与旋转有关的猜想探究题.doc

与旋转有关的猜想探究题 “旋转”是现实生活和生产中广泛存在的现象，是现实世界运动变化的最简捷的形式之一，它不仅是探索图形一些性质的必要手段，而且也是解决现实世界中的具体问题以及进行数学交流的重要工具.在近几年的中考试题中，以图形为载体、以旋转为手段考查同学们操作、想象、探究能力的中考题层出不穷，今举数例，供参考.例1.（河北）如图11，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转（1）如图12，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到如图13所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由图11A( G )B( E )COD( F )图13ABDGEFOMNC图12EABDGFOMNC分析：本题主要考查旋转图形的性质，解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段之间的变化规律.对于（1）问，经测量后可知BM=FN然后利用三角形全等证明即可；对于（2）问，要明确，在继续旋转的过程中，虽然OBM和OFN都发生了变化，但二者之间全等的关系没变.故结论成立.解：（1）BM=FN 证明：GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ABD =F =45，OB = OF又BOM=FON， OBMOFN BM=FN （2）BM=FN仍然成立 证明：GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，DBA=GFE=45，OB=OFMBO=NFO=135又MOB=NOF， OBMOFN BM=FN 评注：本题利用图形旋转的不变性，探索图形在旋转过程中的有关规律，让同学们体验图形旋转变换的性质，同时也考查了同学们空间想象、规律探索、推理能力以及分析问题、解决问题的能力，是一道不可多得的优秀题目.例2. （黑龙江鸡西）已知AOB=900，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=OC当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明 图2-1 图2-2 图2-3分析：由于在旋转的过程中，虽然点O的位置发生了变化，但AOC和COE的大小不变，都是45，因此可过C分别作OA、OB的垂线，从而转化为等腰直角三角形（图1）来处理.对于图3可仿图2处理.解：图2结论：OD+OE=OC. 证明：过C分别作OA、OB的垂线，垂足分别为P、Q CPDCQE，DP=EQ. OP=OD+DP，DQ=OE-EQ. 又OP+0Q=0C，即OD+DP+OE-EQ=0C. OD+OE=0C 图3结论：OE-OD=OC.评注：从以上两例可以看出，解决这类问题的关键是要把握以下两点：1.在解题时，认真观察图形，不放过一个细节，看清旋转的角度和方向，找准旋转前后的相关的角与边，在旋转的过程中，弄清