专题 立体几何中的向量方法 课后练习一及详解

立体几何中的向量方法主讲教师：纪荣强 北京四中数学教师题一：如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_题二：如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为_题三：如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设ABAP.若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长题四：在如图的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点(1)求证：AB平面DEG；(2)求证：BDEG；(3)求二面角CDFE的余弦值题五：如图，ABCD是边长为3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE与平面ABCD所成角为60.(1)求证：AC平面BDE；(2)求二面角FBED的余弦值；(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论题六：如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小题七：设向量并确定的关系，使轴垂直立体几何中的向量方法课后练习参考答案题一：详解：以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，A1(1，0，2)，B(0，1，0)，A(1，0，0)，C(0，0，0)则(1，1，2)， (1，0，0)，cos，答案题二：详解：不妨设正三棱柱ABCA1B1C1的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(，1，0)，B1(，1，2)，D，则，(，1，2)，设平面B1DC的法向量为n(x，y，1)，由解得n(，1，1)又，sin |cos，n|，答案题三： (1)见详解；(2).详解：(1)证明：因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.又ABAD，PAADA，所以AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图)在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD.在RtCDE中，DECDcos451，CECDsin451.设ABAPt，则B(t，0，0)，P(0，0，t)由ABAD4得AD4t，所以E(0，3t，0)，C(1，3t，0)，D(0，4t，0)，(1，1，0)，(0，4t，t)设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，由n，n，得取xt，得平面PCD的一个法向量n(t，t，4t)又(t，0，t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30得cos60，即，解得t或t4(舍去，因为AD4t0)，所以AB.题四： (1)见详解；(2)见详解；(3).详解：(1)证明：ADEF，EFBC，ADBC.又BC2AD，G是BC的中点，ADBG，四边形ADGB是平行四边形ABDG.AB平面DEG，DG平面DEG，AB平面DEG.(2)证明：EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE，又AEEB，EB，EF，EA两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)(2，2，0)，(2，2，2)22220.(3)由已知得(2，0，0)是平面EFDA的一个法向量设平面DCF的法向量为n(x，y，z)，(0，1，2)，(2，1，0)，即令z1，得n(1，2，1)设二面角CDFE的大小为，则coscosn，二面角CDFE的余弦值为.题五： (1)见详解；(2)；(3)BMBD.详解：(1)证明：因为DE平面ABCD，所以DEAC.因为ABCD是正方形，所以ACBD，从而AC平面BDE.(2)因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz如图所示因为BE与平面ABCD所成角为60，即DBE60，所以.因为正方形ABCD的边长为3，所以BD3，所以DE3，AF.则A(3，0，0)，F(3，0，)，E(0，0，3)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，所以(0，3，)，(3，0，2)，设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，则，即令z，则n(4，2，)因为AC平面BDE，所以为平面BDE的一个法向量，(3，3，0)，所以cosn，.因为二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为.(3)点M是线段BD上一个动点，设M(t，t，0)则(t3，t，0)，因为AM平面BEF，所以n0，即4(t3)2t0，解得t2.此时，点M坐标为(2，2，0)，BMBD，符合题意 题六： (1)见详解；(2)30.详解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC. 而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.又BC平面BCD，故DC1BC.(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，则BC平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题意知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2)则(0，0，1)，(1，1，1)，(1，0，1)设n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则，即可取n(1，1，0)同理，设m是平面C1BD的法向量，则可取m