全国高考数学复习第四篇平面向量第3节平面向量的数量积及平面向量的应用习题理.docx

第3节平面向量的数量积及平面向量的应用【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积4平面向量的夹角与垂直1,3,9,14平面向量的模2,8平面向量数量积的综合问题7,10,11平面向量与其他知识的交汇5,6,12,13,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016哈尔滨六中期中)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),则等于(B)(A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1解析:由题意得m+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),因为(m+n)(m-n),所以(m+n)(m-n)=0(2+3,3)(-1,-1)=0,所以=-3.故选B.2.(2016长春外国语学校检测)设向量a=(,1),b=(+2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数的值为(C)(A)1(B)2(C)-1 (D)-2解析:因为向量a=(,1),b=(+2,1),所以a+b=(2+2,2),a-b=(-2,0),于是由|a+b|=|a-b|可得=2,解得=-1,故选C.3.(2016衡水中学调研)已知a,b是两个向量,|a|=1,|b|=2,且(a+b)a,则a,b的夹角为(C)(A)30(B)60(C)120(D)150解析:因为(a+b)a,所以a2+ab=0,所以ab=-1,所以|a|b|cos=-1,所以cos =-,所以=120,故选C.4.(2016兰州一中期中)设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,则a与b的数量积等于(D)(A)-(B)-(C)(D)解析:由已知可得a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),因为a+2b与2a-b平行,所以(-1+2m)3-(-2-m)4=0,解得m=-.即b=(-,1).所以ab=-1(-)+21=.故选D.5.(2016遵义校级期末)在ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边,设向量m=(b-c,c-a),n=(b,c+a),若mn,则角A的大小为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为mn,所以mn=b(b-c)+(c+a)(c-a)=0,化为b2-bc+c2-a2=0,即b2+c2-a2=bc.所以cos A=.因为A(0,),所以A=.6.(2016广东实验中学测试)在ABC中,已知向量与满足(+)=0且=,则ABC为(D)(A)三边均不相等的三角形(B)直角三角形(C)等腰非等边三角形(D)等边三角形解析:设BAC的角平分线为AD,则+=.由已知得ADBC,所以ABC为等腰三角形.又由=得cosBAC=,所以BAC=60,所以ABC为等边三角形,故选D.7.已知点G为ABC的重心,A=120,=-2,则|的最小值是(C)(A)(B)(C)(D)解析:设BC的中点为M,则=.又M为BC中点,所以=(+),所以=(+),所以|=.又因为=-2,A=120,所以|=4.所以|=,当且仅当|=|时取“=”,所以|的最小值为,故选C.8.(2016江西临川一中期中)设a=(x,3),b=(2,-1),若ab,则|2a+b|=.解析:因为ab,所以2x-3=0,解得x=,所以|2a+b|=5.答案:59.(2016牡丹江一中月考)已知P,Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且P点的纵坐标为,Q点的横坐标为,则cosPOQ=.解析:由题意可得点P的坐标为(,),点Q的坐标为(,-),则=(,),=(,-),由向量的夹角公式得cosPOQ=-.答案:-10.导学号 18702229已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(xR).(1)若ab,求x的值;(2)若ab,求|a-b|.解:(1)由ab得ab=0,故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.(2)a-b=(-2x-2,2x),因为ab,所以x(2x+3)+x=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a-b=(-2,0),|a-b|=2.当x=-2时,a-b=(2,-4),|a-b|=2.综上,|a-b|为2或2.11.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61,(1)求a与b的夹角;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求ABC的面积.解:(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以4|a|2-4ab-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,所以64-4ab-27=61,所以ab=-6.所以cos =-.又0,所以=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2=42+2(-6)+32=13,所以|a+b|=.(3)因为与的夹角=,所以ABC=-=.又|=|a|=4,|=|b|=3,所以SABC=|sinABC=43=3.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016宁夏银川模拟)已知正三角形ABC的边长是3,D是BC上的点,BD=1,则等于(B)(A)-(B)-(C)(D)解析:由余弦定理得AD2=32+12-231cos 60=7,所以AD=,所以cosADB=-,所以=3cosADB=3(-)=-.故选B.13.导学号 18702232若a,b,c均为单位向量,ab=-,c=xa+yb(x,yR),则x+y的最大值是(D)(A)1(B)(C)(D)2解析:因为ab=-,c=xa+yb,所以c2=(xa+yb)2=(x2+y2)+2xy(-)=x2+y2-xy=1,所以(x+y)2-3xy=1,即(x+y)2=3xy+13()2+1,所以(x+y)24,所以|x+y|2,故选D.14.(2016洛阳统考)已知A(-1,cos ),B(sin ,1),若|+|=|-|(O为坐标原点),则锐角=.解析:法一利用几何意义求解:由已知可知+是以OA,OB为邻边作平行四边形OADB的对角线向量,-则是对角线向量,于是对角线相等的平行四边形为矩形.故OAOB.因此=0,所以锐角=.法二坐标法:+=(sin -1,cos +1),-=(-sin -1,cos -1),由|+|=|-|可得(sin -1)2+(cos +1)2=(-sin -1)2+(cos -1)2,整理得sin =cos ,于是锐角=.答案:15. 导学号 18702234在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(-1,0),|=1,且AOC=,其中O为坐标原点.(1)若=,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值;(2)若0,向量m=,n=(1-cos ,sin -2cos ),求mn的最小值及对应的值.解:(1)设D(t,0)(0t1),由题意知C(-,),所以+=(-+t,),所以|+|2=-t+t2+=t2-t+1=(t-)2+,所以当t=时,|+|最小,为.(2)由题意得C(cos ,sin ),m=(cos +1,sin ),则mn=1-cos2+sin2-2sin cos =1-cos 2-sin 2=1-sin(2+),因为0,所以2+,所以当2+=,即=时,Sin(2+)取得最大值1.所以mn的最小值为1-,此时=.好题天天练导学号 18702235在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B),n=(cos B,-sin B),且mn=-.(1)求sin