2.1多边形的概念及内角和

2 1多边形内角和 你能从下列图形中找出一些平面图形吗 边 内角 顶点 定义 在平面内 由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形 对角线 多边形的有关概念 D B A E C 记作 五边形ABCDE 在图1中 画出任意一边所在的直线 整个多边形都在直线的同侧 这样的多边形叫做凸多边形 图2中 多边形ABCD不在CD所在直线的同侧 就不是凸多边形 叫凹多边形 没有特别说明 我们研究的多边形都是指凸多边形 A B C D A B C D 图1 图2 问题2 长方形和正方形的内角和是多少度 问题1 三角形内角和是多少度 三角形内角和180 都是360 导入新知 任意一个四边形的内角和是多少度 猜想 A B C D 如图所示 利用辅助线将四边形分割成两个三角形 你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360 吗 四边形ABCD的内角和 ABC的内角和 ACD的内角和 180 180 360 解题思路 四边形问题转化为三角形问题来解决 探索多边形的内角和 这个五边形的内角和应该怎么求呢 你有几种方法呢 A C E D B 内角和 3 180 540 A C D E B O 内角和 5 180 360 540 A C D E B 内角和 4 180 180 540 O O C E 内角和 4 180 180 540 你能仿照五边形分割成三角形的方法 选出你认为最简单的一种分割六边形并求其内角和吗 2 n边形的对角线一共有 条 探索多 n 边形的内角和 1 从n边形的一个顶点可以引 条对角线 把多边形分成 个三角形 n 3 n 2 2 3 3 180 540 3 4 4 180 720 n 2 180 n n 3 n 2 7 5 180 900 4 5 综上所述 设多边形的边数为n 则n边形的内角和为 n表示什么 n 2 180 n 3且n为正整数 观察图中的多边形 他们的边 角有什么特点 定义 在平面内 各角都相等 各边也相等的多边形叫做正多边形 正多边形每个内角 n 2 180 n 正多边形的内角和 n 2 180 n 为一个内角 议一议 1 一个多边形的边都相等 它的内角一定都相等吗 2 一个多边形的内角都相等 它的边一定都相等吗 3 正三角形 正四边形 正方形 正五边形 正六边形 正八边形的每个内角分别是多少度 不一定 如矩形的内角都相等 但边未必都相等 60 90 120 108 135 不一定 如菱形 快速抢答 1 过一个多边形一个顶点有10条对角线 则这是边形 2 过一个多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成五个三角形 则这是边形 3 多边形的内角和随着边数的增加而 边数增加一条时它的内角和增加度 4 十二边形的内角和等于度 5 一个多边形的内角和等于720度 那么这个多边形是边形 十三 七 增加 180 1800 六 如果一个四边形的一组对角互补 那么另一组对角有什么关系 解 如图 四边形ABCD中 A C 180 A B C D 4 2 180 360 因为 B D 360 A C 360 180 180 这就是说 如果四边形一组对角互补 那么另一组对角也互补 所以 例1 学以致用 3 多边形内角和为1080 则它是 边形 2 十边形的内角和是 如果十边形的各个内角都相等 那么它的一个内角是 4 多边形内角和为1800 则它是 边形 1 七边形内角和为 900 1440 十二 八 144 1 求下列图形中x的值 课堂练习 2 已知一个多边形的每一个内角都是156 则它的边数为 15 x 65 x 60 x 95 x 75 3 已知一个多边形每个内角都等于108 求这个多边形的边数 4 如图 AD AB BC CD 则 B与 D是什么关系 为什么 解 设这个多边形的边数为n 根据题意得 n 2 180 108n解得 n 5答 这个多边形是五边形 解 B与 D是互补 因为AD AB BC CD 所以 A C 90 因为四边形内角和等于360 所以 B D 180 1 a 1 边形的内角和是 做一做 解 设多边形的边数为n 因为它的内角和等于 n 2 180 所以 n 2 180 900 解得 n 7 这个多边形的边数为7 2 已知一个多边形 它的内角和等于900 求这个多边形的边数 a 1 180 解 设多边形的边数为n 因为它的内角和等于 n 2 180 五边形内角和等于540 所以 n 2 180 2 540 解得 n 8 这个多边形的边数8 3 已知一个多边形 它的内角和等于五边形的内角和的2倍 求这个多边形的边数 试一试练练你的 本领 有一把锋利的 小刀 把你的课桌 四边形 一个角削去 剩下的课桌是一个几边形 它的内角和是多少 创新思维 A B C D E F M N 课后思考 1 小明在计算某个多边形的内角和时 由于粗心他漏掉一个内角 求得内角和1680 你能否求得正确结果呢 2 一天小明爸爸给小明出了一道智力题考考他 将一个多边形截去一个角后 没有过顶点 得到多边形的内角和将会 A 不变B 增加180 C 减少180 D 无法确定 B 设边数为n 0 n 2 180 1680 180 n 12 则 1 如图 某居民小区搞绿化 分别在三角形 四边形 五边形的广场各角修建半径为1米的花坛 小区绿化组长想先求花坛的面积 再根据面积买花苗 你能帮绿化组长求出花坛的面积吗 结果保留 思维激活 回归生活 你能帮绿化组长求出花坛的面积 结果保留 2 如图 橙色部分是一个四边形广场 规划将四边各延长一倍 问新广场的面积是原广场面积的多少倍 5倍 1 我们学会了许多解决数学问题的思想方法 如将多边形问题转化为三角形问题 以及类比方法 化未知为已知的思想方法等 2 通过探索多边形的内角和公式 我们尝试了从不同的角度寻求解决问题的方法 并且能有效地解决问题 3 我们还学会了运用多边形内角和公式进行相关计算 本节课收获 1 n边形的一个顶点可以引 条对角线 将n边形分成了 个三角形 2 n边形的对角线一共有 条 n 3 n 2 测一测 3 从八边形的一个顶点出发有 条对角线 将八边形分成 个三角形 八边形共有 条对角线 4 从正六边形的一个顶点出发可以做 条对角线 将正六边形分成 个三角形 正六边形共有 条对角线 5 6 20 3 4 9 5 一个多边形截去一个角后 形成的新多边形的内角和为3060 则原多边形的边数为 18或19或20 1 如图 求 A B C D E F G的度数 3 在一个n边形中 有 n 1 个内角的和恰好为2750 求边数的值 2 如图 我国的国旗上的五星是正五角星 正五角星中的五边形ABCDE是正五边形 你能求出五角星中 F的度数吗 作业 多了什么 如何处理 这种分割方式 将多边形分成n 1个三角形 故所有三角形的内角和为 n 1 180 边上一点周围所形成的平角不是多边形的内角 因此n边形的内角和为 n 1 180 180 n 2 180 交流创新 该图中n边形共有n个三角形 故所有三角形内角和为n 180 但每个图中都有一个以红圈圈住的点 它是一个圆周角360 因此n边形的内角和为n 180 360 n 2 180 多了什么 如何处理 交流创新 A B D A B C D E F C A B C D E 多了什么 如何处理 该图中n边形共有n 1个三角形 故所有三角形内角和为 n 1 180 但每个图中都多了一个三角形的内角和 因此n边形的内角和为 n 1 180 180 n 2 180 交流创新 完成下表 试一试 n 2 3 2 1 0 4 3 2 1 n 3 1800 3600 5400 7200 n 2 1800 n边形的内角和等于 n 2 1800 综上所述 设多边形的边数为n 则 例1如果一个四边形的一组对角互补 那么