第7章 电磁感应.doc

第8章 气体动理论一、目的与要求1了解物质的微观结构及气体分子热运动的图象，掌握理想气体的微观模型。2了解宏观量的统计性质，理解统计平均的概念，掌握统计平均值的计算方法。3理解气体压强的统计意义和温度的微观本质，掌握理想气体压强公式和温度公式。4理解速率分布函数的概念和麦克斯韦速率分布律，掌握最概然速率、平均速率、方均根速率的概念和计算方法。5理解玻尔兹曼能量分布律，掌握等温气压公式。6了解自由度的概念，掌握能量均分定理和理想气体内能的计算。7理解分子的平均自由程和平均碰撞频率的概念，掌握平均自由程和平均碰撞频率的计算。二、内容提要1气体的状态方程描述系统平衡态的各状态参量之间的函数关系，称作气体的状态方程。理想气体状态方程式中为理想气体的摩尔数，为气体分子数密度。2理想气体压强公式其中为分子质量，为理想气体分子热运动的平均平动动能。3温度的统计意义温度是大量分子热运动的集体表现，是分子热运动平均平动动能的量度。4分子的自由度确定分子空间位置所需的独立坐标数，称作分子的自由度。单原子分子的自由度为3，刚性双原子分子自由度为5，刚性多原子分子的自由度为6。5能量均分定理平衡态时，分子每个自由度的平均动能为自由度为的分子所具有的总平均动能为摩尔的理想气体（刚性分子）的内能为6速率分布函数和麦克斯韦速率分布律速率分布函数表示处平衡态时，气体分子速率在附近，单位速率间隔内的分子数占总分子数N的比率，即麦克斯韦速率分布律7三种速率最概然速率平均速率方均根速率式中M为气体分子的摩尔质量。8玻耳兹曼能量分布律平衡态时，能量为的某状态区间中的粒子数重力场中粒子按高度的分布等温气压公式9气体分子的平均碰撞频率和平均自由程平均碰撞频率平均自由程式中d为分子的有效直径。三、例题8-1 容积分别为和的两容器中，各贮有压强为，温度为的同种理想气体，用一容积可忽略的细管连通两容器，将置于100的沸水中，置于0的冰水中，如图所示。求稳定时容器内气体的压强。分析 这是一个应用理想气体状态方程的题目。根据气体系统总质量不变可求解之题。解 初态中的气体摩尔数为初态中的气体摩尔数为设末态时气体的压强为，则末态时中气体的摩尔数为。末态时中气体的摩尔数为由于和中的气体总质量不变，所以有即所以说明 在求解一些具体问题时，通常需要同时应用状态方程和质量守恒。8-2 一热气球的容积为，气球本身和负载的总质量。若大气压强为，大气的温度为，要使热气球上升，其内部空气最低要加热到多少度？（空气的摩尔质量为）分析 这是一个涉及到浮力和气态方程的题目。以热气球内部的气体为研究对象，在加热气球内部气体的过程中，气球的容积及气体的压强不变，气体的质量从气球中逸出不断减少，因而，当达到一定温度时，热气球所受的浮力就会大于等于热气球系统整体所受的重力。解 设开始时，热气球中气体的质量为，则热气球所受浮力为。设热气球中气体的温度被加热到时，热气球中的气体质量为，要使气球开始上浮，则即(1)根据理想气体状态方程，初态时有(2)末态时有(3)将（2）、（3）两式代入（1）式有所以 说明 （1）在解本题时，分析清楚具体发生的过程非常重要。（2）在初态时，气球内的气体与气球外的空气密度相同，因而气体所受浮力为。（3）由（1）式可以看出，若则热气球中的气体无论温度多高都不会上升。8-3 在一容器中有氮气和氢气的混合气体。当温度为时，氮气全部分离成原子，而氢气基本上没有分离（即氢气的分离可忽略），此时的压强为。当温度升高到时，两种气体全部分离成原子，容器中的压强为。求混合气体中氮和氢的重量比。分析 这是一个应用混合气体理想气体状态方程的题目，当气体发生分解时，系统的摩尔数增加，将理想气体状态方程应用于始末两态即可求解。解 设分解前氮气的摩尔数为，氢气的摩尔数为，则初态时，有末态时，有两式相除，有即所以所以说明 在气体发生化学反应（如分解或合成）时，气体系统的总摩尔数将发生变化，掌握化学反应中摩尔数变化的规律，是解这类问题的基础。8-4 一容积为的真空系统在室温()下抽到的真空。为了提高真空度，将它放到500K的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，而后进一步抽真空。若烘烤后压强增为，试求器壁释放出的分子数。分析 由理想气体状态方程分别求出两个状态下的总分子数。末态分子数减初态分子数即为器壁释放的分子数。解 由理想气体状态方程，有所以，器壁释放的分子数为(个)说明 由此题可看出，在条件允许的情况下，加热系统对系统的抽真空是非常重要的。8-5 一个容器中有16g氧气（刚性分子），温度为100，试求：（1）分子的平均平动动能；（2）分子的平均转动动能；（3）分子的平均动能；（4）氧气的内能。分析 这是一个用能量均分定理求解的题目，刚性分子振动自由度为零。解 （1）分子的平均平动动能为（J）（2）氧气为双原子分子，转动自由度为2，所以分子的平均转动动能为 （J）（3）刚性分子，振动自由度，所以分子的平均动能为（J）（4）氧气的内能为 （J）说明 在应用能量均分定理求解问题时，关键是确定分子的自由度。气体温度很低时，气体分子仅有平动自由度，在室温附近一般振动自由度为零（即刚性分子），只有在比较高的温度时，振动自由度才不为零。8-6 试求由质量的氦气，的氮气和的水蒸气组成的混合气体在常温下的定体摩尔热容。分析 这是一个涉及到求混合气体平均摩尔质量和定体摩尔热容的题目。氦气是单原子分子，自由度为，在常温下，分子的振动自由度对气体的热容没有影响，因而，对双原子和多原了分子可看作是刚性分子，这样，氮为双原子分子其自由度为，水蒸气为3原了分子，自由度为，根据能量均分定理可分别求出三种气体的定体摩尔热容，根据平均摩尔质量的概念可进一步求出混合气体的定体摩尔热容。解 根据能量均分定理，氦气的定体摩尔热容为氮气的定体摩尔热容为水蒸气的定体摩尔数为设混合气体的平均摩尔质量为M，则根据摩尔热容的定义，设混合气体的定体摩尔热容为，则所以 说明 在实验中经常会遇到混合气体，例如空气就是混合气体。搞清楚混合气体的组份，求出平均摩尔质量，可以解决很多问题。在这方面确切地理解平均摩尔质量的概念非常重要。8-7 在一封闭容器内装有温度为，密度为的氧气，容器以的速率作匀速直线运动。若容器突然停止，定向运动的动能全部转化为气体热运动的动能，试求当平衡后气体的温度和压强。分析 这是一个涉及系统宏观运动的机械能向系统热运动内能转化的题目。对每个分子而言都有一个随容器运动的平动动能，将此能量转化为一个分子所具有的平均热运动动能，求出气体温度的增量，进而由理想气体状态方程可求出气体的压强。解 氧气分子随容器一起运动，一个氧气分子所具有的平动动能为将此能量全部转化为气体热运动动能，则气体温度的增量为即（K）所以，气体的温度为（K）由理想气体状态方程有 （Pa）说明 在室温情况下，氧气可看作是刚性双原子理想气体，分子的自由度。8-8 试计算氢气、氮气的方均根速率等于地球表面的逃逸速率时所需要的温度。分析 根据力学知识求出地球表面的逃逸速率，再根据能量均分定理算出气体的温度。解 在地球表面，根据机械能守恒有式中和分别为地球的质量和地球的平均半径。故将，代入上式，有 m/s对于氢气，有所以 (K)同理，对于氮气有(K)说明 从此题的计算结果可以看出，方均根速率要达到地球表面的逃逸速率，所需的温度很高。请读者考虑，若情况不是这样，所需温度仅为几百，将会怎样？8-9 某些恒星的温度达到的数量级，在这样的温度下原子已不存在，只有质子存在，试求：（1）质子的平均平动动能；（2）质子的方均根速率。分析 由能量均分定理求质子的平均平动动能，再由平均平动动能公式求方均根速率。解 （1）由能量均分定理有 （J）（2）由平均平动动能公式，有式中m/s是地球表面的逃逸速度。说明 （1）能量均分定理不仅适用于分子、原子系统，也适用于质子，中子、电子、等离子体等系统。（2）恒星上质子的热运动非常剧烈，有很大的速度，因而恒星表面也必然有很大的引力场，否则恒星会因热运动而离散消失。8-10 有N个粒子，其速率分布如图所示。试求：（1）速率分布函数；（2）由N和确定常量；（3）在区间内的分子数。（4）在区间内粒子的平均速率。分析 根据速率分布函数的定义，求速率分布函数；由速率分布函数的归一化条件确定常量；根据速率分布函数的意义和平均速率的概念，求粒子数和平均速率。解 （1）由图可得（2）由归一化条件有由此可得故分布函数可写成（3）在区间内的分子数为 （4）在速率区间内分子的平均速率说明 （1）本题亦可用几何的方法求解（1），（2），（3）问。（2）求某一速率区间的平均速率时注意其计算公式为，注意此时分母部分不等于1。8-11 在金属导体中，自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动。设导体中有N个自由电子，电子的最大速率为（称作费米速率）。电子的速率分布函数为式中为常量，试求：（1）用N和确定常数；（2）自由电子的平均速率和方均根速率。分析 根据归一化条件可确定常数，根据速率分布函数的概念，由电子的速率分布函数可求出电子的平均速率和方均根速率。解 （1）根据归一化条件，有积分后，有所以（2）电子平均速率为=电子的方均根速率为=说明 统计的方法不仅适用于气体，也可适用于其它由大量微观粒子组成的系统。8-12 对处于平衡态的理想气体，试计算（1）；（2）；（3）速率区间的分子数占总分子数的百分比。分析 应用麦克斯韦速率分布律可求解此题。在速率区间比较小时，可近似地认为在该区间内速率分布函数值不变。解 理想气体的最概然速率为代入到麦克斯韦速率分布中，消去温度，有 （1）速率在区间内的分子数占总分子数的百分比为 （2）速率在区间内的分子数占总分子数的百分比为 （3）速率在区间内的分子数占总分子数的百分比为 说明 从此题可以看出，将代入麦克斯韦速率分布律中可使计算简化。本题的计算结果表明，分子速率偏离越大，在该速率附近单位速率区间的分子数占总分子数的比率就越小。8-13 用统计的概念和麦克斯韦速率分布律求理想气体单位时间打到器壁单位面积上的分子数。分析 这是一个涉及到分子运动方向的统计问题。下面用球坐标系分析这个问题。根据统计规律，平衡态时，总分子数为的气体沿单位立体角方向运动的分子数为，因而运动方向在立体角为范围的分子数为。很明显，由于，即，因而可近似地认为这些分子有相同或相反速度方向，即对应分子的速度方向平行于由球坐标确定的方向。解 设器壁垂直于轴，在器壁上取一小面元，如图所示。由分析可知，容器内气体分子运动方向介于，之间的分子数为结合麦克斯韦速率分布律，在容器里单位体积中，速率介于之间，速度方向满足上述条件的气体分子数为 式中为麦克斯韦速率分布函数。在速度方向介于，之间，速率介于之间的所有分子中，在时间内能与面相碰的分子一定是位于以为底，为母线的斜柱体中的那部分，对应的这部分的分子数为。所以，速度方向介于，之间，速率介于之间的分子在单位时间内能碰上单位面积器壁的数目为。由于的分子不可能与面元相碰，故在计及所有可能碰到器壁的分子时只需将上式作以下积分 式中是分子的平均速率。说明 本题亦可用麦克斯韦速度分布律求解，而且方便。本题是在已知速率分布的条件下进行，因而利用统计方法分析气体分子的速度分布是求解本题的关键。8-14 在一个被抽成真空，体积为的容器上开一个面积为的小孔，这样大气中的分子就会通过小孔进入容器。设大气的压强和温度恒定，分子的平均速率为。试求开了小孔后，经过多长时间容器中的压强增至外界大气压的二分之一。分析 由于容器上的孔很小，容器起初为真空，因而进入容器的气体可很快达平衡态，而且气体温度不变。根据上题的结论，同时考虑时刻容器外和容器内气体分子对的碰撞，此题即可求解。解 设大气的压强为，温度为，时刻容器中气体的压强为。根据理想气体状态方程，大气分子的数密度为时刻容器中气体分子的数密度为根据上题结果，在时刻，时间内大气分子碰撞小孔进入容器的分子数为在时刻时间内容器中气体分子碰撞小孔跑出容器的分子数为式中为容器中气体分子的平均速率。由于容器中气体的温度不变与大气温度相同，因而。这样在时刻，时间内容器中净增加的分子数为(1)对于容器中的气体，有对上式两边求微分，有即容器中每增加的压强，分子数增加，将（1）式代入，化简后有分离变量，得两边积分故说明 此题只适合孔很小的情况，否则容器中的气体不能看作是平衡态，结论不成立。8-15 一容积为的容器装有氩气，其压强为，温度为300K，氩的原子量为40，如果在器壁上开一个的小孔，试求这容器中的原子个数减少到最初数值的要经过多少时间（假设容器中气体温度不变）？分析 根据例题8-13的结论并假设碰到小孔上的分子都能逸出容器，即可求解。解 设时刻容器中的分子数为，在时间内离开容器的分子数为，则式中的负号表示容器中气体分子减少，整理后，有积分得将代入，有故将代入，有 (s)说明 在本题中假设碰到小孔上的分子都能逸出容器是必须的，在容器中的压强甚大于外界压强时，这个假设是正确的，在此情况下，以外进入容器的大气分子亦可忽略。8-16 已知尘埃的质量，飘浮在空气中。试求尘埃浓度改变为，对应的空气层厚度（设空气的温度均匀，）。分析 应用玻耳兹曼分布律即可求解。解 由玻耳兹曼分布律，在重力场中尘埃按高度的分布为亦即故说明 对于大量的微粒系统，当它在保守场中处于平衡态时，其粒子数密度按高度的分布符合玻耳兹曼分布律，随着高度的增加粒子数密度按指数规律减小。8-17 假定海平面上的大气压是Pa，气温为300K，忽略气温随高度的变化，试求（1）地处海拔约为3600m的拉萨的大气压强。（已知空气的摩尔质量）；（2）若某人在海平面上每分钟呼吸18次，他在拉萨应呼吸多少次才能吸入同样质量的空气？分析 应用等温气压公式和理想气体状态方程即可求解此题。解 （1）根据等温气压公式，有 Pa（2）设人每次呼吸吸入的空气容积为，在拉萨每分钟呼吸次才能吸入与在海平面上吸入的空气质量相同，则故 （次）说明 等温气压公式表明，在重力场中，压强随高度按指数规律减少。它可以用来近似的估计某高度处的大气压强，或根据测量的压强估算高度。8-18 大气温度随高度的变化可近似地表述为其中为海平面处的温度，为一常量。（1）求大气压强随高度的变化关系。（2）若水平面处的大气压强为，温度，珠穆朗玛峰峰顶海拔为8848m，温度为221K，试求的值和峰顶的大气压强。分析 在大气中取一竖直柱体，根据流体静力学原理可得出大气压强与高度之间的微分关系；在局部的非常小的范围内，理想气体状态方程成立，代入到微分关系中解微分方程即可求出压强随高度的变化关系。解 在大气中取一竖直的空气柱体，建立如图所示的坐标，以海平面为坐标原点，向上为轴正方向。根据流体力学原理，当高度由变为时，压强的增加量为式中为处气体的密度，假设该处粒子的数密度为，则，所以将代入，消去，有分离变量，有两边积分解得整理后，有（2）将，代入有故将和以上数据代入到压强和高度的关系中，可得珠穆朗玛峰峰顶的压强为 8-19 容器中盛有氮气，在标准状态下（，），已知氮分子的有效直径。试求（1）单位体积中的分子数；（2）分子间的平均距离；（3）分子的平均速率；（4）平均碰撞频率和平均自由程。分析 本题涉及到与气体热运动有关的一些物理量。根据题意正确地选用计算公式即可求解。解 （1）根据状态方程，有（2）分子均匀分布在容器中，分子间的平均距离，则故（m）（3）分子的平均速率为（4）平均自由程为 m平均碰撞频率为说明 本题为分子动理论中常用公式的直接应用。通过本题的结果可以看到在标准状态下，分子的热运动非常复杂，分子碰撞频繁，平均自由程非常短。四、练习题8.1 两个半径分别为和的球形容器，分别装有相同质量的氮气和氧气，用一玻璃细管相连通，管的正中有一小滴水银，如图所示。试求：（1）如果两容器内气体的温度相同，为使水银滴保持平衡，则的值为多少？（2）如果将氮气的温度保持为，氧气的温度保持为，为使水银滴保持平衡，则的值为多少？（3）如果，要使水银滴在两容器温度变化时保持平衡，则氮气和氧气的变化应遵从什么规律？8.2 一净质量为、容积为的气球，其中充有温度为，压强为，体积为的氢气。在气球上升的过程中，氢气可通过气球下面的小孔跑出。求（1）当气球上升到压强为，温度为的高空处，从气球下面的小孔跑出的氢气的质量？（2）气球受到的升力改变了多少？8.3 一个容积为的密封容器，温度始终保持在25，将的氢和的氧装入容器，当氢全部与氧化合成水蒸气后，试求：（1）容器中的总分子数；（2）混合气体的压强；（3）各成份的分压强。8.4 一体积为电子管，当温度为300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为的高真空，试求：（1