高考视角下导数相关题型解析答案.doc

高考视角下导数相关题型解析题型一：导数及其运算13B112012课标全国卷 曲线yx(3lnx1)在点(1,1)处的切线方程为_13答案 y4x3解析 y3lnx1x3lnx4，故y|x14.故所求切线方程为y14(x1)，即4xy30.12B112012辽宁卷 已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A1 B3 C4 D812C解析 本小题主要考查导数的几何意义的应用解题的突破口为求切点坐标和切线的斜率由x22y可知yx2，这时yx，由P，Q的横坐标为4，2，这时P(4,8)，Q(2,2), 以点P为切点的切线方程PA为y84(x4)，即4xy80；以点Q为切点的切线方程QA为y22(x2)，即2xy20；由联立得A点坐标为(1，4)，这时纵坐标为4.8B122012重庆卷 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()图118C解析 在A中，当x2时，由图象知yxf(x)0，则f(x)0；当2x0时，由图象知yxf(x)0，则f(x)0，所以函数在x2处没有极值；在B中，当x2时，由图象知yxf(x)0，则f(x)0；当2x0时，由图象知yxf(x)0，则f(x)0，所以函数在x2处没有极值；在C中，当x2时，由图象知yxf(x)0，则f(x)0；当2x0时，由图象知yxf(x)0，则f(x)0，所以函数在x2处取得极小值；在D中，当x2时，由图象知yxf(x)0，则f(x)0；当2x0时，由图象知yxf(x)0，则f(x)0，所以函数在x2处取得极大值综上所知，选C.10B11、B12、E12012浙江卷 设a0，b0，e是自然对数的底数()A若ea2aeb3b，则abB若ea2aeb3b，则abD若ea2aeb3b，则aeb3b，令函数f(x)ex3x，则f(x)在(0，)上单调递增，f(a)f(b)，ab，A正确，B错误；由ea2aeb3b，有ea2aeb2b，令函数f(x)ex2x，则f(x)ex2，函数f(x)ex2x在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，)上单调递增，当a，b(0，ln2)时，由f(a)b，当a，b(ln2，)时，由f(a)f(b)得a0)(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为yx，求a，b的值17解：(1)(方法一)由题设和均值不等式可知，f(x)axb2b.其中等号成立当且仅当ax1.即当x时，f(x)取最小值为2b.(方法二)f(x)的导数f(x)a.当x时，f(x)0，f(x)在上递增；当0x时，f(x)2时，f(x)0，函数f(x)为增函数；当x2时，f(x)0，函数f(x)为减函数，所以x2为极小值点，故选D.8B122012辽宁卷 函数yx2lnx的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)8B解析 本小题主要考查导数的运算与利用导数判断函数单调性解题的突破口为导数大于0求单调递增区间，导数小于0求单调递减区间yx，又因为定义域为(0，)，令y0，得到0x0，f(x)单调递增；而在上，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(2,2)时，f(x)0，故f(x)在(2，)上为增函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c，f(x)在x22处取得极小值f(2)c16.由题设条件知16c28，得c12.此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)16c4，因此f(x)在3,3上的最小值为f(2)4.18B10、B11、B122012北京卷 已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围18解：(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)即a11b，且2a3b.解得a3，b3.(2)记h(x)f(x)g(x)当a3，b9时，h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21.h(x)与h(x)在(，2上的情况如下：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由此可知：当k3时，函数h(x)在区间k,2上的最大值为h(3)28；当3k2时，函数h(x)在区间k,2上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(，3因此，k的取值范围是(，321B12、E82012课标全国卷 设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值21解：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)单调递增若a0，则当x(，lna)时，f(x)0，所以，f(x)在(，lna)单调递减，在(lna，)单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)存在唯一的零点故g(x)在(0，)存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于kg()，故整数k的最大值为2.21B122012全国卷 已知函数f(x)x3x2ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设f(x)有两个极值点x1，x2，若过两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的直线l与x轴的交点在曲线yf(x)上，求a的值21解：(1)f(x)x22xa(x1)2a1.当a1时， f(x)0，且仅当a1，x1时，f(x)0，所以f(x)是R上的增函数；当a0，f(x)是增函数；当x(1，1)时，f(x)0，f(x)是增函数(2)由题设知，x1，x2为方程f(x)0的两个根，故有a0，g(x)0；当x(1，)时，h(x)0，所以x(0,1)时，f(x)0；x(1，)时，f(x)0，函数h(x)单调递增；当x(e2，)时，h(x)0，函数h(x)单调递减所以当x(0，)时，h(x)h(e2)1e2.又当x(0，)时，01，所以当x(0，)时，h(x)1e2，即g(x)1时，f(x)(x1)；(2)当1x3时，f(x)1时，g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减又g(1)0，有g(x)0，即f(x)1时，2x1，故.令k(x)lnxx1，则k(1)0，k(x)10，故k(x)0，即lnx1时，f(x)(x1)(2)(证法一)记h(x)f(x)，由(1)得h(x)令g(x)(x5)3216x，则当1x3时，g(x)3(x5)22160.因此g(x)在(1,3)内是递减函数，又由g(1)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又h(1)0，得h(x)0.于是当1x3时，f(x).(证法二)记h(x)(x5)f(x)9(x1)，则当1x3时，由(1)得h(x)f(x)(x5)f(x)9(x1)(x5)93x(x1)(x5)(2)18x(7x232x25)0.因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)0，所以h(x)0，即f(x)0.21解：(1)由题意得f(x)12x22a.当a0时，f(x)0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为(，)当a0 时，f(x)12，此时函数f(x)的单调递增区间为和，单调递减区间为.(2)由于0x1，故当a2时，f(x)|a2|4x32ax24x34x2.当a2时，f(x)|a2|4x32a(1x)24x34(1x)24x34x2.设g(x)2x32x1,0x1，则g(x)6x226，于是x01g(x)0g(x)1减极小值增1所以，g(x)ming10.所以当0x1时，2x32x10.故f(x)|a2|4x34x20.21B12、D22012安徽卷 设函数f(x)sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn(1)求数列xn的通项公式；(2)设xn的前n项和为Sn，求sinSn.21解：(1)因为f(x)cosx0，cosx.解得x2