初二数学同步辅导教材(第1讲).doc

初二数学同步辅导教材（第1讲）【教学进度】 代数第二册 8.1 8.2【主要内容】 1因式分解 2提公因式法 3运用公式平方式差公式分解因式【重点、难点剖析】 一因式分解 1定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 2对因式分解应在以下几方面加深理解 （1）多项式的因式分解是对多项式而言，把一个单项式写成几个单项式的积的形式，不属于因式分解。如：-6a3b3=(2a2b).(-3ab2)这个变形就不属于因式分解。 （2）将一个多项式局部化成积的形式，亦不属于因式分解。如：ma-mb+c=m(a-b)+c这个变形不属于因式分解。 （3）整式乘法和多项式的因式分解是互逆的两个变形，其关系如下：反过来 单项式单项式 整式乘法 单项式多项式 多项式多项式 多项式的因式分解 （4）因式分解是代数中的一种重要恒等变形，乘法公式在因式分解中有着重要的作用。 如：分解因式（1）9a2-4b2 , (2)16x2-8xy+y2 解：（1）9a2-4b2=（3a+2b）(3a-2b) (2)16x2-8xy+y2=(4x-y)2 这里都是利用乘法公式对多项式进行恒等变形，达到因式分解的目的。 二提公因式法 1公因式：若多项式中各项都含一个公共的因式，则该因式叫做这个多项多的公因式。 如何找一个多项式的公因式，方法是：一看系数、二看字母。公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取相同字母，并且是相同字母的最低次幂。如：多项式9x3y-12x2y2+18x2y3z各项系数的最大公约数是3，各项都会有相同的字母x,y，x的指数最低是2，y的指数最低是1，因此，公因式为3x2y。 2提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号前，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 提公因式法分解因式的一般步骤是： （1）找出各项的公因式。 （2）写出公因式与另一个多项式的积（这里的另一个多项式是原多项式除以公因式所得的商式）。 其中步骤（1）是提公因式法的关键。 3几点提醒 （1）当一个多项式提出公因式以后，括号里再也不能提出式子出来了。 （2）提公因式以后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致。如：分解因式4a3-6a2b+2a提公因式2a后，剩下的另一个因式应是2a2-3ab+1。 （3）如果多项多的第一项系数是负数时，例如：-12x2y-16xy2，先要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正数，然后再对括号内的多项式进行提公因式：-12x2y-16xy2= -(12x2y+16xy2)= -4xy(3x+4y) (4) 如果多项式的某一项恰巧就是公因式，那么提出公因式后，要在该项的位置上添“1”。 （5）如果多项式中项的系数含有分数，那么分解后的多项式因式中的各项系数通常应化为整数。 三运用公式法平方差公式 1把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的分法叫做运用公式法。 2运用平方差公式分解因式时，通常先把它们转化为两个单项式的平方差的形式，进而与公式a2-b2=(a+b)(a-b)对照，分清哪一项相当于公式中的a,哪一项相当于公式中的b,最终写出分解结果，如：分解因式-16+64a2，原式=64a2-16=(8a)2-42=(8a+4)(8a-4)=16(2a+1)(2a-1) 3当分解后的多项式中各项系数有公约数时，仍必必须提出，如2中所举例题。 例1下列各式由左边到右边的变形哪些是因式分解，哪些不是？ （1）x2+x=x2(1+) (2) a2-17=(a+4)(a-4)+1 (3) (a+b)(a-b)=a2-b2 （4）x2y+xy2=xy(x+y)=x2y+xy2 (5) 9+x2=(3+x)(x-3) 解：（1）（2）（3）（4）都不是因式分解；（5）是因式分解点评：因式分解的定义是把一个多项式化为几个整式的积的形式；（1）题虽然也是积的形式，但1+不是整式；（2）题的结果是（a+4）(a-4)+1的和的形式，而不是积的形式；（3）题是整式的乘法，与因式分解运算刚好相反；（4）题分解到半路又做乘法运算回去了；（5）题则以定义去衡量，完全符合。 例2把因式分解 解：原式=点评：如果多项式中的系数含有分数，那么分解后的多项式因式中的各项系数通常应化为整数，如果多项式的首项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的首项系数是正数，同时括号内的其他各项都要变号。 例3把一列各式分解因式 （1）a(a-b)2+(b-a)3 (2) (b+c)x+(c+a)x+(a+b)x 解：（1）原式= a(a-b)2+(b-a)3 =(a-b)2 a-(a-b) =(a-b)2 (a-a+b) =b(a-b)2 (2) 原式=x(b+c+c+a+a+b) =x(2a+2b+2c) =2x(a+b+c)点评：（1）题首先把(b-a)3改写成-(a-b)3；因式分解后各个因式要进行化简；因式分解的结果，单项式要写在多项式的前面。 （2）题提取的公因式后，括号内的因式要进行化简，有公因式的还需提出公因式，每个因式必须分解到不能分解为止。 例4把(b-a)2-2a+2b因式分解 解：原式=(a-b)2-2(a-b) =(a-b)(a-b-2)点评：本题进行了两次提取公因式，一次局部，一次整体。以创造条件把多项式因式(a-b)提出，达到因式分解的目的。 例5用简便方法计算33+112+66 解：原式=11（3+11+6）=1120=220点评：本题对给出的式进行因式分解，以简化计算。 例6把-16(2a-b)2+9(a-3b)2因式分解 解：原式=3(a-3b)2-4(2a-b)2 =3(a-3b)+4(2a-b)3(a-3b)-4(2a-b) =(11a-13b)(-5a-5b) =-5(a+b)(11a-13b)点评：平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)中的字母a,b不仅表示单项式，也可表示多项式，3(a-3b)相当于a, 4(2a-b)相当于b;分解后的结果应化为最简形式，在化简过程中，要正确使用去括号法则和分配律，对于化简后得到的因式，可以分解的应继续分解，如本题中化简后得到的(-5a-5b), 应写成-5(a+b)的形式。例7把下列各式分解因式 （1） （2）a3(a-b)2-a(a+b)2 解：（1）原式= = = （2）原式=aa2(a-b)2-(a+b)2 =aa(a-b)+(a+b)a(a-b)-(a+b) =a(a2-ab+a+b)(a2-ab-a-b)点评：（1）本例属于先提取公因式再运用平方差公式分解因式的类型。 （2）要特别提醍的是，因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止，这是因式分解的一个基本要求，必须遵守。 （3）因式分解的结果中通常不保留中括号例8把4x2-9y2-(2x+3y) 解：原式=(4x2-9y2)-(2x+3y) =(2x+3y)(2x-3y)-(2x+3y) =(2x+3y)(2x-3y-1)点评：本题先局部运用平方差公式再整体提取公式，达因式分解目的。例9证明58-1解被2030之间的两个整数整除 思路分析：可能通过用公式法对58-1进行因式分解。 解：58-1=(54)2-1=(54+1)(54-1)=(54+1)(52)2-1 =(54+1)(52-1)(52+1) =(54+1)(25-1)(25+1) =2426262 58-1解被24和26整除【巩固练习】 1下列各题中从左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？（1）x2+2x-3=x(x+2)-3 (2) 6a2b-3ab2=3ab(2a-b) （3）-2m(m+n)= -2m2-2mn (4) x2-12x+36=(x-6)2 (5) ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b) 2ab+5ab2-2b2的公因式为 . 3a2+ab与a2-ab的公因式为 . 4把-12m3+8m2-4m分解因式为 . 5分解因式-mx2+m2x+mx= . 6分解因式 =m(a+b+c) 7把3a(x-b)-9b(b-x)分解因式= . 8将-m4+m2n2因式分解的结果是（ ）（A）（-m2+mn）(-m2-mn) (B) m2(m2+n2) (C) m2(m+n)(m-n) (D) m2(n+m)(n-m) 9将x2(x-y)2-y2(y-x)2因式分解的结果是（ ） （A）(x-y)2(x2+y2) (B) (x-y)2(x2-y2) (C) (x-y)2(x-y)(x+y) (D) (x-y)3(x+y) 10分解因式48(x+y+z)2-75(x-y-z)2= . 11把下列各式分解因式（1）25x4-75x5 (2) 2x2n-4xn (3) b(a+b)2+b2(a+b) (4) (m+n)(n-m)-n(m+n)(m-n) (5) a(a+b-c)-b(c-a-b)-c(b-c+a) (6) a2(a+2b)2-9(x+y)2 12用简便方法计算13.7 13把x(a-2)n-y(2-a)n分解因式 14解方程(5x+3)(5x+6)-(5x+3)(5x+7)=0【参考答案】1（1）（3）（5）不是,（2）（4）是；2b3a4-4m(3m2-2m+1) 5mx(x-m-1) 6ma+mb+mc73(x-y)(a