt 3 平面曲线上两类曲线积分的联系 L 其中为有向曲线弧 coscos LL PdxQdyPQds x y zx y z 精品文档 14 欢迎下载 在点处的切向量方向角 L x y 22 cos t tt 22 cos t tt 同理 空间曲线上两类曲线积分的联系 coscoscos PdxQdyRdzPQRds 4 格林公式 设闭区域 D 由分段光滑曲线围城 函数及在 D 上具有一阶连续L P x y Q x y 偏导数 则有 其中是 D 的取正向的边界曲线 L D QP dxdyPdxQdy xy L 注 取 则 左端表示闭区 D 的面积 A 的两 Py Qx 2 L D dxdyxdyydx A 倍 因此 1 2 L Axdyydx A 5 设 D 为单连通区域 函数及在 D 上具有一阶连续偏导数 则 P x y Q x y 下列四个命题等价 1 沿 D 内任一条光滑曲线有 0 L P x y dxQ x y dy A 2 对 D 内任一条分段光滑曲线曲线积分与路径无关L L P x y dxQ x y dy 3 存在 使得 u x yD duP