2019版高中数学第二章23数学归纳法课件新人教A版选修22

2019版高中数学第二章23数学归纳法课件新人教A版选修22 2.3数学归纳法第二章推理与证明学习目标1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n1)(n2)?(n50)0.思考1验证当n1，n2，?，n50时等式成立吗？答案成立.思考2能否通过以上等式归纳出当n51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立.梳理 (1)数学归纳法的定义一般地，证明一个与n有关的命题，可按下列步骤进行(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(归纳递推)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.正整数nk1 (2)数学归纳法的框图表示n=n0n=k n=k+1从n0开始所有的正整数n1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.()2.数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()3.数学归纳法的两个步骤缺一不可.()思考辨析判断正误题型探究类型一用数学归纳法证明等式证明例1用数学归纳法证明1427310?n(3n1)n(n1)2，其中nN*.反思与感悟用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形.证明练跟踪训练1求证1121314?12n112n1n11n2?12n(nN*).类型二用数学归纳法证明不等式证明例例2求证1n11n2?13n56(n2，nN*).证明引申探究把本例改为求证1n11n21n3?1nn1124(nN*).反思与感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键 (1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若nk(k为正整数)，则n0k1. (2)证明不等式的第二步中，从nk到nk1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设. (3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时成立得nk1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.证明练跟踪训练2在数列a n中，已知a1a(a2)，a n1a2n2?a n1?(nN*)，用数学归纳法证明a n2(nN*).证明当n1时，a1a2，命题成立；假设当nk(k1，kN*)时，命题成立，即a k2，则当nk1时，a k12a2k2?a k1?2?a k2?22?a k1?0，当nk1时，命题也成立.由得，对任意正整数n，都有a n2.类型三归纳猜想证明解答例例3已知数列a n满足关系式a1a(a0)，a n2a n11a n1(n2，nN*)，解a22a1a，a32a21a222a1a12a1a4a13a，a42a31a324a13a14a13a8a17a. (1)用a表示a2，a3，a4；解答 (2)猜想a n的表达式(用a和n表示)，并用数学归纳法证明.反思与感悟“归纳猜想证明”的一般步骤跟踪训练3考察下列各式2213441345681355678161357你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？解答达标检测1.已知f(n)11213?1n(nN*)，计算得f (2)32，f (4)2，f (8)52，f (16)3，f (32)72，由此推算当n2时，有A.f(2n)2n12(nN*)B.f(2n)2?n1?12(nN*)C.f(2n)2n12(nN*)D.f(2n)n22(nN*)12345答案解析123452.用数学归纳法证明“1aa2?a2n1(a1)”.在验证n1时，左端计算所得项为A.1a B.1aa2C.1aa2a3D.1aa2a3a4解析将n1代入a2n1得a3，故选C.解析答案1a2n21a3.若命题A(n)(nN*)在nk(kN*)时成立，则有nk1时命题成立.现知命题对nn0(n0N*)时成立，则有A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立C.命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立D.以上说法都不正确解析由已知，得nn0(n0N*)时命题成立，则nn01时命题成立，在nn01时命题成立的前提下，又可推得，n(n01)1时命题也成立，依此类推，可知选C.12345答案解析4.用数学归纳法证明1222?2n12n1(nN*)的过程如下 (1)当n1时，左边1，右边2111，等式成立. (2)假设当nk(kN*)时等式成立，即1222?2k12k1，则当nk1时，1222?2k12k2k11.所以当nk1时，等式也成立.由此可知对于任何nN*，等式都成立.上述证明，错误是_.解析本题在由nk成立证明nk1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳假设，这与数学归纳法的要求不符.12345答案解析12k112未用归纳假设5.用数学归纳法证明12132235?n2?2n1?2n1?n?n1?2?2n1?(nN*).证明12345在应用数学归纳法证题时应注意以下几点 (1)验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一