一元二次方程式以及几种主要解法

一元二次方程及其解法 已知 求的值 答案 小结 都可转化为a b 0 已知 求的值 3 3 2 想一想 一 复习提问 1 一元二次方程的一般形式是什么 2 一元二次方程分类 探究交流 1 判断方程X X 10 X2 3是否是一元二次方程 2 方程3X2 2X 1的常数项是1 方程3X2 2X 6 0的一次项系数是2 这种说法对吗 答案 1 化简后为10X 3 0 所以它是一元一次方程 2 要将一元二次方程化为一般形式 且系数包括它前面的性质符号 练习 1 方程 m 2 X m 3mx 1 0是关于X的一元二次方程 求m的值 答案 m 2 2 当m 时 方程 m2 1 x2 m 1 x 1 0是关于x的一元一次方程 答案 m 1 3 已知关于x的一元二次方程 m 1 x2 3x 1 0有一个解是0 求m的值 答案 m 1 4 m为何值时 关于x的一元二次方程mx2 m2x 1 x2 x没有一次项 答案 m 1 活动1 如图 有一块矩形铁皮 长100cm 宽50cm 在它的四个角分别切去一个正方形 然后将四周突出的部分折起 就能制作一个无盖方盒 如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2 那么铁皮各角应切去多大的正方形 课件 制作盒子 问题1 活动1 要组织一次排球邀请赛 参赛的每两个队之间都要比赛一场 根据场地和时间等条件 赛程计划安排7天 每天安排4场比赛 比赛组织者应该邀请多少个队参赛 课件 探索比赛场次 问题2 例已知 关于x的方程 2m 1 x2 m 1 x 5m是一元二次方程 求 m的取值范围 解 原方程是一元二次方程 2m 1 0 m 方程的解的定义 使方程两边相等的未知数的值 叫做这个方程的解 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根 如 X 3 X 2都是一元二次方程X2 5X 6 0的根 注意 一元二次方程可以无解 若有解 就一定有两个解 活动2 3 猜测下列方程的根是什么 方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解 又叫做根 4 1 下列哪些数是方程 的根 从中你能体会根的作用吗 4 3 2 1 0 1 2 3 4 活动2 2 若x 2是方程的一个 根 你能求出a的值吗 根的作用 可以使等号成立 活动3 巩固练习 1 你能根据所学过的知识解出下列方程的解吗 1 2 一元二次方程的解法 1 开平方法 问题1 一桶某种油漆可刷的面的为1500dm2 李林用这桶油漆恰好刷好完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面 你能算出盒子的棱长吗 设正方体的棱长为X 则一个正方体的表面积为6X2 根据一桶油漆可刷的面积 列出方程 解 由此可得 根据平方根的意义 得 即 因为棱长不能是负值 所以正方体的棱长为5dm 思考 对照上面解方程的过程 你认为应怎样解方程及方程 由方程 得 即 方程的两根为 解 方程 可化为 得 方程的两根为 当ac 0时 形如 a 0 c 0 的一元二次方程的解法 当ac 0时 此方程无实数解 3x2 7 0 解 例题讲解 解 系数化1 得 开平方 得 解这两个一元一次方程 得 或 小结 如何解形如的一元二次方程 小结与思考 方程可化为一边是 另一边是 那么就可以用直接开平方法来求解 1 怎样的一元二次方程可以用直接开平方法来求解 含未知数的完全平方式 一个常数 2 直接开平方法的理论依据是什么 平方根的定义及性质 例题讲解 拓展与提高 一元二次方程的解法 2 配方法 复习 填空 x2 2x x 2x2 6x x 2 3 x2 x 24 y2 y y 2 1 1 9 3 1 x2 8x x 4 2 2 x2 3x x 2 3 x2 12x x 2 填空 配方时 若二次项系数为1 则配上的常数是一次项系数一半的平方 请同学解下列方程 1 3x2 1 5 2 4 x 1 2 9 0 3 4x2 16x 16 9 上面的方程都能化成x2 p或 mx n 2 p p 0 的形式 那么可得 如 4x2 16x 16 2x 4 2 x p 0 或mx n 二 探索新知列出下面二个问题的方程并回答 1 列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢 2 能否直接用上面三个方程的解法呢 问题1 印度古算中有这样一首诗 一群猴子分两队 高高兴兴在游戏 八分之一再平方 蹦蹦跳跳树林里 其余十二叽喳喳 伶俐活泼又调皮 告我总数共多少 两队猴子在一起 大意是说 一群猴子分成两队 一队猴子数是猴子总数的的平方 另一队猴子数是12 那么猴子总数是多少 你能解决这个问题吗 问题1 设总共有x只猴子 根据题意 得 整理得 x2 64x 768 0 问题2 如图 在宽为20m 长为32m的矩形地面上 修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路 余下的六个相同的部分作为耕地 要使得耕地的面积为5000m2 道路的宽为多少 问题2 设道路的宽为x 则可列方程 20 x 32 2x 5000 整理 得 x2 36x 2180 0 1 列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是 前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有 2 不能 既然不能直接降次解方程 那么 我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程 下面 我们就来讲如何转化 x2 64x 768 0 移项 x2 64x 768 两边加 2使左边配成 x2 2bx b2 的形式 x2 64x 322 768 1024 左边写成平方形式 x 32 2 256 降次 x 32 16 即x 32 16或x 32 16 解一次方程 x1 48 x2 16 可以验证 x1 48 x2 16都是方程的根 所以共有16只或48只猴子 用配方法解一元二次方程的步骤 移项 把常数项移到方程的右边 配方 方程两边都加上一次项系数一半的平方 开方 根据平方根意义 方程两边开平方 求解 解一元一次方程 定解 写出原方程的解 活动1 1 要使一块矩形场地的长比宽多6cm 并且面积为16cm2 场地的长和宽分别是多少 归纳 通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法 叫作配方法 配方的目的是为了降次 把一元二次方程转化为两个一元一次方程 先把方程的常数项移到方程的右边 再把左边配成一个完全平方式 如果右边是非负数 就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解 配方法 练习 绿苑小区住宅设计 准备在每两幢楼房之间 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地 并且长比宽多10米 那么绿地的长应是多少米 活动2 做一做 用配方法解下列方程 1 x2 6x 1 2 x2 6 5x 3 x2 4x 3 0 用配方法解方程 x2 12x 9 你能总结出配方法的步骤吗 巩固练习 1 在用配方法解时 方程的两边应同时加上 2 解方程 3 说明多项式的值恒大于0 4 先用配方法说明 不论x取何值 代数式值总大于0 再求出当x取何值时 代数式的值最小 最小值是多少 你能行吗 用配方法解下列方程 1 x2 2 0 2 x2 3x 0 3 x2 4x 2 4 x2 6x 1 0 5 3x2 8x 3 0 这个方程与前4个方程不一样的是二次项系数不是1 而是3 基本思想是 如果能转化为前4个方程的形式 则问题即可解决 你想到了什么办法 配方法 例2解方程3x2 8x 3 0 1 化1 把二次项系数化为1 3 配方 方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方 4 变形 方程左分解因式 右边合并同类 5 开方 根据平方根意义 方程两边开平方 6 求解 解一元一次方程 7 定解 写出原方程的解 2 移项 把常数项移到方程的右边 成功者是你吗 用配方法解下列方程 6 4x2 12x 1 0 7 3x2 2x 3 0 8 2x2 x 6 0 9 4x2 4x 10 1 8x 10 3x2 9x 2 0 11 2x2 6 7x 12 x2 x 56 0 13 3x2 22x 24 0 你能行吗 做一做一小球以15m s的初速度竖直向上弹出 它在空中的高度h m 与时间t s 满足关系 h 15t 5t2 小球何时能达到10m的高度 回味无穷 本节课复习了哪些旧知识呢 继续请两个 老朋友 助阵和加深对 配方法 的理解运用 平方根的意义 完全平方式 式子a2 2ab b2叫完全平方式 且a2 2ab b2 a b 2 本节课你又学会了哪些新知识呢 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程的步骤 1 化1 把二次项系数化为1 方程两边都除以二次项系数 2 移项 把常数项移到方程的右边 3 配方 方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方 4 变形 方程左分解因式 右边合并同类 5 开方 根据平方根意义 方程两边开平方 6 求解 解一元一次方程 7 定解 写出原方程的解 用一元二次方程这个模型来解答或解决生活中的一些问题 即列一元二次方程解应用题 如果x2 a 那么x 设a 0 a b c都是已知数 并且b2 4ac 0 试用配方法解方程 ax2 bx c 0 b2 4ac 0 因为 解 一元二次方程的解法 3 求根公式法 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的求根公式x b2 4ac 0 活动2 利用公式法解下列方程 从中你能发现什么 解 活动2 归纳 1 一元二次方程的根是由一元二次方程的系数确定的 2 在解一元二次方程时 可先把方程化为一般形式 然后在的前提下 把各个系数的值代入求根公式 可求得方程的两个根 3 由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根 1 用公式法解下列方程 根据方程根的情况你有什么结论 活动3 活动3 结论 1 当时 一元二次方程有实数根 活动3 结论 2 当时 一元二次方程有实数根 活动4 结论 3 当时 一元二次方程无实数根 活动5 2 某养鸡厂的矩形鸡舍长靠墙 现在有材料可以制作竹篱笆13米 若欲围成20平方米的鸡舍 鸡舍的长和宽应是多少 能围成22平方米的鸡舍吗 若可以求出长和宽 若不能说明理由 课件 围矩形场地 例 解方程 1 3y2 2y 1 一般步骤 1 先把方程化为一般形式 2 确定a b c 3 判定 b2 4ac的值 4 代入求根公式 2 复习引入 1 已学过的一元二次方程解法有哪些 2 请用已学过的方法解方程x2 4 0 一元二次方程的解法 4 因式分解法 自学检测题 1 什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解 2 用因式分解法解一元二次方程 其关键是什么 3 用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么 4 用因式分解法解一元二方程 必须要先化成一般形式吗 例 解方程 x2 3x 解 移项 得x2 3x 0 将方程左边分解因式 得x x 3 0 x 0或x 3 0 原方程的解为 x1 0 x2 3 这种解一元二次方程的方法叫因式分解法 特点 在一元二次方程的一边是0 而另一边易于分解成两个一次因式时 就可以用因式分解法来解 例1 解下列方程1 x2 3x 10 02 x 3 x 1 5 解 原方程可变形为解 原方程可变形为 x 5 x 2 0 x2 2x 8 0 x 2 x 4 0 x 5 0或x 2 0 x 2 0或x 4 0 x1 5 x2 2 x1 2 x2 4 用因式分解法解一元二次方程的步骤 1o方程右边化为 2o将方程左边分解成两个的乘积 3o至少因式为零 得到两个一元一次方程 4o两个就是原方程的解 零 一次因式 有一个 一元一次方程的解 快速回答 下列各方程的根分别是多少 例2解下列方程 1 x2 3x 10 0 2 x 3 x 1 5 填空题练习 1 方程x x 1 0的根是 2 已知x 0是关于x的一元二次方程 m 1 x2 3x m2 3m 4 0的一个根 则m 3 若方程ax2 bx c 0的各项系数之和满足a b c 0 则此方程必有一根是 选择题训练1 对于方程 x a x b 0 下列结论正确的是 A x a 0 B x a 0或x b 0 C x b 0 D x a 0且x b 02 方程x x 2 2 2 x 的根为 A 2 B 2 C 2 D 2 23 方程 x 1 1 x 的根是 A 0 B 1 C 1和0 D 1和0 B C D 用因式分解法解下列方程 y2 3y 2a 3 2 a 2 3a 4 x2 7x 12 0 x 5 x 2 18 t t 3 28 4x 3 2 x 3 2 我最棒 用分解因式法解下列方程 参考答案 1 2 4 2 解一元二次方程的方法 直接开平方法配方法公式法因式分解法 小结 1o方程右边化为 2o将方程左边分解成两个的乘积 3o至少因式为零 得到两个一元一次方程 4o两个就是原方程的解 零 一次因式 有一个 一元一次方程的解 1 用因式分解法解一元二次方程的步骤 右化零左分解两因式各求解 简记歌诀 一元二次方程应用 例1 某钢铁厂去年1月某种钢的产量为5000吨 3月上升到7200吨 这两个月平均每个月增长的百分率是多少 分析 2月份比一月份增产吨 2月份的产量是吨3月份比2月份增产吨3月份的产量是吨 5000 1 x 5000 x 5000 1 x x 5000 1 x 2 解 平均每个月增长的百分率为x列方程5000 1 x 2 7200化简 1 x 2 1 44x1 0 2x2 2 2检验 x2 2 2 不合题意 x1 0 2 20 答 平均每个月增长的百分率是20 例2 某月饼原来每盒售价96元 由于卖不出去 结果两次降价 现在每盒售价54元 平均每次降价百分之几 总结 1 两次增长后的量 原来的量 1 增长率 2若原来量为a 平均增长率是x 增长后的量为A则第1次增长后的量是A a 1 x 第2次增长后的量是A a 1 x 2 第n次增长后的量是A a 1 x n这就是重要的增长率公式 2 两次降价后价格 原价格 1 降价率 2公式表示 A a 1 x 2 一 复习填空 1 某工厂一月份生产零件1000个 二月份生产零件1200个 那么二月份比一月份增产个 增长率是多少 2 银行的某种储蓄的年利率为6 小民存1000元 存满一年 利息 存满一年连本带利的钱数是 200 20 1060元 利息 本金 利率 增长量 原产量 增长率 60元 4 康佳生产一种新彩霸 第一个月生产了5000台 第二个月增产了50 则 第二个月比第一个月增加了 台 第二个月生产了 台 5000 50 5000 1 50 3 某产品 原来每件的成本价是500元 若每件售价625元 则每件利润是 每件利润率是 利润 成本价 利润率 125元 25 例3 某科技公司研制成功一种产品 决定向银行贷款200万元资金用于这种产品 签定的合同上约定两年到期一次性还本付息 利息为本金的8 该产品投放市场后 由于产销对路 使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外 还盈余72万元 该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同 求这个百分数 解 设这个百分数为x 依题意得 200 1 x 2 72 200 1 8 1 x 2 1 441 x 1 2 则x1 0 2 x2 2 2 不合题意 舍去 利息为本金的8 四川省中考题 甲 乙两人做某种机器零件 已知甲每小时比乙多做6个 甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用时间相等 求甲 乙每小时各做多少个零件 解 设甲每小时做x个零件则乙每小时做 x 6 个零件 依题意 得 经检验X 15是原方程的根 答 甲每小时做18个 乙每小时12个 请审题分析题意设元 我们所列的是一个分式方程 这是分式方程的应用 由x 18得x 6 12 等量关系 甲用时间 乙用时间 解这个方程 得 1 甲 乙两人练习骑自行车 已知甲每小时比乙多走6千米 甲骑90千米所用的时间和乙起骑60千米所用时间相等 求甲 乙每小时各骑多少千米 2 甲 乙两种商品 已知甲的价格每件比乙多6元 买甲90件所用的钱和买乙60件所用钱相等 求甲 乙每件商品的价格各多少元 试一试 解 设自行车的速度为x千米 时 那么汽车的速度是3x千米 时 依题