线性代数行列式的性质与计算.ppt

将行列式d的行与列互换后得到的行列式称为d的转置行列式 记为dt transpose 或d 即如果 2 1行列式的性质 第2节行列式的性质与计算 显然 dt t d 下页 行列式的转置 性质3用数k乘以行列式的某一行 列 等于用数k乘以此行列式 性质1行列式与它的转置行列式相等 即d dt 推论1如果行列式的某一行 列 的元素全为零 则d 0 性质2互换行列式的两行 列 行列式的值变号 推论如果行列式d中有两行 列 的元素相同 则d 0 推论2如果d中有两行 列 对应元素成比例 则d 0 下页 性质4若行列式中的某一行 列 的元素都是两数之和 则此行列式可以写成两个行列式之和 即 性质5将行列式的某一行 列 的所有元素同乘以数k后加到另一行 列 对应位置的元素上 行列式的值不变 即 下页 行列式的计算 要点 利用性质将其化为上三角行列式 再进行计算 下页 为表述方便 引入下列记号 行用r 列用c 以数k 0乘以行列式的第i行 用kri表示 以数k乘以行列式的第i行加到第j行 用rj kri表示 换法变换 倍法变换 消法变换 思考 这三种变换的结果分别是什么 例1 计算行列式 解 85 下页 例2 计算行列式 解 下页 例3 计算行列式 解 将各行都加到第一行 从第一行提取 x n 1 a 得 下页 解 例4 计算行列式 下页 一 余子式与代数余子式定义5在n阶行列式d aij 中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n 1阶行列式 称为d中元素aij的余子式 记作mij 例如 求4阶行列式中a32的代数余子式 m32 a32 1 3 2m32 m32 令aij 1 i jmij aij称为元素aij的代数余子式 2 2行列式按行 列 展开 下页 一 余子式与代数余子式定义5在n行列式d aij 中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n 1阶行列式 称为d中元素aij的余子式 记作mij 令aij 1 i jmij aij称为元素aij的代数余子式 再如 求4阶行列式中a13的代数余子式 m13 a13 1 1 3m13 m13 下页 2 2行列式按行 列 展开 定理4n阶行列式d aij 等于它的任意一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即 定理5n阶行列式d aij 的某一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积的和等于零 即 d ai1ai1 ai2ai2 ainain i 1 2 n d a1ja1j a2ja2j anjanj j 1 2 n ai1aj1 ai2aj2 ainajn 0 i j a1ia1j a2ia2j anianj 0 i j 二 展开定理 下页 例1 分别按第一行与第二列展开行列式 解 按第一行展开 a11a11 a12a12 a13a13 d 1 1 1 1 0 1 1 2 1 1 3 2 1 8 0 2 5 18 三 利用展开定理计算行列式 下页 按第二列展开 0 1 3 3 1 5 3 15 18 例1 分别按第一行与第二列展开行列式 解 按第一行展开 a11a11 a12a12 a1na1n d 1 8 0 2 5 18 1 3 2 3 1 2 2 1 1 1 2 0 a12a12 a22a22 a32a32 d 下页 解 将某行 列 化为一个非零元后展开 例2 计算行列式 1 1 3 2 602 90 1 112 1 1 2 2 6 18 24 7014 70 2 5 3 1 10 1012 下页 例3 计算行列式 解 下页 d2 5 解 例4 计算行列式 下页 证明 从最后一行起每一行加上前一行的 a1 倍 得 例5 证明范得蒙 vandermonde 行列式 下页 下页 下页 由此推得 即 下页 例如n 4时 d4 下页 范得蒙 vandermonde 行列式 下页 注意 j 1 2 n 有且仅有一个解 第3节克莱姆法则 定理6含有n个未知量n个方程的线性方程组 当其系数行列式 时 其中 dj是把系数行列式d的第j列换为方程组的常数列b1 b2 bn所得到的n阶行列式 j 1 2 n 下页 例1 解线性方程组 下页 解 方程组的系数行列式 故方程组有唯一解 适用条件 未知数的个数 方程的个数 系数行列式d 0 解 方程组的系数行列式 故方程组有唯一解 而 故方程组的解为 下页 推论 定理6之逆否命题 含有n个未知量n个方程的线性方程组 如果无解或非唯一解 则系数行列式d 0 例2 解线性方程组 下页 显然 此方程组无解 其系数行列式为 定理7 齐次线性方程组 含有n个未知量n个方程的线性方程组 当其系数行列式 时 方程组只有零解 而没有非零解 下页 推论若齐次线性方程有非零解 则必有系数行列式 例3 取何值时 下列方程组只有零解 解 因为 所以 当d 0 即 5 2且 8时 方程组只有零解 下页 由对角线记忆法得 l 2 l 2 2 l 4 作业 21页4 3 4 22页5 4 6 2 4 23页9 10 1 结束 ai1aj1 ai2aj2 ainajn 例2 计算行列式 解 下页 第2章向量与矩阵 2矩阵的概念与运算 下页 1向量的概念与运算 3逆矩阵 4分块矩阵 5矩阵的初等变换与初等矩阵 6矩阵的秩 7向量组的线性相关性 8向量组的正交化 第1节向量的概念与运算 定义1n个数a1 a2 an组成的有序数组 a1 a2 an 称为n维向量 记为a 其中ai i 1 2 n 叫做向量的第i个分量 a a1 a2 an 写成列的形式 称为列向量 记为 n维向量写成行的形式 称为行向量 记为 下页 1 1向量的概念 下页 a1 a2 an t 为向量a的负向量 记作 a 称向量 0 0 0 t 为零向量 记作o 称向量 如果向量a a1 a2 an t 与向量b b1 b2 bn t都是 n维向量 且对应的分量都相等 则称它们相等 记作a b 本教材约定向量的形式为列向量 即 或记做a a1 a2 an t 向量满足以下8条运算规律 设a b g都是n维向量 k l为实数 1 a b b a 2 a b g a b g 3 a o a 4 a a o 5 k l a ka la 6 k a b ka kb 7 kl a k la 8 1 a a 1 2向量的运算 定义2设 则 1 下页 向量的加法 向量的数乘 下页 向量的减法 设a b都是n维向量 利用负向量可定义向量的减法为 a b 即对应分量相减 a b 例1 设 解 解 a 2g a b a 两边加a的负向量 a a 2g b a 交换律 o 2g b a 性质4 a a 2g b a 约定 减法 2g b a 性质3 2g b a 数乘运算 1g b a 恒等变换 g b a 性质8 下页 例2 设 说明 实际运算时 一般给出主要步骤即可 但应注意与数的运算的区别 计算结果 略 定义3设a a1 a2 an t与b b1 b2 bn t是两个n维向量 则实数 称为向量a和b的内积 记为 a b 或atb 向量的内积 例如 设a 1 1 0 2 t b 2 0 1 3 t 则a与b的内积为 a b 1 2 1 0 0 1 2 3 4 下页 内积的性质设a b g为rn中的任意向量 k为常数 1 a b b a 2 ka b k a b 3 a b g a g b g 4 a a 0 当且仅当a o时 有 a a 0 下页 向量的长度 定义4对于向量a a1 a2 an t 其长度 或模 为 例如 向量a 1 2 0 2 t的长度为 向量长度的性质 了解 下页 长度为1的向量称为单位向量 向量的单位化 标准化 下页 例4 n维单位向量组e1 e2 en 是两两正交的 ei ej 0 i j 例3 零向量与任意向量的内积为零 因此零向量与任意向量正交 定义5如果向量a与b为非零向量 它们的夹角 定义为 若 a b 0 则称向量a与b互相正交 垂直 下页 定义6如果m个非零向量组a1 a2 am两两正交 即 ai aj 0 i j 则称该向量组为正交向量组 如果正交向量组a1 a2 am的每一个向量都是单位向量 则称该向量组为标准正交向量组 下页 显然 例4中n维单位向量组e1 e2 en 为标准正交向量组 标准正交向量组 在某些问题中 存在若干个具有相同长度的有序数组 比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组 a11a12 a1nb1 a21a22 a2nb2 am1am2 amnbm 这些有序数组可以构成一个表 这个表就称为矩阵 2 1矩阵的概念 下页 第2节矩阵的概念与运算 其中aij称为矩阵的第i行第j列的元素 一般情况下 我们用大写字母a b c等表示矩阵 m n矩阵a简记为a aij m n或记作am n 定义1由m n个数aij i 1 2 m j 1 2 n 排成一个m行n列的矩形表称为一个m n矩阵 记作 下页 如果矩阵a与b的行数相等 列数也相等 则称a与b是同型矩阵或同阶矩阵 零矩阵所有元素均为0的矩阵称为零矩阵 记为o 行矩阵与列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵 只有一列的矩阵称为列矩阵 常用小写黑体字母a b x y等表示 例如 a a1a2 an 负矩阵 为a的负矩阵 记作 a 下页 如下形式的n阶矩阵称为上三角形矩阵 三角形矩阵 如下形式的n阶矩阵称为下三角形矩阵 方阵若矩阵a的行数与列数都等于n 则称a为n阶矩阵 或称为n阶方阵 下页 注意 区别方阵与行列式 数表 数值 对角矩阵 如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵 对角矩阵可简单地记为a diag a11 a22 ann 单位矩阵 如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵 记为en或e 定义2矩阵相等 设a aij b bij 为同阶矩阵 如果aij bij i 1 2 m j 1 2 n 则称矩阵a与矩阵b相等 记作a b 下页 2 2矩阵的运算 定义1设a与b为两个m n矩阵 a与b对应位置元素相加得到的m n矩阵称为矩阵a与b的和 记为a b 即c a b 下页 2 2 1矩阵的加法 例1 设 a b 3 15 37 22 0 2 20 14 53 7 0 01 62 43 8 4892 41910 07611 矩阵的加法 设a aij m n与b bij m n 则a b aij bij m n 下页 设a b c都是m n矩阵 容易证明 矩阵的加法满足如下运算规律 1 交换律 a b b a 2 结合律 a b c a b c 3 a o a 其中o是与a同型的零矩阵 矩阵的减法可定义为 显然 若a b 则a c b c a c b c 若a c b c 则a b 4 a a o 其中o是与a同型的零矩阵 下页 定义2设a aij 为m n矩阵 则以数k乘矩阵a的每一个元素所得到的m n矩阵称为数k与矩阵a的数量乘积 记为ka 即 2 2 2数与矩阵的数法 下页 矩阵的数乘 设a aij m n 则ka kaij m n 例2 设 3a 3 33 53 73 2 3 23 03 43 3 3 03 13 23 3 915216 60129 0369 下页 5 k a b ka kb 6 k l a ka la 7 kl a k la 8 1 a a 设a b c o都是m n矩阵 k l为常数 则 矩阵数乘的性质 性质 1 8 称为矩阵线性运算的8条性质 须熟记 下页 解 3a 2b 2640 421014 012816 915216 60129 0369 79176 2 22 5 0 9 2 7 9 215 621 46 0 6 40 212 109 14 0 03 126 89 16 下页 解 a 2x a b a 两边加a的负矩阵 a a 2x b a 交换律 o 2x b a 性质4 a a 2x b a 约定 减法 2x b a 性质3 2x b a 数乘运算 1x b a 恒等变换 x b a 性质8 下页 从而得x b a 说明 实际运算时 一般给出主要步骤即可 但应注意与数的运算的区别 解 下页 定义3设a是一个m s矩阵 b是一个s n矩阵 构成的m n矩阵c称为矩阵a与矩阵b的积 记为c ab 则由元素cij ai1b1j ai2b2j aisbsj i 1 2 m j 1 2 n 2 2 3矩阵的乘法 下页 cij ai1b1j ai2b2j aisbsj i 1 2 m j 1 2 n ai1b1j ai2b2j aisbsj 注 a的列数等于b的行数 ab才有意义 c的行数等于a的行数 列数等于b的列数 因此 cij可表示为a的第i行与b的第j列的乘积 矩阵的乘法 cij 下页 下页 ai1b1j ai2b2j aisbsj 注 a的列数等于b的行数 ab才有意义 c的行数等于a的行数 列数等于b的列数 因此 cij可表示为a的第i行与b的第j列的乘积 cij 反例 设 则ab 无意义 解 6 7 8 1 先行后列法 解 6 7 8 3 0 3 1 先行后列法 解 6 7 8 3 0 9 7 3 5 1 先行后列法 下页 解 5 3 8 2 先列后行法 解 5 3 8 7 0 7 2 先列后行法 解 5 3 8 7 0 7 6 9 3 2 先列后行法 4 9 8 3 解 6 7 8 3 0 9 7 3 5 通常采用 先行后列法 下页 解 32 16 16 8 0 0 0 0 下页 ab 解 显然 1 矩阵乘法一般不满足交换律 即ab ba 2 两个非零矩阵相乘 乘积可能是零矩阵 从而不能从ab o 推出a o或b o 下页 解 3 1 1 0 3 1 1 0 显然ab ba 如果两矩阵a与b相乘 有ab ba 则称矩阵a与矩阵b可交换 下页 显然ac bc 但a b 矩阵乘法不满足消去律 下页 例8 设 例10 则aa a 显然aa a 但a e a o 下页 例9 对于任意矩阵a b及相应的单位矩阵e 有 ea a be b 对于任意矩阵a b及相应的零矩阵o 有 ao o ob o 例11 线性方程组的矩阵表示 矩阵方程 简记为 ax b 其中 a x b 下页 应注意的问题 1 ab ba 3 ab o a o或b o 2 ac bc a b 矩阵乘法的性质 方阵的幂对于方阵a及自然数kak a a a k个a相乘 称为方阵a的k次幂 方阵的幂有下列性质 1 aras ar s 2 ar s ars 4 aa a a e或a o 1 ab c a bc 2 a b c ac bc 3 c a b ca cb 4 k ab ka b a kb 问题 a b 2 ab k 若a2 o a o 下页 定义4将m n矩阵a的行与列互换 得到的n m矩阵 称为矩阵a的转置矩阵 记为at或a 即如果 例如