三次函数与四次函数.doc

三次函数与四次函数大连市红旗高中 王金泽 在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与x轴交点个数”等类似问题。三次函数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。2008年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数中的应用第一部分：三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数（根的个数）、极值情况三 次 函 数 图 象说 明a对图象的影响可以根据极限的思想去分析当a0时，在+右向上 伸展，-左向下伸展。当a0时，在+右向下伸展，-左向上伸展。(可以联系二次函数a对开口的影响去联想三次函数右侧伸展情况)与x轴有三个交点若,且，既两个极值异号；图象与x轴有三个交点与x轴有二个交点 若,且，既有一个极值为0，图象与x轴有两个交点与x轴有一个交点1。存在极值时即,且，既两个极值同号，图象与x轴有一个交点。2。不存在极值，函数是单调函数时图象也与x轴有一个交点。1.根的个数三次函数导函数为二次函数:，二次函数的判别式化简为：=，(1) 若，则恰有一个实根；(2) 若,且，则恰有一个实根；(3) 若,且，则有两个不相等的实根；(4) 若,且，则有三个不相等的实根.说明(1)(2)含有一个实根的充要条件是曲线与X轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）.(3)有两个相异实根的充要条件是曲线与X轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.(4)有三个不相等的实根的充要条件是曲线与X轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且. 2.极值情况：三次函数（a0）,导函数为二次函数，二次函数的判别式化简为：=，(1) 若，则在上为增函数；(2) 若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中. 证明：, =，(1) 当 即时，在 R上恒成立， 即在为增函数. (2) 当 即时，解方程，得由得或，在和上为增函数.由得，在上为减函数.总结以上得到结论:三次函数,(1) 若，则在R上无极值；(2) 若，则在R上有两个极值；且在处取得极大值，在处取得极小值.由此三次函数的极值要么一个也没有，要么有两个。【例题1】：（2005全国二卷）设为实数，函数（）求的极值；（）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点解：（I） 若，则当x变化时，变化情况如下表：x100极大值极小值 所以f(x)的极大值是，极小值是 （II）函数 由此可知x取足够大的正数时，有，x取足够小的负数时有，所以曲线与x轴至少有一个交点。结合f(x)的单调性可知： 当f(x)的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与x轴仅有一个交点，它在上； 当f(x)的极小值，即时，它的极大值也大于0，因此曲线与x轴仅有一个交点，它在上 所以当时，曲线与x轴仅有一个交点。（也可以直接用，）变式训练：a为何值时f（x）的图象与直线y=1恰有一个交点分析：令 极大值，或极小值第二部分：在四次函数中的应用由于四次函数的导函数为三次函数，所以四次函数的问题往往转化为三次函数问题【例题2】(2008湖南文) 已知函数有三个极值点。（I）证明：；（II）若存在实数c，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。解：（I）因为函数有三个极值点, 所以有三个互异的实根. 设则 当时， 在上为增函数; 当时， 在上为减函数; 当时， 在上为增函数; 所以函数在时取极大值,在时取极小值. 因为有三个不同实根, 所以且. 即,且,解得且故. （II）由（I）的证明可知，当时, 有三个极值点. 不妨设为（），则 所以的单调递减区间是, 若在区间上单调递减，则, 或, 若,则.由（I）知，,于是 若,则且.由（I）知， 又当时，; 当时，. 因此, 当时，所以且即故或反之, 当或时，总可找到使函数在区间上单调递减.综上所述, 的取值范围是.总结：四次函数的导数是三次函数，有三个极值点说明三次函数有三个相异的实数根。可以归结为三次函数图象与x轴有三个交点问题，可以利用第一部分很好的解决【例题3】(2008江西文)已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图像与直线恰有两个交点，求的取值范围解：（1）因为 令得 由时，在根的左右的符号如下表所示极小值极大值极小值所以的递增区间为 的递减区间为 （2）由（1）得到， 要使的图像与直线恰有两个交点，只要或， 即或.只要我们掌握了三次函数的这些性质，在高考中无论是主观题还是客观题，都能找到明确的解题思路，解题过程也简明扼要。四次函数问题,应该先求导，转化