专题：与圆锥曲线有关的问题.doc

16专题：与圆锥曲线有关的问题【内容地位】圆锥曲线是高考的重中之重，高考对圆锥曲线的考查，主要考查圆锥曲线的的定义、标准方程、几何性质，以及直线与圆锥曲线的位置关系和求轨迹方程等内容。涉及的数学思想方法主要有数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想、整体思想，以及配方、换元、构造、待定系数法等数学方法。将解析几何知识和向量知识综合于一题，这是近年高考数学命题的一个新的亮点以圆锥曲线为载体在知识网络的交汇点处设计问题也是近几年高考的一大特点。【常见结论及应对思路】1中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为Ax2+Bx21.2共渐近线的双曲线标准方程为为参数，0）.3焦点在轴上或轴上的抛物线方程可统设为或4焦半径、焦点弦问题(1)椭圆焦半径公式：在椭圆中，F、F分别左右焦点，P(x0，y0)是椭圆是一点，则：|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 过椭圆（ab0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦.（2）双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a0,b0）上任一点，焦点为F1(-c，0)，F2(c，0),则：当P点在右支上时，；当P点在左支上时，；（e为离心率）（3）抛物线焦半径公式：设P（x0，y0）为抛物线y2=2px(p0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px （p0）的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1，y1）、B(x2，y2)，则有如下结论：x1+x2+p；y1y2=p2，x1x2=.（5）已知抛物线 y2=2px(p0)，过(2p,0)作直线交抛物线于两点，则有如下结论：结论1： OAOB 结论2：以弦AB为直径的圆经过坐标原点 O结论3：当ABx轴时，SAOB最小结论4：过 O点作OM AB，垂足为 M，则 M点必在某一圆周上（6）椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p； 双曲线（a0，b0）的焦点到渐进线的距离为b.(7)已知椭圆方程，焦点为 F1，F2 ，P是椭圆上一点,F1PF2=则：F1PF2 的面积等于双曲线中有类似结论。5直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想.6中点弦问题处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（ab0）上不同的两点，M(x0，y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a0，b0），类似可得：KABKOM=；对于y2=2px（p0）抛物线有KAB；另外，也可以用韦达定理来处理.7求与圆锥曲线有关的轨迹问题的常用方法（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x，y)0，是求轨迹的最基本的方法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（3）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（4）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)的变化而变化，并且Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.【解题思路与方法】（1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键.（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法(点差法)”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0).定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.【解析几何与向量综合时可能出现的向量内容】（1） 给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知与的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三点共线.（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角,（8）给出,等于已知是的平分线/（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10） 在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16） 在中，给出,等于已知是中边的中线;【例题】例1：已知双曲线C: 2x2y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点 (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在 例2：已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为（）求动点的轨迹方程； （）若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围点评为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等而解析几何解答试题和向量综合呈现了新高考的崭新亮点，体现了向量知识的工具性和广泛的应用性例3：已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的弦、，设、的中点分别为.（） 求证：直线必过定点;（）分别以和为直径作圆，求两圆相交弦中点的轨迹方程例4：椭圆的两焦点分别为、，直线是椭圆的一条准线（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且，求的最大值和最小值。例5：在ABC中，sinA、sinB、sinC构成公差为正的等差数列，且其周长为12以为x轴，AC的中垂线为y轴建立直角坐标系xoy（1）证明存在两个定点E、F，使得|BE|+|BF|为定长；并求出点E、F的坐标及点B的轨迹；（2）设P为轨迹上的任一点，点M、N分别在射线PA、PC上，动点Q满足，经过点A且以为方向向量的直线与动点Q的轨迹交于点R，试问：是否存在一个定点D，使得为定值？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由？例6：椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=，过点C(-1，0)的直线交椭圆于A，B两点，且满足（1） 若为常数，试用直线的斜率k（k0）表示三角形OAB的面积。（2） 若为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程。（3） 若变化，且=k2+1，试问：实数和直线的斜率k（kR），分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求此时的椭圆方程。【练习题】1设双曲线的半焦距为C，直线L过两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为A 2 B 2或 C D 2双曲线1中，被点P(2,1)平分的弦所在直线方程是（ ）A 8x-9y=7 B 8x+9y=25 C 4x-9y=16 D 不存在3已知是三角形的一个内角，且sin+cos=则方程xsinycos=1表示（ ）A 焦点在x轴上的双曲线 B 焦点在y轴上的双曲线C 焦点在x轴上的椭圆 D 焦点在y轴上的椭圆4过点(0,1)作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（）A.1条 B.2条 C. 3条 D. 0条5平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，若点满足，其中，且，则点的轨迹方程为( )A. B. C. D. 6已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足|+|=4.则点P(x,y)的轨迹是.( )A、椭圆B双曲线C线段D射线7已知是平面上一定点，、是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（ ）（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心8已知两点A(-1，0)，B(1，0)，动点P在y轴上的射影是Q，且则动点P的轨迹为（）：A、抛物线B双曲线C椭圆D直线9已知A、B为抛物线(p0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则（1）y轴上是否恒存在一点K，使得（2）（3）存在实数使得 （4）若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有中说法正确的个数为（）A. 1 B2 C 3 D4 10. 设点为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程为 : A B C D11有一系列中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，它们的离心率，且都以为准线，这些椭圆的长轴之和为，则有 （ ）A. B. C. D. ACBS12设双曲线 (a0，b0)的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应焦点为F，若以AB为直径的圆过点F，则双曲线离心率为 A B C2 D 13如图，正三棱锥中，侧面与底面所成的二面角等于，动点在侧面内，底面，垂足为，则动点的轨迹为（ ）（）线段 （）圆（）一段圆弧 （）一段抛物线14一系列椭圆都以一定直线l为准线，所有椭圆的中心都在定点M，且点M到l的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以为首项，为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为ai(i=1，2，n),则a1+a2+an= A.B. C. D. 15若为抛物线的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，则等于ABCD16已知点F1，F2分别双曲线的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的范围是（ ） A（1，+）B（1，1+）C（1，）D（1）17已知为椭圆的焦点，B为椭圆短轴上的端点， ，则椭圆的离心率的取值范围是（）A、B、C、D、18以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ ）AB CD19已知双曲线的两个焦点为，P是此双曲线上的一点，且， ，则该双曲线的方程是 （ ）ABC D20在ABC中，B（2，0），C（2，0），A（），给出ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条 件方 程ABC周长为10ABC面积为10ABC中，英才苑A=90则满足、的轨迹方程分别为 （用代号C1、C2、C3填入）.21已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足=2|.则点P(x,y)的轨迹方程为.22已知，椭圆的两个焦点，P()为椭圆上一点，当b0)上两点A，B与中心O的连线互相垂直，则= 26设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求： （1）动点P的轨迹方程；（2）的最小值与最大值.27.已知双曲线C： B是右项点，F右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足，、成等比数列，过F作双曲线C在第一、第三象限的渐近线的垂线l，垂足为P。（1） 求证：（2） 若l与双曲线C的左、右支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围。28.已知点H（0，3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，.（1）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上.29如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m