如图1已知抛物线的顶点为A(0,1)矩形CDEF的顶点CF在抛物线上DE在x轴上CF交y轴于点B(0,2)且其面积为8.doc

如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R求证：PB=PS；判断SBR的形状；试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由结束时间：2011年11月04日 21:45提问者:sunflower521最佳答案（1）方法一：B点坐标为（0.2），OB=2，矩形CDEF面积为8，CF=4C点坐标为（-2，2）F点坐标为（2，2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c其过三点A（0，1），C（-2.2），F（2，2）得 1=c2=4a-2b+c2=4a+2b+c，解这个方程组，得a= 14，b=0，c=1，此抛物线的解析式为y= 14x2+1（3分）方法二：B点坐标为（0.2），OB=2，矩形CDEF面积为8，CF=4C点坐标为（-2，2）（1分）根据题意可设抛物线解析式为y=ax2+c其过点A（0，1）和C（-2.2）1=c2=4a+c解这个方程组，得a= 14，c=1此抛物线解析式为y= 14x2+1（2）解：过点B作BNPS，垂足为NP点在抛物线y= 14x2+1上可设P点坐标为（a， 14a2+1）PS= 14a2+1，OB=NS=2，BN=aPN=PS-NS= 14a2-1（5分）在RtPNB中PB2=PN2+BN2=（ 14a2-1）2+a2=（ 14a2+1）2PB=PS= 14a2+1（6分）根据同理可知BQ=QR1=2，又1=3，2=3，同理SBP=5（7分）25+23=1805+3=90SBR=90度SBR为直角三角形（8分）方法一：设PS=b，QR=c，由知PS=PB=bQR=QB=c，PQ=b+cSR2=（b+c）2-（b-c）2 SR=2bc（9分）假设存在点M且MS=x，别MR= 2bc-x若使PSMMRQ，则有 bx=2bc-xc即x2-2 bcx+bc=0 x1=x2=bcSR=2 bcM为SR的中点（11分）若使PSMQRM，则有 bx=c2bc-x x=2bbcb+c MRMS=2bc-xx=2bc2bbcb+c-1=cb=QBBP=ROOSM点即为原点O综上所述，当点M为SR的中点时PSMMRQ；当点M为原点时，PSMMRQ（13分）方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，PSM=MRQ=90，有PSMMRQ和PSMQRM两种情况当PSMMRQ时SPM=RMQ，SMP=RQM由直角三角形两锐角互余性质知PMS+QMR=90度PMQ=90度（9分）取PQ中点为N连接MN则MN= 12PQ= 12（QR+PS）（10分）MN为直角梯形SRQP的中位线，点M为SR的中点（11分）当PSMQRM时， RMMS=QRPS=QB