2021高考理科数学总复习课标通用版作业：立体几何课时作业42.DOC

教学资料范本2021高考理科数学总复习课标通用版作业：立体几何课时作业42编 辑：_时 间：_课时作业42立体几何中的向量方法一、选择题1(20xx年江西省六校联考)在等腰直角ABC中、ACBC、D在AB边上且满足：t(1t)、若ACD30、则t的值为 ()A.B.1C.D.解析：t(1t)、A、B、D三点共线、由题意建立如图1所示的坐标系、设ACBC1、则C(0、0)、A(1、0)、B(0、1)、图1直线AB的方程为xy1、直线CD的方程为yx、故联立解得、x、y、故D、故、(1、0)、(0、1)、故t(1t)(t、1t)、故(t、1t)、故t.本题选择C选项答案：C2(20xx年江西省重点中学盟校联考)棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O、过正方体中两条互为异面直线的AB、A1D1的中点P、Q作直线、该直线被球面截在球内的线段的长为 ()A. B. C. D.1解析：以D为坐标原点建立空间直角坐标系、所以球心O、P、Q、|PQ|、|OP|OQ|、故O到直线PQ的距离为、而球的半径为、所以在球内的线段长度为2 、故选A.图2答案：A3(20xx年内蒙古市北京八中分校月考)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中、AA12AB、则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 ()A. B. C. D.解析：设AB1、则AA12、建立如图3所示空间直角坐标系、则D(0、0、2)、C1(0、1、0)、B(1、1、2)、C(0、1、2)、(1、1、0)、(0、1、2)、(0、1、0)、设n(x、y、z)为平面BDC1的一个法向量、则、取n(2、2、1)、设CD与平面BDC1所成的角为、则sin、故选A.图3答案：A4已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等、A1在底面ABC内的射影为ABC的中心、则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 ()A. B. C. D.解析：如图、设A1在平面ABC内的射影为O、以O为坐标原点、OA、OA1分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系如图4.图4设ABC的边长为1、则A、B1、.又平面ABC的法向量为n(0、0、1)设AB1与底面ABC所成角为、则sin|cos、n|.故直线AB1与底面ABC所成角的正弦值为、选B.答案：B5(20xx年河北省市第一中学质检)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1、E为BB1的中点、则点C到平面A1D1E的距离为 ()A. B. C. D.解析：建立空间直角坐标系、结合题意得到点的坐标、然后利用空间向量求解点面距离即可如图5所示、建立空间直角坐标系、则A1(0、0、1)、D1(0、1、1)、E、据此可得：(0、1、0)、图5设平面A1D1E1的法向量为m(x1、y1、z1)、则、据此可得平面A1D1E的一个法向量为m(1、0、2)、而C(1、1、0)、据此有：(1、1、1)、则点C到平面A1D1E的距离为.本题选择A选项答案：A6(20xx年湖南省市茶陵三中月考)在如图6所示的空间直角坐标系中、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2、E为正方体的棱AA1的中点、F为棱AB上的一点、且C1EF90、则点F的坐标为 ()图6A. B.C. D.解析：由题意得E(2、0、1)、C1(0、2、2)、设F(2、y、0)、则(2、2、1)、(0、y、1)、C1EF90、2y10、解得y、则点F的坐标为、答案：A7.图7(20xx年河南省豫北重点中学联考)如图7、在长方体ABCDA1B1C1D1中、ADAA12、AB3、E为AB的中点、则点B1到平面D1EC的距离为 ()A. B.C. D.解析：以D为坐标原点建立空间直角坐标系、设B1(2、3、2)、C(0、3、0)、E、D1(0、0、2)平面D1EC的一个法向量为n(x、y、z)、取n、所以点B1到平面D1EC的距离为、选C.答案：C8(20xx年福建省市模拟)如图8所示、在正方体ABCDA1B1C1D1中、已知M、N分别是BD和AD的中点、则B1M与D1N所成角的余弦值为 ()图8A. B.C. D.图9解析：建立如图9所示的坐标系、设正方体的棱长为2、则B1(2、2、2)、M(1、1、0)、D1(0、0、2)、N(1、0、0)(1、1、2)、(1、0、2)B1M与D1N所成角的余弦值为、故选C.答案：C9(20xx年福建省市第一中学月考)如图10、在正方体ABCDA1B1C1D1中、M、N分别为A1B1、CC1的中点、P为AD上一动点、记为异面直线PM与D1N所成的角、则的集合是 ()图10A. B.C.D.解析：分别以边DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴、建立如图11所示空间直角坐标系、图11设正方体边长为1、P(x、0、0)、(0x1)、并能确定以下几点坐标：M、D1(0、0、1)、N；、0PMD1N、故选A.答案：A10(20xx年江西省抚州市区第一中学月考)在空间直角坐标系Oxyz中、已知A(2、0、0)、B(2、2、)、C(0、2、0)、D(1、1、)若S1、S2、S3分别是三棱锥DABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影图形的面积、则 ()AS1S2S3CS1S2S3解析：根据点在面上的投影、D、B在xOy面上投影分别为(1、1、0) 、(2、2、0)、所以投影三角形面积S1222、在面yOz面上的投影分别为(0、1、 )、(0、2、)、投影梯形面积S2(12)、在面xOz面上的投影分别为(1、0、)、(2、0、) 、投影梯形的面积S3(21)、故S1S2S3、选C.答案：C11(20xx年安徽省市第一中学月考)设点M是棱长为2的正方体的棱AD的中点、P是平面BCC1B1内一点、若面D1PM分别与面ABCD和面BCC1B1所成的锐二面角相等、则PC1长度的最小值是 ()A. B. C. D1解析：如图12、过点P作D1M的平行线交BC于点Q、交B1C1于点E、连接MQ、图12则PN是平面D1PM与平面BCC1B1的交线、MN是平面D1PM与平面ABCD的交线EFBB1 、交BC于点F、过点F作FG垂直MQ于点G、则有MQ与平面EFG垂直、所以、EGMQ 、即角EGF是平面D1PM与平面ABCD所成二面角的平面角、且sinEGF、MNCD交BC于点N、过点N作NHEQ于点H、同上有：sinMHN、且有EGFMHN、又因为EFMNAB、故EGMH、而2SEMQEGMQMHEQ、故MQEQ、而四边形EQMD1一定是平行四边形、故它还是菱形、即点E一定是B1C1的中点、点PC1长度的最小值是点C1到直线BE的距离、以A为原点、AB为x轴、AD为y轴、AA1为z轴、建立空间直角坐标系、E(2、1、2)、B(2、0、0)、C1(2、2、2)、(0、1、2)、(0、2、2)、PC1 长度的最小值d|2 、故选A.答案：A12(20xx年浙江省市“十五校联合体”联考)如图13、在长方体ABCDABCD中、点P、Q分别是棱BC、CD上的动点、BC4、CD3、CC2、直线CC与平面PQC所成的角为30、则PQC面积的最小值是 ()A. B8 C. D10图13图14解析：以C为原点、以CD、CB、CC为坐标轴建立空间直角坐标系、如图14所示：则C(0、0、0)、C(0、0、2)、设P(0、a、0)、Q(b、0、0)、于是0a4、0时、cos、0、故APD1的最大值可以为钝角、错误；对于、根据计算的数据、|22、在对称轴、即5时取得最小值为2、故错误答案：16(20xx年浙江省市调研)如图19、已知正四棱锥PABCD中、AB4、高h2、点M是侧棱PC的中点、则异面直线BM与AC所成角的余弦值为_图19图20解析：设AC、BD交于点O、以O为原点、与CB、AB平行的直线为x、y轴、OP为z轴建立空间直角坐标系、则A(2、2、0)、B(2、2、0)、C(2、2、0)、P(0、0、2) 、所以M(1、1、)、(4、4、0)、(3、1、)、cos|.答案： 三、解答题17(20xx年北京东城二中模拟)如图21、四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形、ABC60、侧面PAB是边长为2的正三角形、侧面PAB底面ABCD.(1)设AB的中点为Q、求证：PQ平面ABCD.(2)求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值(3)在侧棱PC上存在一点M、使得二面角MBDC的大小为60、求的值图21图22解：(1)证明：侧面PAB是正三角形、AB中点为Q、PQAB、侧面PAB底面ABCD、侧面PAB底面ABCDAB、PQ侧面PAB、PQ平面ABCD.(2)连接AC、设ACBDO点、以O为原点、OB、OC、过O点且垂直于平面ABCD的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系、则O(0、0、0)、B(、0、0)、C(0、1、0)、D(、0、0)、P、平面ABCD的法向量m(0、0、1)、设斜线PD与平面ABCD所成角为、则sin|cosm、|(3)设t、M、(t、t1、t)、设平面MBD的法向量为n(x、y、z)、n、n、即取z、n、又平面ABCD的法向量m(0、0、1)、cosmncos60、解出t2(舍去)或t、此时.18(20xx年湖南省市月考)如图23、在正方体ABCDA1B1C1D1中、F、G分别是棱CC1、AA1的中点、E为棱AB上一点、3且GM平面B1EF.图23(1)证明：E为AB的中点；(2)求平面B1EF与平面ABC1D1成锐二面角的余弦值解：(1)证明：取A1B1的中点N、连接AN、因为3、所以M为A1N的中点、又G为AA1的中点、所以GMAN、因为GM平面B1EF、GM平面ABB1A1、平面ABB1A1平面B1EFB1E、所以GMB1E、即ANB1E、又B1NAE、所以四边形AEB1N为平行四边形、则AEB1N、所以E为AB的中点(2)以D为坐标原点、建立如图24所示的空间直角坐标系Dxyz.不妨令正方体的棱长为2、则B1(2、2、2)、E(2、1、0)、F(0、2、1)、A1(2、0、2)、可得(0、1、2)、(2、1、1)、设m是平面B1EF的法向量m(x、y、z)、则、令z2、得m(1、4、2)易得平面ABC1D1的一个法向量为n(2、0、2)、图24所以cosm、n.故所求锐二面角的余弦值为.19正ABC的边长为2、CD是AB边上的高、E、F分别是AC和BC的中点(如图25(1)现将ABC沿CD翻成直二面角ADCB(如图25(2)在图(2)中：图25(1)求证：AB平面DEF；(2)在线段BC上是否存在一点P、使APDE？证明你的结论；(3)求二面角EDFC的余弦值解：(1)证明：在ABC中、因为E、F分别是AC、BC的中点、所以EFAB.又AB平面DEF、EF平面DEF、所以AB平