数学北师大版八年级下册三线合一.doc

专题训练(六)_“三线合一”好解题 类型之一证明线段相等1已知：如图6ZT1所示，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CECD.求证：BDDE.图6ZT1解析 欲证BDDE，只需证DBEE.根据等腰三角形的“三线合一”和等边三角形的性质可得DBEABC30.再根据三角形的外角性质和等边三角形的性质可得E30.由此可得结论证明：ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，BDAC，BD平分ABC，DBEABC30.(等腰三角形的“三线合一”)CDCE，CDEE.ACB为CDE的外角，ACB60，CDEE60.CDEE30.又DBE30，BDDE.(等角对等边)2如图6ZT2所示，点D，E在ABC的边BC上，ABAC，BDCE.求证：ADAE.图6ZT2解析 本题可通过全等三角形来证线段相等在ABD和ACE中，已知ABAC，BDEC且BC，由此可证得两三角形全等，即可得出ADAE的结论也可根据等腰三角形三线合一来证明证明：过点A作AFBC于点F.图ZT61ABAC，AFBC，BFCF.(等腰三角形底边上的高是底边上的中线)又BDCE，BFBDCFCE，即DFEF，AF是DE的垂直平分线，ADAE.类型之二证明两线垂直3如图6ZT3所示，在ABC中，ABAC，ABDACD，求证：ADBC.图6ZT3解析 首先证明DBCDCB，可得DBDC，再加上条件ABAC，公共边ADAD，可利用SSS证明ABDACD，进而得到BADCAD，再根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可证出ADBC.本题通过证明AD是BC的垂直平分线也可得证，如下面的证法证明：延长AD交BC于点M，ABAC，ABCACB.又ABDACD，ABCABDACBACD，即DBCDCB，DBDC.ABAC，DBDC，AD是线段BC的垂直平分线，ADBC.图ZT624如图6ZT4，在ABC中，ABAC，D为AC上一点，DBCBAC.求证：ACBD.图6ZT4解析 首先过点A作AEBC交BC于点E，交BD于点F.由ABAC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得CAEBAC，又由DBCBAC，在ADF与BEF中，易证得ADFBEF90，即可得ACBD.证明：如图ZT63，过点A作AEBC于点E，交BD于点F.图ZT63ABAC，AEBC，CAEBAC.(等腰三角形的“三线合一”)又DBCBAC，CAEDBC.12，ADF1802CAE，BEF1801DBC，ADFBEF.AEBC，BEF90.ADF90.BDAC.类型之三证明角的倍分关系5已知：如图6ZT5所示，AF平分BAC，BCAF，垂足为E，AEED，PB分别与线段CF，AF相交于点P，M，FMCD.求证：BAC2MPC.图6ZT5解析 先由AF平分BAC证明BAEBAC，再根据等腰三角形“三线合一”和线段垂直平分线的性质证明CDEBAE.从而CDEBAC.然后在MDC和MPF中证明MDCMPF.进而得MPFMDC，MPCCDEBAC即可证明：AF平分BAC，BCAF，BAECAEBAC，CEBE.CEAE，AEED，ACCD.CDECAEBAC.BCAF，CEBE，CMBM.CMABMA.又BMAPMF，CMDPMF.又FMCD，MPF180(FPMF)，MDC180(MCDCMD)，MPFMDC.MPCCDECAEBAC.BAC2MPC.类型之四证明线段的倍分关系6如图6ZT6，在ABC中，ABAC，点E为BC上一点，EDBC于点E，交CA的延长线于点F，求证：ADAF.图6ZT6解析 方法一：由ABAC，根据等边对等角的性质，可得BC.又由DEBC，根据等角的余角相等和对顶角相等，可得FADF，又由等角对等边，可证得ADAF.图ZT64方法二：过点A作AGBC，由等腰三角形的“三线合一”可得BAGCAG.再由平行线的性质证明FCAG，ADFBAG.进而可得结论证明：(方法一)ABAC，BC.DEBC，CF90，BBDE90.FBDE.ADFBDE，FADF.ADAF.(方法二)如图ZT64，过点A作AGBC于点G，ABAC，BAGCAG.(等腰三角形“三线合一”)AGBC，EDBC，AGEF.FCAG，ADFBAG.FADF.ADAF.72013五河期末改编 如图6ZT7所示，过等边三角形ABC的边AB上一点P，作PEAC于点E.Q为BC延长线上一点，且PACQ，连接PQ交AC边于点D.求证：(1)PDDQ；(2)DEAC.图6ZT7解析 (1)过点P作BC的平行线交AC于点F，通过证明PDF和QDC全等，可推出PDDQ；(2)由APF是等边三角形和PEAC，可推出AEEFAF.由PDF和QDC全等，可得出FDCDFC，进而可得DE的长证明：(1)过点P作PFBC，交AC于点F.图ZT65ABC是等边三角形，BACB60.又PFBC，APFAFPBACB60.APF是等边三角形PAAFPF.又PACQ，PFCQ.PFBC，