第41讲+数列不等式的证明方法高中数学常见题型解法归纳反馈训练doc

第41讲+数列不等式的证明方法高中数学常见题型解法归纳反馈训练doc 【知识要点】证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法. 一、数学归纳法一般地，证明一个与自然数n有关的命题()P n，有如下步骤 （1）证明当n取第一个值0n时命题成立.0n对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n k?（0k n?，k为自然数）时命题成立，证明当1n k?时命题也成立.综合 （1） （2），对一切自然数n（n0n?），命题()P n都成立. 二、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法.放缩的技巧添加或舍去一些项，如221, (1),1a a n n n n n?将分子或分母放大或缩小，如2211111111, (1)1 (1)1k k k k k k k k k k?利用基本不等式等，如 (1) (1)2n nn n? 三、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明?”.一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.【方法点评】方法一数学归纳法解题步骤一般按照数学归纳法的“两步一结论”步骤来证明.【例1】用数学归纳法证明:),2(241321312111*N n nn n n n?【点评】利用数学归纳法证明不等式时，关键在于第二步，证明这一步时，一定要利用前面的假设和已知条件.【反馈检测1】已知xx (1) (1) (1) (1)n nnx a a x ax ax?，（其中n N?） （1）求0a及12n ns a a a?； （2）试比较ns与2 (2)22nn n?的大小，并说明理由方法二放缩法解题步骤一般放缩数列通项，或放缩求和的结果.【例2】已知函数2()ln (1)f x ax x? （1）当45a?时，求函数()f x在(0,)?上的极值； （2）证明当0x?时，2ln (1)x x?； （3）证明444111 (1) (1) (1)23en?(,2,n N n e?为自然对数的底数）. （2）令)1ln()(2x x x g?则01)1 (121)(222?xxxxx g?，在0)(x g上为增函数.0)0()(?g x g x x?)1ln(2 （3）由 （2）知x x?)1ln(2令41nx?得，n n n n n n111)1 (11)11ln(24?)11ln()311ln()211ln(444n?11111141313121211?nnn?en?)11()311)(211(444?【点评】 (1)本题就是利用放缩法证明不等式，是高考的难点和重点. (2)利用放缩法证明不等式，有时需要放缩通项，有时是需要放缩求和的结果，本题两种放缩都用上了. (3)放缩要得当，所以放的度很重要，有时需要把每一项都放缩，有时需要把前面两项不放缩，后面的都放缩，有时需要把后面的项不放缩，所以要灵活调整，以达到证明的目的.【反馈检测2】已知数列na满足2112222 (21)22n nna a a n? （1）求1a及通项公式na； （2）求证2221211114na a a?【反馈检测3】将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，5，10，17，记为数列?N n an，第一列数1，4，9，16，25，记为数列?N nb n （1）写出数列?na，?nb的通项公式； （2）若数列?na，?nb的前n项和分别为n nT S,，用数学归纳法证明?NnnnS Tnn4233； （3）当3?n时，证明47111145321?nb b bb?【反馈检测4】已知函数)(ln1)(R axxax f? （1）当2?a时，比较)(x f与1的大小； （2）当29?a时，如果函数k x f x g?)()(仅有一个零点，求实数k的取值范围； （3）求证对于一切正整数n，都有121715131)1ln(?nn?【反馈检测5】已知函数21()ln (1)2f x ax x ax? (1)a?. （1）讨论()f x的单调性与极值点； （2）若21()1 (1)2g x x x x?，证明当1a?时，()g x的图象恒在()f x的图象上方； （3）证明2222ln2ln3ln21234 (1)nn nn n?*(,2)n Nn?.方法三分析法解题步骤从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件.【例3】已知函数()ln f x ax xxb?是奇函数，且图像在点(,()e fe处的切线斜率为3（e为自然对数的底数） （1）求实数a、b的值； （2）若k Z?，且()1f xkx?对任意1x?恒成立，求k的最大值； （3）当1(,)m nm nZ?时，证明?n mmnnm mn? （2）当1?x时，设1ln1)()(?xx x xxx fx g，则2/)1(ln2)(?xx xx g设xxx hln2)(?，则011)(/?xx h，)(x h在),1(?上是增函数因为03ln1)3(?h，04ln2)4(?h，所以)4,3(0?x，使0)(0?x h),1(0xx?时，0)(?x h，0)(/?x g，即)(xg在),1(0x上为减函数；同理)(xg在0(,)x?上为增函数从而)(xg的最小值为0000001ln)(xxx x xx g?所以)4,3(0?x k，k的最大值为3【点评】本题的第3问，由于结论比较复杂，一下子看不出证明的方向，所以要采用分析法来证明.【反馈检测6】已知函数?1ln f xaxaRx?. （1）当1a?时，试确定函数?f x在其定义域内的单调性； （2）求函数?f x在?0,e上的最小值； （3）试证明?1112.718,ne en Nn?.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第41讲数列不等式的证明方法参考答案【反馈检测1答案】 （1）02n a?，32n nns?； （2）当1n?或4n?时，23 (1)22n nn n?,当2,3n?时，23 (1)22n nn n?【反馈检测1详细解析】 （1）取1x?，则02na?；取2x?，则013nna aa?，1232n nn nsaaa?4k?时， (3)20kk?，22442444420k k?2 (3)24420kk k k?1123k22 (1)k kk?即1n k?时结论也成立，当4n?时，23 (1)22n nn n?成立.综上得，当1n?或4n?时，23 (1)22n nn n?；当2,3n?时，23 (1)22nnn n?【反馈检测2答案】 （1）13a?，21na n?； （2）见解析.【反馈检测3答案】 （1）222na nn?，2nb n?； （2）证明见解析； （3）证明见解析.【反馈检测3详细解析】 （1）由121n naan?，得21132322naannn?，2nb n?当1n?时，111T S?，?1136TS?，又3246nn?，1n?时等式成立；假设n k?时等式成立，即?3324k kTS k k?，则1n k?时，?223111133324311212k k k k k kTS TS ba k kkkk?232466161kkkk?2216161kkkkk?22461kkk?22141kk?32141kk?，1n k?时等式也成立根据，?33+24n nTS nnn N?都成立【反馈检测4答案】 （1）3ln2k?或3ln22k?； （2）见解析.【反馈检测4解析】 （1）当2?a时，xxx fln12)(?，其定义域为),0(?因为0)1 (11)1 (2)(222?x xxx xx f，所以)(x f在),0(?上是增函数故当1?x时，1)1()(?f x f；当1?x时，1)1()(?f x f；当1?x时，1)1()(?f x f （2）当29?a时，xxx fln)1 (29)(?，其定义域为),0(?22)1 (2)2)(12 (1)1 (29)(?x xx xxxx f，令0)(?xf得211?x，22?x因为当210?x或2?x时，0)(?xf；当221?x时，0)(?xf所以函数)(x f在)21,0(上递增，在)2,21(上递减，在),2(?上递增且)(xf的极大值为2ln3)21(?f，极小值为2ln23)2(?f又当?0x时，?)(xf；当?x时，?)(xf因为函数k xf xg?)()(仅有一个零点，所以函数)(xfy?的图象与直线k y?仅有一个交点.所以2ln3?k或2ln23?k （3）方法二用数学归纳法证明当1?n时，不等式左边2ln?，右边31?因为18ln2ln3?，所以312ln?，即1?n时，不等式成立假设当)(?N kk n时，不等式成立，即121715131)1ln(?kk?那么，当1?k n时，12)1ln()2ln()1ln(?kkk k n12ln)1ln(?kkk12ln)121715131(?kkk?由 （1）的结论知，当1?x时，112ln?xx，即11ln?xxx所以3211121121212ln?kkkkkkk即1)1 (21121715131)2ln(?k kk?即当1?kn时，不等式也成立综合知，对于一切正整数n，都有121715131)1ln(?nn?【反馈检测5答案】 （1）()f x在(0,1)和(,)a?上单调递增，在(1,)a上单调递减.1x?为极大值点，xa?为极小值点； （2）见解析； （3）见解析. （2）当1a?时，令()()()1ln F xg xf xxx?，11()1xF xxx?，当1x?时，()0F x?，01x?时，()0F x?，()F x在(0,1)上递减，在(1,)?上递增，() (1)0F xF?，1x?时，()0F x?恒成立.即1x?时，()()g xf x?恒成立，当1x?时，()gx的图象恒在()f x的图象上方. （3）由 （2）知() (1)0FxF?，即ln1xx?，0x?，ln11xxx?，令2*()x nn N?，则222ln11nnn?，22ln11 (1)2nnn?222222ln2ln3ln1111 (111)23223nnn?22211111()2223nn?11111()222334 (1)nnn?11111111()2223341nnn?2111121()22214 (1)nnnnn?不等式成立.【反馈检测6答案】 （1）?f x的单调递减区间为?0,1，单调递增区间为?1,?； （2）?min11,1ln,aeae ef xa aa ae?； （3）见解析.【反馈检测6详细解析】 （1）函数?f x的定义域为?0,?，当1a?时，?1ln f xxx?，则?22111xf xxxx?，解不等式?0f x?，得01x?；解不等式?0f x?，得1x?，故函数?f x的单调递减区间为?0,1，单调递增区间为?1,?；当10ea?，即当1ae?时