艾滋病疗法评价及疗效预测数学建模论文 高教社杯 数学建模竞赛题.doc

艾滋病疗法评价及疗效预测摘要目前，艾滋病的传染性和不可根除性，已经成为当今世界人类社会的灾难本文以美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据为样本，采用了不同的方法对艾滋病疗法进行评价及疗效的预测针对问题一，根据附件1数据，运用MATLAB软件分别对CD4浓度与时间、HIV浓度与时间进行拟合得到浓度与时间的密度函数、HIV浓度与时间的曲线关系，然后建立多目标规划模型：一个目标使CD4浓度尽量高，它能抑制HIV病毒；另一个目标使HIV浓度尽量低，使人体免疫能力得到提高对模型求解采用线性加权法，求出最佳治疗终止时间为37周针对问题二，利用附件2数据，根据不同的治疗方法进行分组，用分布检验了治疗方法与年龄间存在影响关系，运用两个呈正态分布的子样，在方差未知时检验均值，得出第4种治疗方法为最优的治疗方法，运用曲线拟合对最佳治疗终止时间预测，得出在15，20（周）内是最佳的终止治疗时间针对问题三，在问题二的基础上建立受治疗费用最小，治疗时间短等条件等构成的多目标规划模型，仍采用线性加权法的思想，把多目标模型转化为单目标模型，用LINGO软件求出问题的解，得出在4种不同的疗法中实现目标时，第2种疗法最好，治疗时间25，30（周）之间本模型采用线性加权法、假设检验、曲线拟合等方法对各种前提下作出疗法评价及疗效预测，对其它传染性疾病的治疗、评价也具有实用性，所得结果能为病人提供最佳治疗终止时间参考，为医疗机构寻找更有效的疗法提供一定理论依据；但是，此模型忽略了现实中多个因素相互影响 关键词 正态分布多目标规划 线性加权 问题重述（一）问题背景 艾滋病的医学全称为“获得性免疫缺陷综合症”，英文简称AIDS ( acquired immun-odeficiency syndrome)是由人体免疫缺陷病毒HIV ( human immunodeficiency virus )感染所引起的一种严重的传染性疾病艾滋病的流行已成为全人类，全社会和经济发展的灾难自1981年发现以来，它已经吞噬了近3000万人的生命，目前全球活着的HIV感染者也已超过4300万人，每年约有14000人感染HIVHIV病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命人类多年研究发现，人体免疫系统中的CD4细胞在抵御HIV的入侵起着非常重要的作用，人体受到HIV感染会导致CD4细胞凋亡，当CD4被感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作迄今为止，人类还没有找到根治AIDS的疗法目前对艾滋病的治疗，也只是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力因此，许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找有效的疗法（二）问题提出 本文要求对美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据：第一组数据是同时服用3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度，预测同时服用这3种药物的治疗效果第二组数据是将1300多名病人随机地分为4组，每组按不同疗法进行治疗，大约每隔8周测试CD4浓度现需以CD4为标准对4种疗法进行评价，并对较优的疗法预测继续治疗的效果考虑药品不同、价格不同差异，对4种疗法的评价及较优疗法的预测有何影响问题分析( 1 ) ACTG公布的第一组数据ACTG320给出了研究的样本每名病人在3种药物同时服用的治疗方法下，每间隔几周测试CD4和HIV的浓度(每微升血液里的数量)，从数据分析CD4浓度上升一段时间后下降，HIV浓度则随时间下降一段时间后上升，可以求出CD4的密度函数，HIV的曲线表达式，从而用其预测治疗效果如治疗效果令人满意，则继续治疗(即在测试终止后继续服药)，否则，终止治疗(即停止服用此3种药物)，并建立模型找出最佳治疗终止时间( 2 ) ACTG公布的第二组数据193A，是将1300多名病人作试验，采用4种不同的疗法，在不同的时间所测试的CD4的浓度，并给出病人年龄的具体数据根据给出的数据，对4种不同的疗法以CD4为标准用统计方法进行评价，通过寻求疗法与年龄，各种疗法之间的关系找出较优的疗法并预测继续治疗效果，主要使用假设检验及曲线拟合等方法；若效果不佳，确定该种疗法的最佳治疗终止时间( 3 ) 由于治疗AIDS的药品是相当昂贵，193A中4种疗法使用的药物数量和品种均不相同，针对(2)中问题，如果病人考虑各种疗法费用的情况，建立治疗费用最小，治疗时间短等约束条件，组成多目标函数，通过对目标函数求解并结合问题二推断的4种疗法的疗效，综合评价4种疗法的结果会有什么变化，预测继续治疗效果或确定的最佳治疗终止时间又有何改变模型假设及符号说明假设部分：1假设CD4细胞浓度在问题中近似服从正态分布； 2假设各种疗法之间不存在显著性关系部分符号说明：1 ：CD4浓度指标与HIV浓度指标权重2：比率标度指标3 t ： 被试验艾滋病病人的治疗时间4：表示年龄时间的段随机变量5：第i种疗法的最佳终止时间，i=1，2，3，46：模型建立及求解本文中出现检测时刻为-2周、CD4和HIV浓度检测值为空值的数据，在1中分别称删失数据、截尾数据，在所给大样本的前提下（一般称样本值大于30为大样本），利用数据进行分析、预测时，对结果几乎没有什么影响，可以忽略删失数据、截尾数据等特殊数据对样本推断的影响问题一：若密度函数2则称服从正态分布用MATLAB命令拟合得CD4细胞浓度正态分布的均值与方差分别为：则CD4细胞浓度的密度函数：， HIV浓度与时间具有曲线关系：， 验证CD4的正态概率图如下左：HIV浓度与时间曲线拟合图如下右：利用拟合出的函数，建立目标函数： （1） 该问题归结为多目标规划问题，采用线性加权法求解. 首先考虑权系数：根据艾滋病治疗的目的，尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4细胞CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，是人体免疫能力强弱的一个非常重要的量度因此，在考虑疗效的时候，可以适当增加其权重进行处理 以下运用判断矩阵对初始权数进行处理，确定其权系数3 (1)建立判断矩阵有二个指标，通过专家评判比较后，其初始权数形成判断矩阵（此处用表给出）：在表中，第二行第二列的比率标度为指标与指标的比较，说明指标比指标稍微重要，这样，指标与指标比较后的比率标度是 两个指标的判断矩阵如下表：指标比率尺度646/41(2)计算判断矩阵每一行各标度的乘积的n 次方根：归一化处理：通过以上计算，确定两个指标的权数分别为：0.75，0.25即CD4权重为0.75，HIV权重为0.25 由此，式（1）可以改写为：在区间0，60上，用MATLAB程序求解得到t=37即最佳治疗终止时间为37周问题二：在对4种疗法优劣评价中，以CD4为主要依据，各种治疗方法之间（独立同分布）则4种疗法构成一个4元统计模型，可将该统计模型向两样本问题转化在非参数统计结构中，设为一分布函数族，为定义于上的有限实值函数，分别为取自总体分布和的两样本，记为样本X和Y，而和都属函数分布族，其中检验问题4：或 这样的检验问题称为两样本问题(The Two-Sample Problem)该问题中对4种疗法的评价可以化为对5个两样本问题的评价，即4种疗法间两两检验评价 首先考虑不同的年龄段与疗法是否有影响，依据题目所给数据，疗法与年龄段划分主要依据艾滋病的传播方式：性传播、血液传播、母婴传播而性传播与血液传播是主要的传播方式，依此，可把年龄段做以下划分： 024：主要依靠母婴传播感染分析；2430，3036，3642，4248，4848以后；主要从社会影响、个人的价值观等角度分析，特别是2448这个年龄段主要以血液传播、性传播为主体，是当今社会AIDS的主要传播方式因此，把此段等长细化，更能够从所给样本数据的信息推断总体 假设的分布： ，取统计量5 （2）注：，在大样本前提下是近似服从自由度为的分布用表示这样的随机变量：若采用的疗法与年龄段有关，并且与年龄段的第段有关，则=检验假设此假设说明疗法与年龄段无关如果成立，则统计量（2）可以化为：且近似服从5个自由度的分布根据分布表：对于每种疗法中的不同的年龄段与各种不同的疗法，如其对应的统计量的值都小于15.1，则假设是相容的，即能够推断治疗方案与年龄段无关否则与年龄段有关采用第一种疗法时：病人年龄024243030363642424848疗法155362805635统计量：15.1说明第一种疗法与年龄有关采用第二种疗法时病人年龄024243030363642424848疗法244699855535统计量：15.1说明第二种疗法与年龄有关采用第三种疗法时病人年龄024243030363642424848疗法3843911074531统计量：15.1说明第三种疗法与年龄有关采用第四种疗法时病人年龄024243030363642424848疗法454798845339统计量：15.1说明第四种疗法与年龄有关综上：说明疗法与年龄之间具有显著性影响也就是说，由于患病者的年龄以及病情等的差异，对于不同年龄段的患病者选用不同的治疗方式是很必要的两个呈正态分布的子样，在方差未知时检验均值，当两正态总体在方差时这是著名的Behrens-Fisher问题5其解法如下：设两个样本相对独立 令 易知 于是 在零假设下： 可见值太大时应拒绝，但和是未知的，不是统计量自然想到用代替，代替于是应采用统计量：当太大时应拒绝应该指出在下的精确分布相当复杂(而且依赖于比值)，但可以证明，在下，统计量近似服从个自由度的分布，这个乃是下列最近的整数：利用分布表，找临界值于是当且仅当时拒绝根据以上理论依据，运用MATLAB程序进行假设检验有以下的关系：第4种疗法的效果第3种疗法的效果第2种疗法的效果第1种疗法的效果对于4 种疗法中：第4种疗法的效果最好把第4种疗法的数据按年龄段08 16 243240划分为5段，得到相应年龄段附近部分累加点的值对年龄段及累加点的值用MATLAB命令进行曲线拟合得到图形：图形进行分析：开始时CD4的浓度随着时间的增加而增加，但是，到了一定的时间后它能够到达一个最高点，过了这个时刻点CD4的浓度便开始逐步降低这是因为病人长时间的用药后形成了抗体，减少了药的效用从图中曲线的关系很明显当时为最佳治疗终止时间问题三：在问题二求出四种疗法的最佳治疗终止时间分别为：（单位：周）的基础上综合考虑以下两方面：(1)、不发达国家的人民在购买药品时，追求费用最小化与效用最大化(2)、追求用药段而见效快基于此，建立如下模型：目标函数： （3）约束条件： 同问题一确定两个指标的权数，具体确定步骤见3在本模型中，权数为：0.75，0.25即：费用目标函数的权重为0.75，治疗时间目标函数的权重为0.25式（3）改写为： 运用LINGO软件求出：，故第三种疗法既经济，又能够缩短治疗时间模型改进原模型易于操作，但是带有很大的误差和显著性样本缺失若该用面板数据模型，则能够产生很好的效果，以下就将原问题用面板数据模型进行讨论yi t ， i = 1， 2， ， N; t = 1， 2， ， TN表示面板数据中含有N个病人T表示时间序列的最大长度若固定t不变，yi ， ( i = 1， 2， ， N)是横截面上的N个随机变量；若固定i不变，y t， (t = 1， 2， ， T)是纵剖面上的一个时间序列（病人）-257周300个病人CD4浓度和HIV浓度固定在某一周上，它由n（300）个CD4和HIV浓度组成的两组面板数据；固定在某一个病人上t(57）数据序列组成对于面板数据yi t ， i = 1， 2， ， N; t = 1， 2， ， T来说，本题在面板数据中丢失若干个观测值，它是非平衡面板数据（unbalanced panel data）本题对于不同的截面或不同的时间序列，因为它有缺损数据，所以模型的截距是不同的采用在模型中加虚拟变量的方法估计回归参数的固定效应模型建立时刻个体固定效应模型，表示如下， （4）其中虚拟变量Dt = （注意不是从1开始）Wi = （注意是从1开始） 如果满足上述模型假定条件，对模型（4）进行OLS（最小二乘法）估计，全部参数估计量都是无偏的和一致的建立时刻个体固定效应模型运用F检验来完成H0：对于不同横截面，不同序列，模型截距项都相同（建立混合估计模型）H1：不同横截面，不同序列，模型截距项各不相同（建立时刻个体固定效应模型）F统计量定义为：F=其中SSEr，SSEu分别表示约束模型（混合估计模型的）和非约束模型（时刻个体固定效应模型的）的残差平方和 通过面板数据的运用，即能够避免文中对多目标规划的线性化及分布估计等复杂的计算、推断模型优缺点优点：1模型结合实际有广泛适用性，实际生活中的很多抽样数据只需稍做修改即可以使用2模型巧妙的将多目标规划用线性加权法转化为单目标规划，能较好的处理抽样数据服从常规分布的优化问题3模型通过疗法（独立同分布），把复杂的年龄表检验转化为检验，避免了复杂的计算，并且便于理解4模型提供了权数确定的简单实用办法5模型提供了从多元统计问题向两样本问题的转化条件与方法缺点：1 模型并未考虑到CD4细胞浓度与HIV病毒浓度的相关性、疗法与年龄段间的相关性，没有对其进行相关性检验2 模型没有对问题中所给疗法的最佳终止治疗时间做假设检验3 模型对删失数据、截尾数据等特殊数据的处理能力不强参考文献1ELISA TLEE，陈家鼎等译，生存数据分析的统计方法M，北京：中国统计出版社，19984，2-52陈家鼎等，概率统计讲义（第三版）M，北京：高等教育出版社，20045 ，249-2503 作者不详， 重要性权数的确定，wwwliyan-consultingcom，20069174孙山泽，非参数统计讲义M，北京：科学出版社，2003，190-1955高惠璇，应用多元统计分析M，北京：北京大学出版社，20051，25-26附录附件一：运用