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3 柱面方程与柱面坐标 一 母线平行于坐标轴的柱面方程 1 定义：一动直线l在运动过程中，总是平行于一定方向V。，且总与一曲线c相交，则l的运动轨迹称为柱面，其中V。柱面的方向，c柱面的准线，l的任一位置柱面的母线。 2 方程及特征： 定理：在空间坐标系下，三元方程F（x,y,z）=0为一母线，平行于z轴的柱面的方程 该方程同解于一关于x,y的二元方程f（x,y）=0 证： “”设三元方程F（x,y,z）为一母线平行于z轴的柱面的方程，则与面的交线c： 其中f（x,y）F（x,y,0），可以证明M（x,y,z）M点的坐标满足f（x,y）=0， f（x,y）=0是的方程，从而F（x,y,z）=0与 f（x,y）=0同解。 “”若F（x,y,z）=0同解于f（x,y）=0，记以c：为准线，母线平行于z轴的柱面为，可以证明M（x,y,z）M的坐标满足f（x,y）=0 f（x,y）=0表示柱面，从而F（x,y,z）=0亦表示柱面 例：在直角坐标系下，圆柱面，双曲柱面，平面和抛物柱面的图形如下： (图2.4) (图2.5) (图2.6) (图2.7)二 柱面坐标： 1 圆柱面的参数方程： 设圆柱面的中心轴重合于z轴，半径=R 对P，记P在x.y面上的投影为P =（i，OP），则 r= = + = Rcosi+Rsinj+uk矢量式参数方程 而 02,u坐标式参数方程 2 定义：空间中建立了直角坐标系之后，对M（x,y,z），设其到z轴的距离为，则 M落在以z轴为中心轴，以为半径的圆柱面上，从而，u，使 （*） 反之，对给的（0），（02），u（u）,依据（*）式也可确定空间中一点M（x,y,z），称有序三数组，u为M点的柱面坐标，记作M（，u） 注：1空间中的点与其柱面坐标并非一一对应 2
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