部审人教版八年级数学下册教案18.2.3 第2课时 正方形的判定

第2课时正方形的判定 第 3 页 共 3 页1掌握正方形的判定条件；(重点)2能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算(难点)一、情境导入老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务这种检验可信吗？小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形这种检验对吗？小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形你的意见怎样？你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？二、合作探究探究点一：正方形的判定【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”证明四边形是正方形 如图，在RtABC中，ACB90，CD为ACB的平分线，DEBC于点E，DFAC于点F.求证：四边形CEDF是正方形解析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形CEDF是矩形，再证明一组邻边相等即可证明：CD平分ACB，DEBC，DFAC，DEDF，DFC90，DEC90.又ACB90，四边形CEDF是矩形DEDF，矩形CEDF是正方形方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”证明四边形是正方形 如图，在四边形ABFC中，ACB90，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CFAE.(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；(2)当A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BEEC，BFFC.又CFAE，可证BEECBFFC.根据“四边相等的四边形是菱形”，四边形BECF是菱形；(2)菱形对角线平分一组对角，即当ABC45时，EBF90，有菱形为正方形根据“直角三角形中两个角锐角互余”得A45.解：(1)四边形BECF是菱形理由如下：EF垂直平分BC，BFFC，BEEC，31.ACB90，3490，1290，24，ECAE，BEAE.CFAE，BEECCFBF，四边形BECF是菱形；(2)当A45时，菱形BECF是正方形证明如下：A45，ACB90，345，EBF2390，菱形BECF是正方形方法总结：正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；还可以先判定四边形是平行四边形，再用判定定理1或判定定理2进行判定探究点二：正方形的判定的应用【类型一】 正方形的性质和判定的综合应用 如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AFBPCQDE.求证：(1)EFFPPQQE；(2)四边形EFPQ是正方形解析：(1)证明APFDFECEQBQP，即可证得EFFPPQQE；(2)由EFFPPQQE，可判定四边形EFPQ是菱形，又由APFBQP，易得FPQ90，即可证得四边形EFPQ是正方形证明：(1)四边形ABCD是正方形，ABCD90，ABBCCDAD.AFBPCQDE，DFCEBQAP.在APF和DFE和CEQ和BQP中，APFDFECEQBQP(SAS)，EFFPPQQE；(2)EFFPPQQE，四边形EFPQ是菱形APFBQP，AFPBPQ.AFPAPF90，APFBPQ90，FPQ90，四边形EFPQ是正方形方法总结：此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质注意解题的关键是证得APFDFECEQBQP.【类型二】 与正方形的判定有关的综合应用题 如图，ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角ACG的平分线于点F，连接AE、AF.(1)求证：ECF90；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；(3)在(2)的条件下，要使四边形AECF为正方形，ABC应该满足条件：_(直接添加条件，无需证明)解析：(1)由CE、CF分别平分BCO和GCO，可推出BCEOCE，GCFOCF，则ECF18090；(2)由MNBC，可得BCEOEC，GCFOFC，可推出OECOCE，OFCOCF，得出EOCOFO，点O运动到AC的中点时，则EOCOFOAO，这时四边形AECF是矩形；(3)由已知和(2)得到的结论，点O运动到AC的中点时，且ABC满足ACB为直角时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，因而四边形AECF是正方形(1)证明：CE平分BCO，CF平分GCO，OCEBCE，OCFGCF，ECF18090；(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形理由如下：MNBC，OECBCE，OFCGCF.又OCEBCE，OCFGCF，OCEOEC，OCFOFC，EOCO，FOCO，OEOF.又当点O运动到AC的中点时，AOCO，四边形AECF是平行四边形ECF90，四边形AECF是矩形(3)ACB90.方法总结：在解决正方形的判定问题时，可从与其判定有关的其他知识点入手，例如等腰三角形，平行线和角平分线从中发现与正方形有关联的条件求解三、板书设计1正方形的判定方法一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形2正方形性质和判定