221一元二次方程(第1课时)[1]

第十九章一次函数19.11变量与函数（1）知识技能目标1.掌握常量和变量、自变量和函数的基本概念； 2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.过程性目标1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义； 2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.教学重点：了解变量与常量的意义，充分体会运动变化过程中量的变化 难点：能用解析法正确表示数量关系。教学过程一、 预习检测：找出下面问题中变化的量和不变的量： （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为 t h，行驶路程为 s km （2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出x 张票，票房收入为y 元 二、合作交流：（3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r 分别为10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？在这个过程中，哪些量是变化的？ （4）用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x 分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻边长y 分别为多少？在矩形改变形状的变化过程中，哪些量是变化的？哪些量是固定不变的？ 三、精讲解惑上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？ 在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable)上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量(independent variable)，y是因变量(dependent variable)，此时也称y是x的函数(function)问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant)。表示函数关系的方法通常有三种： (1)解析法，(2)列表法(3)图象法，例1、 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量：(1)圆的周长C与半径r的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式；(3)n边形的内角和S与边数n的关系式解 (1)C2 r，2是常量，r、C是变量；(2)s60t，60是常量，t、s是变量；(3)S(n2)180，2、180是常量，n、S是变量四、 随堂练习：1、指出下列变化过程中的变量和常量：（1） 汽油的价格是7.4元/升，加油 x L，车主加油 付油费 y 元；（2） 小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要 t 天，平均每天所看的页数为 n；（3） 用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边 长为 x cm，其面积为 S cm2 2、书71页练习五、小结1.函数概念包含：(1)两个变量；(2)两个变量之间的对应关系 在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量2.函数关系三种表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法六、布置作业：教学后记：19.1.1变量与函数（2）教学目标：1进一步体会运动变化过程中的数量变化；2从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念教学重点：概括并理解函数概念中的单值对应关系，用式子表示变量间的关系教学难点：用含有一个变量的式子表示另一个变量教学过程一、复习提问：什么是变量？什么是常量？二、预习检测：什么是函数、自变量、因变量。三、合作交流:问题1下面变化过程中的变量之间有什么联系？ （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为t h，行驶的路程为s km；问题2下面变化过程中的变量之间有什么联系？ （2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元； （3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为 r ，面积为 S ； （4）用10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长为 x，它的邻边长为 y四、精讲解惑：函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数如果当 x =a 时，对应的 y =b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值 五、 随堂练习：下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？请说明理由（1）向一水池每分钟注水0.1 m3，注水量 y（单位：m3）随注水时间 x（单位：min）的变化而变化；（2）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；（3）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕 地面积 y （单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化；（4）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，它的坐标记为 y，y 随 x 的变化而变化 六、小结：七、布置作业教学后记：19.1.1变量与函数（3）教学目标：1了解解析法和列表法，并能用这两种方法表示简 单实际问题中的函数关系；2能确定简单实际问题中函数的自变量取值范围；3会初步分析简单实际问题中函数关系，讨论变量的变化情况教学重点与难点：用解析法和列表法表示函数关系，确定简单实际问题的自变量取值范围 教学过程一、复习提问：（1）什么叫函数？（函数的定义是，某一变化过程中有两个变量x，y，对于变量x 每取一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应）（2）学习了哪些表示函数的方法？问题1请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系： （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）；（2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y问题1（1）中，t 取-2 有实际意义吗？ 问题1（2）中，n 取2 有意义吗？二、 合作交流：根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义三、 精讲解惑：例1一辆汽车油箱中现有汽油50 L，它在高速公路上匀速行驶时每千米的耗油量固定不变行驶了100 km 时，油箱中剩下汽油40 L假设油箱中剩下的油量为 y（单位：L），已行驶的里程为 x（单位：km） （1）在这个变化过程中，y 是x 的函数吗？（2）能写出表示 y 与 x 的函数关系的式子吗？（3）这个变化过程中，自变量 x 的取值范围是什么？（4）汽车行驶了200 km 时，油箱中还剩下多少汽油？行驶了320 km 呢？四、随堂练习： 1、你能用含自变量的式子表示下列函数，并说出自变量的取值范围吗？ （1）等腰三角形的面积为12，底边长为 x，底边上的高为y，y 随着 x 的变化而变化； （2）把边长为10 cm 的正方形纸板的四个角都截去一个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖的长方体，该长方体的体积 V（单位：cm3）随 x（单位：cm）的变化而变化 2、书74页练习五、小结：在实际问题中，函数的自变量取值往往是有限制的，怎样确定由实际问题抽象出的函数的自变量取值范围？确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义六、 布置作业：教学后记：19.1.2函数的图象（1）教学目标1了解函数图象的意义；2会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函 数的对应关系和变化规律；3经历画函数图象的过程，体会函数图象建立数形联系的关键是分别用点的横、纵坐标表示自变量和对应的函数值教学重点：函数图象的意义，从图象中获取信息 难点：会观察函数图象获取信息，根据图象初步分析函 数的对应关系和变化规律；教学过程一、 预习检测：函数是描述运动和变化过程的重要数学模型，试观察下面问题中，当自变量的值增大时，函数值如何变化？下图是北京市某天24 小时内气温的变化图，气温 T 随时间 t的变化而变化. 你从图中得到哪些信息？在914 时，T 随着t 的增大而增大，1416 时，T 基本不变；16次日5 时，T 的值随着t 的增大而减小；次日58 时，T 变化不大；说明这样得到的图形能直观地反映出函数值怎样随自变量的变化而变化！二、 合作交流：以满足函数关系的自变量的值和对应的函数值分别为横纵坐标，画出这些点，并用光滑的曲线连接这些点，就得到一个能直观反映变量之间关系的图形，从这个图形中可以方便地看出当自变量增大时，函数值怎样变化请画出下面问题中能直观地反映函数变化规律的图形： 正方形面积 S 与边长 x 之间的函数解析式为 S=x2 思考（1）怎样确定满足函数关系的点的坐标？ （2）取一些自变量的值，计算出相应的函数值自变量x 的一个确定的值与它所对应的唯一 的函数值S，是否唯一确定了一个（x，S）呢？ （1）填写下表： 三、精讲解惑：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象如右图中的曲线就叫函数（x0） 的图象例1、下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐， 接着去图书馆读报，然后回家其中x 表示时间，y 表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同一直线上根据图象回答下列问题：（1）食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ （2）小明在食堂吃早餐用了多少时间？（3）食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？（4）小明读报用了多长时间？ （5）图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？四、随堂练习：书79页练习2、3题。五、小结六、布置作业教学后记：19.1.2函数的图象（2）教学目标：1会用描点法画出函数图象，能说出画函数图象的步骤；2会判断一个点是否在函数的图象上；3能初步通过分析图象中变量的对应关系、变化规律和变化趋势，体会数形结合思想 教学重点：描点法画出函数图象 教学难点：理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换.教学过程：一、复习提问：什么是函数图象？二、预习检测：（1）函数图象上的点的横纵坐标分别表示什么？ （2）用描点法画函数图象按照哪些步骤进行？ 、（3）怎样从图象上看出当自变量增大时，对应的函数值是增大还是减小？ 三、 合作交流：函数图象是坐标平面上以自变量的值为横坐标、以对应的函数值为纵坐标的点组成的曲线，函数图象直观地反映了变量之间的对应关系和变化规律那么，怎样画一个函数的图象呢？ 例3下列式子中，对于 x 每一个确定的值，y 有唯一的对应值，即 y 是 x 的函数，请画出这些函数的图象（1）y=x+0.5 ； 列表：x -3 -2 -1 0 1 2 3 y=x+0.5 -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 （1）这个函数的自变量取值范围是什么？为什么表格中 -3 前和3 后还有一栏要写省略号？ （2）画出的图象是什么？图象上的点从左向右运动时，这个点是越来越高还是越来越低？能否用坐标解释这一图形特点？ （3）当自变量的值越来越大时，对应的函数值怎样变化？ 四、随堂练习：按步骤画出函数图象画出函数 的图象五、精讲解惑：归纳：由函数解析式画函数图象，一般按下列步骤进行：1.列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；2.描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；3.连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线连结起来描出的点越多，图象越精确有时不能把所有的点都描出，就用光滑的曲线连结画出的点，从而得到函数的近似的图象练习我们知道，函数图象是以自变量的值和对应的函数值分别为横、纵坐标的点组成的图形，这样的点有无数个，那么怎样判断一个点是否在函数图象上？（1）判断下列各点是否在函数y=x+0.5的图象上？ （-4，-4.5）； （4，4.5）判断下列各点是否在函数 的图象上？ 2，3）；（4，2）（3）教科书P79练习第3 题 六、小结1、画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线，这种 画函数图象的方法称为描点法2.如何从图象中了解函数的变化情况？ 七、 布置作业教学后记19.1.2函数的图象（3）教学目标：1了解函数的三种表示法及其优缺点；2能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系；3能对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行初步讨论教学重点：综合运用三种表示法表示函数关系，研究运动变化过程教学难点：用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系；对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行初步讨论教学过程一、 复习提问：1、 什么是函数？2、函数关系有几种表示方法？二、合作交流：（1）对于每一个大于0 的自变量的值，想准确确定 对应的函数值，用什么表示法较好？ （2）对于x 的值分别为1，2，3，4，5，6 时，想知 道其对应的函数值，用什么表示方法较好？ （3）想知道当x 的值增大时，函数值y 怎样变化，用 什么表示方法较好？三、精讲解惑：例4、一水库的水位在最近5 h 内持续上涨，下表记录 了这5 h 内6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y表 示水位高度（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么 规律？ （2）水位高度 y 是否为时间 t 的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出函数图象。这个函数能表示水位的变化规律吗？ （3）据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度将达到多少米 四、随堂练习：书81页1、2、3五、小结（1）函数有哪几种表示方法？这些表示方法分别有哪些优势和不足？ （2）怎样根据函数分析变量的变化规律和变化趋势？ （3）当我们无法直接得到某一运动变化过程的函数解析式时，我们可以通过哪些步骤的研究，得到函数解析式，把握变化规律，预测变化趋势？ 六、布置作业教学后记19.2一次函数19.2.1正比例函数（1）教学目标：1理解正比例函数的概念；2根据实际问题列出简单的正比例函数的表达式教学重点：正比例函数的概念 教学难点：理解正比例函数的概念，能正确用函数关系式表达实际问题教学过程1、 预习检测：什么是正比例函数？二、合作交流：问题12011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318 km设列车的平均速度为300 km/h考虑以下问题： （1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？ （2）如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，行程 y（单位：km）和运行时间 t（单位：h）是什么关系？ （3）如果从函数的观点看，京沪高铁列车的行程 y（单位：km）是运行时间 t（单位：h）的函数吗？能写出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？ （4）乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km 的南京南站？ 思考：（1）这个问题中得到的函数解析式有什么特点？ （2）函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？ 思考：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关 系吗？如果是，请写出函数解析式 （1）圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化； （2）铁的密度为7.8 g/cm3，铁块的质量 m（单位：g）随它的体积 V（单位：cm3）的变化而变化；（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的本数 n 变化而变化； （4）冷冻一个0 的物体，使它每分下降2 ，物体的温度 T（单位：）随冷冻时间 t（单位：min）的变化而变化 三、精讲解惑认真观察这四个函数解析式，说说这些函数有什么共同点 正比例函数的定义：一般地，形如 y=kx（k 是常数，k0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数四、随堂练习：书87页1、2题五、小结六、布置作业教学后记19.2.1正比例函数（2）教学目标：1、理解正比例函数图象特征。2、知道正比例函数图象是直线，会画正比例函数的图象；进一步熟悉作函数图象的主要步骤。教学重点：探索正比例函数图形的形状，会画正比例函数图象教学难点：正比例函数的图象性质特点的掌握。教学过程一、 复习提问：1、什么是正比例函数？2、在下列函数中，哪些是正比例函数？并指出正比例系数分别是多少. y=x, y=3x2, y=2x , y=2x-4， , y=-x ， y=-2x3.画函数图象需要经历哪些步骤？二、预习检测：1、正比例函数的图象是什么形状？2、怎样画它的图象？三、合作交流：例1用描点法画出正比例函数 y =2x 的图象在同一坐标系中用描点法画出正比例函数的图象讨论：这两个函数的图象形状是什么？位置怎样？有什么特征？ 思考：对一般正比例函数y =kx，当k0时，它的图象形状是什么？位置怎样？ 归纳：当k0时，y随x的增大而增大，直线经过一、三象限，从左到右是上升的。 2、画出函数y =-3x 和y =-1.5x 的图象，进行小组合作研究，当k0 时，正比例函数的图象特征及性质又怎样呢？ 归纳：当k0时，y随x的增大而增大，直线经过一、三象限，从左到右是上升的； 2）当k0时，图象会经过一、三象限？而k0时，x为正数，y也是正数，故在第一象限；x=0,y=0,故经过原点；x为负数，y也是负数，故在第三象限；所以，k0时，图象经过一、三象限（2）反之，k0，y随x的增大而增大，图象从左到右是上升的（2）当图象经过二、四象限时，k0时,y随x的增大而增大，当k0时,y随x的增大而减小 、三、精讲解惑：例 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值：（1）函数值y 随x的增大而增大；（2）函数图象与y 轴的负半轴相交；（3）函数的图象过第二、三、四象限；（4）函数的图象过原点。四、随堂练习：1.直线y=0.5x1与x轴的交点为 ，与y轴的交点为 。2.点(5,7)和(m,3)都在一次函数y=2x+b的图象上，则m= .3、书93页练习五、小结六、布置作业教学后记19.2.2一次函数（3）教学目标：1学会用待定系数法求一次函数解析式；2了解分段函数的表示及其图象；能初步应用一次函数模型解决现实生活中的问题。 的应用价值教学重点： 用待定系数法求一次函数解析式，初步了解分段函数教学难点：应用一次函数解决实际问题。教学过程：一、 复习提问：1、 正比例函数和一次函数的解析式；2、 它们的关系怎样？3、 图象与性质。二、预习检测：1、什么是待定系数法？例4：已知一次函数的图象经过点(3,5)与（4，9）.求这个一次函数的解析式三、精讲解惑：像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法例5“黄金1号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果 一次购买2 kg 以上的种子，超过2 kg 部分的种子的价格打8 折. （1）填出下表： 购买种子数量/kg 0.511.522.533.54付款金额/元（2）写出付款金额 y（单位：元）与购买种子数量 x（单位：kg）之间的函数解析式，并画出函数图象四、随堂练习： 书95页1、2五、 小结六、 布置作业：教学后记：19.2.3一次函数与方程、不等式（1）教学目标：1.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，并能通过图象法来求二元一次方程组的解；2.让学生了解到函数是刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型，也是一种重要的数学思想，培养和提高学生在数学学习中的创造和应用函数的能力教学重点：使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标，能通过图象法来求二元一次方程组的解教学难点：使学生体会到实际问题中数量之间的相互关系，学会用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律；教学过程一、 复习提问：1、画出一次函数y=2x+1的图象，当函数值y=3、0、-1时，自变量x的值分别是多少？2、解方程：（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x