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有关不等式的一些问题摘要：本文主要介绍不等式的概念、性质及相关的解题思想与解题方法。关键词：等式 著名的不等式 数形结合思想 转化思想我们可以把数量间的关系分为相等与不等，在现实生活中，不等关系比相等关系更广泛存在。奇怪的是人们对于广泛存在的不等关系的认识比相等关系来得迟。直到17世纪以后，不等式理论才逐渐发展起来，并成为数学基础理论的一个重要组成部分。不等式滲透到了各类数学知识中，我们形象的说不等式是具有严谨结构的沟通了各类数学知识的桥梁。1 不等式的概念及性质1.1 不等式的概念“用不等号连接的式子叫做不等式”，这是中学教材对不等式的定义。不等式是用数学符号连接的代数式，是属于数学定义中的符号定义，类似的还有“用等号连结的式子叫做等式。”引出了对应的等式的定义。数学名词的定义方式有很多种，要求每一个名词的定义都清晰准确。 不等号是指表示数字的大小的符号“”“”“”“”或“”，其中又分为严格不等号“”“”；非严格不等号“”“”；只区分不等关系，不区分大小的不等号“”。我们必须明确不等式是在定义了大小关系的有序数集上研究的。不等式的两种分类方法从不等式的解集分类： 不等式的定义域中的一切值组都使之成立称之为绝对不等式。集合可表为全集.如果不等式定义域中的一切值组都不能使不等式成立称之为矛盾不等式。集合则可用空集。如果不等式中的有些值组使之成立，而另些值组不能使之成立称之为条件不等式。以不等式两边的解析式来分类:可分为代数不等式和初等超越不等式,其中代数不等式又可分为整式不等式、分式不等式和无理不等式; 初等超越不等式包括了指数不等式，对数不等式，三角不等式和反三角不等式。这种分法类似函数的分法, 函数可分为指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数；代数式可分为整式、分式、无理式。显然，不等式来自初等数学，是初等数学从不同角度的再次整合，是整合后自成一个系统的完整的初等数学的组成部分。当然不等式理论不仅仅包含了单独一个不等式，还包含不等式组，例如n元n次不等式或n元n次不等式组。不等式研究的范围和方程研究的范围一样，从一元一次到一元多次，再到多元多次，其研究的方式一样，从这我们可以发现数学的研究方向。12 不等式的性质我们知道性质可以由公理得到，公理是人们已经承认的，不加证明的事实。对应的公理可以得到相应的性质。等量可代换而不等的量一般不可代换,但不等式可用传递推理，也就是用放大或缩小的方法推理。由不等量公理知,不等式具有对逆性、传递性、加法单调性、乘法单调性。不等式的性质：（1）（同向不等式相加） （2）（异向不等式相减）（3）（同向不等式相乘）（4）（异向不等式相除）（5）（倒数关系）（6）（乘方法则）（7）（开方法则）不等式的性质是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强。2 几种重要的不等式柯西不等式（Cauchy）（出自2）定理1 设，（i=1，2，3n）， 则有不等式成立，当且仅当时等号成立。 均值不等式从我们初高中接触过当且仅当等号成立,（a、b同号，当且仅当a=b成立）, （a 、b，当且仅当a=b成立）若, 则 例1 设都是正数, 求证 证： ， , 将上面各式相加, 即得所要证的不等式本题运用了均值不等式。还可用柯西不等式,数学归纳法等多种方法证明。例2 已知a、b、c、d0，求证证： =由平均值不等式即 同理： 所以 （1）右边本题还是运用均值不等式，是均值不等式的变形。常用的平均值除了这几个正数的几何平均值和算术平均值外。还有另外两种，定义如下：n个正数的倒数的算术平均数的倒数叫做这个正数的调和平均值，用表示。n个正数的K次幂的算术平均值的k次算术根叫做这n个正数的K次幂平均值，用表示。即 定理2：（出自2）即若，则，当且仅当时取等号。定理3：（出自2）即若，则，当且仅当时取等号。定理4：（出自2）即若，则，当且仅当时取等号。在这部分的不等式，不仅包含了初等数学，也涉及了高等数学的内容。重要的不等式不是只有这几个,还有有关凸函数、凸函数性质的琴森不等式（Jensen）（出自2）、三角形不等式（出自2），契贝谢夫不等式（出自2）等例3 证明：若是三角形的三边，则（）证： 设则因此 由契贝谢夫不等式可推出 （1） 所以由（1）得： 不同函数具有的性质不同，但是同一类函数的不等式有相似的性质。3 不等式的解题思想解不等式的过程实质际上就是用同解不等式逐步代换原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式的关键。解初等不等式的基本思路是将不等式代数化、整式化、有理数化、低次化。我们知道数学思想方法是多种多样的，这里主要介绍典型的数形结合思想和分类思想。含有未知数的等式就是方程，我们把64这个不等式引入未知数，能得到6x4，这个新的不等式，移项得到了6x-4; 观察这是一个含有未知数的代数式，再令y=6x-4，得到了两未知数之间的关系时，也就得到了函数关系式。1 数形结合思想把数和形结合考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。 例4 已知： 都是正数，且求证：分析：从题目看，已知一个等式，求证一个不等式。要证明这道题目，我们从结论出发，结论出现项，这没有出现在已知项中，所以我们就要凑出这些项来。特殊情况，当时,我们发现.结论确实成立.， ， 我们可以考虑利用不等式的均值性质,由平方得到也就是,同理可得，结论 换个写法， ，我们得到了，同理，即有，没有凑出所求项我们能不能再看看，的结果。 ， 同理；，综上：由上面可得展开后就有由代数的方法证不出，那能不能把问题转化一下，构造模型，转化为几何问题。由条件构造一个等边三角形，其边长为1，使每一条边由两条线段的和组成，如图中，点分别在边上，且。这样就构成了符合题意的几何图形。证明：依题意我们构造如图三角形，其中，点分别在边上，且。， ，而AP、AM是的夹边，联想到通过的面积来证。由于，得 则 这里我们利用了数与形相结合的思想，将代数问题转化成了几何问题。2 分类思想实质上就是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同种类的思想方法。对代数、平面几何、立体几何、解析几何采用不同方法进行研究和讨论。分类意识，善于从文体情境中抓住分类的对象，斟酌问题的实际情形，找出科学、合理的分类标准。特别当遇到绝对值不等式时，一般应用数轴上的界点来进行分类。例5 解不等式0 解: = 当时， 从而,与矛盾 当时,原即 ，有解为 当时, 解为 综上所述： 解为 这道题的关键是知道=，找出分类的标准。例6 已知，且，证明: 证: 若, 则 故 若有 , 则有 知b 求a-b与0的关系，与1的关系。例7 已知，求证证： 且 ， 即 同理可得： ，将两边相乘 ， 得证。 综合法：由因导果，即从已知条件出发，依性质推出要证明的不等式。 分析法：执果索因，从所求证的结论出发，步步推求使之能成立的充分条件，充要条件，直到归纳到已知条件或已知成立的结论为止。例8 已知是正实数，求证证一： 分析法要证 只要证即证 ，即证显然 成立，所以 证二： 综合法运用分析法和综合法解同一道题目，能够清楚的发现这两种解法的思路是相反的。44 换元法：根据不等式的结构特征，经适当的变量代换，从而化繁为简，或实现某些转化或等量替换。 例9 证明： 对，不等式成立证： 只须证明 由恒等式得 令 ， 即得 ，不等式成立例10 把位数不超过四位,且其数码不出现0的全体自然数记为, 证明:证: 根据题设条件,显然1位数有9个，2位数有个,3位数有个,4位数有个将1,2,3,4位数的倒数和分别记为,则 同理可得所以 45 放缩法（传递法）：适当的放大或缩小，是使不等式关系变得明朗化，从而证其成立。见例9。例11 给定严格递增无界正数列, 证明: .存在自然数, 使得对一切 ,有不等式 .对一切充分大的自然数 , 有不等式 证：. = 因为数列无界,所以可找到和 于是当时, ，从而结论成立. 根据上述,可找到自然数, 使 将上述结论运用到数列, 求得足够大的,使 同样有足够大的, 使 依次类推,得出1982个不等式,相加使得到(k 充分大时) ，这是有关数列的不等式题目，我们从这道题可以看到这里已经运用到了数学分析的知识。46反证法：从否定所求的结论出发，经正确的推理，导出一个矛盾的结果，从而肯定原命题成立。例12 已知， 求证不能同时大于证： 假设三式同时大于，即有三式同向相乘，得，又 同理有：， 因此假设矛盾，结论正确。不等式在数学知识的运用广泛，掌握不等式的解题思想和解题方法十分重要，其中数形结合思想和分类思想更是重要，本文就不等式的几个问题浅显展开，介绍了不等式的概念、性质，不等式的运用以及不等式的解题思想和方法。参考文献: 1黄颖,状元之路M, 北京教育出版社, 20042李长明,初等数学研究M, 高等教育出版社, 19953刘进丁,初中数学知识手册M, 上海翻译出版公司, 19884吴顺唐,数学分析（上册）M, 南京大学出版社, 20005赵振威,中学数学教材教法M, 华东师范大学出版社, 2007附表1： 宁德师范高等专科学校毕业论文开题报告学生姓名蔡子辉学 号2005041131系 别数学系专 业数学教育指导教师邱凎俤职 称教授毕业论文（设计）题目有关不等式的一些问题毕业论文（设计）工作期限 2007年 12月10 日起至 2008 年 5 月 27 日止选题的目的和意义不等关系在各个方面均广泛存在,不等式的运用渗透于各类数学知识之中，掌握不等式这部分的知识十分必要。文章介绍了不等式的概念，性质，解题思想，解题方法。以使学生牢固掌握不等式的相关知识，并能利用不到那个时快速有效地解决和证明有关的数学问题，提高解题能力和应用能力。毕业论文、设计综述数量间有相等关系和不等关系, 在现实生活中，不等关系比相等关系更广泛存在。奇怪的是人们对于广泛存在的不等关系的认识比相等关系来得迟。直到17世纪以后，不等式理论才逐渐发展起来，并成为数学基础理论的一个重要组成部分。不等式滲透到了各类数学知识中，我们形象的说不等式是具有严谨结构的沟通了各类数学知识的桥梁。文章分成了不等式的概念与性质，几种重要的不等式，不等式的解题思想，不等式的解题方法这四个部分。1 不等式的概念与性质，介绍了不等式的两种分类方法，了解不等式运用非常广泛，其地位十分重要。不等式的性质中，介绍了不等量的代换。2 几种重要的不等式，着重介绍了柯西不等式，均值不等式，这两个重要不等式的运用，认识了四个平均数的大小关系。 3 不等式的解题思想，着重介绍了数形结合思想，分类思想,主要分析了一道题目的解题思路,以不等式的性质来展开思路.4 不等式的解题方法，这部分着重例子的分析说明，有比较法，综合法，分析法，换元法，放缩法，反证法。 研究步骤 1. 定选题方向,确定选题 2. 查阅和收集资料 3. 拟订论文写作提纲 4. 写出论文初稿5. 修改论文 6. 定稿提交日程安排1. 2007.12.102007.12.31 定选题方向,确定选题2 . 2008.1.12008.1.21 查阅和收集资料3. 2008.1.222008.2.19 拟订论文写作提纲4. 2008.2.202008.4.5 写出论文初稿5. 2008.4.62008.5.5 修改论文6. 2008.5.62008.5.27 定稿提交阅读书目及参考文献1黄颖,状元之路M,北京, 北京教育出版社, 2004年2李长明,初等数学研究M, 高等教育出版社, 1995年3刘进丁,初中数学知识手册M, 上海,上海翻译出版公司, 1988年4吴顺唐,数学分析（上册）M, 南京,南京大学出版社, 2000年5赵振威,中学数学教材教法M, 华东师范大学出版社, 2007年成果1、毕业论文文本1份2、毕业论文开题报告1份3、毕业论文评定书1份学生送交论文日期2008年5月27号指导教师（签名）注：1、开题报告在指导教师指导下完成。2、毕业论文完成后，相关成果按照毕业论文档案管理要求存档。3、若有关表格不够填写，可另附纸张。附表2： 宁德师范高等专科学校毕业论文评定书学生姓名蔡子辉 专 业数学教育学 号2005041131指导教师邱凎