圆的基本知识.doc

一、知识导学 1和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 2三角形内心的性质（l）三角形的内心到三边的距离相等（2）三角形的内心与顶点的连线平分三角形的内角3切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角4弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可，比如下图中 均不是弦切角（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质5弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角它是圆中证明角相等的重要定理之一6弦切角、圆周角、圆内角、圆外角、圆心角之间的关系，可从下图的运动变化体现出来。7相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。8切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。二、学法启示1切线长定理是一个很重要的定理，它的重要性不仅表现在它的两个结论上，而且也表现在它所对应的图形是一个基本图形，如图，这个图形有很多重要性质：（1） 、 都是等腰三角形，它们的公共底边是弦AB（2） 、 都是直角三角形，它们有公共的斜边OP、AC、BC分别是它们斜边上的高（3）有很多等量关系，如线段相等、角相等、弧相等（4）有很多倍半关系，如平分弦、平分弧、平分角（5）有很多垂直关系，如 （6）有很多成比例的关系，如 ， 2弦切角也是与弧相关联的角，它与圆心角，圆周角存在着必然的联系，而联系的桥梁就是弦切角所夹的弧。如图1中，MN切O于A，则 和 为弦切角， ， 弦切角与圆内接四边形的外角有着相同的作用，即沟通了圆外图形与圆内图形的联系。如图2，ABCD为圆内接四边形，过D的圆的切线与BC延长线交于E，则 ， ，若D为 的中点，则 ， 弦切角是由切线与弦构成的，故在有切线为已知条件时，要善于联想到弦切角，并依性质建立与圆内相关的联系，为推证提供更充分的条件。 例如：图3，AB为O的直径，C为AB延长线上一点，CD切O于D， 于E，要证 由于CD是O的切线， 是弦切角，由它所夹的 寻求到 ，可连结AD，再由所熟悉的直角三角形斜边上的高将直角三角形分成的基本图形，可证得 ，因而证得 。如果由 联想到延长DE交圆于F，根据垂径定理先得 ，如图4，再由CD为切线得 ，使问题得证。我们还可以过半径的外端作圆的切线从而构造弦切角，又让题开辟一条新的思路。如图5，ABC内接于O，AE为O的直线， 于D，证 ，在众多的方法中有一种证法比较简捷：过A点作O的切线MN， ， ，而 每学一个几何的定义或定理，总离不开图形。由已知条件看图形，联想到相关的性质，这样就可以不断的扩大已知条件，由此可用到更多的性质。能看到并想到图形的性质，并在推理中应用，是应培养的一种能力，也应不断地加以总结。比如，切线长定理的基本图形的结构特点。 如图6，若PA，PB分别与O切于A、B，则PAB和AOB都是等腰三角形，弦AB是它们的公共的底边，OP是它们的顶角平分线和底边的垂直平分线。PAO与PBO是全等的直角三角形，OP是它们的公共斜边，AM，BM分别是斜边上的高，在这两个三角形中可以运用直角三角形的一系列性质， 如果知切线长为6，圆半径为3便可在 中，得 ，进而求得 ，若知圆半径为 ， ，又可在 ，求得 ， ， ，PAB的周长，DM等线段可求出，所以透彻的理解图形往往可以提高思维的起点。3 无论是相交弦定理，还是切割线定理，都要注意应用的前提条件如图所示，AB是O的直径， 于D要应用相交弦定理解题，必须延长CD与圆交于E，又如图所示已知O外一点P，PA切O于A，PO交O干C，当你写 时，就产生了错误，原因在于没有理解切割线定理的应用条件必须是割线，而此图中，必须延PO交圆于D才能得出正确的结论：如何避免这类错误呢？一是要注意获取知识的过程，不要机械地记忆公式；二是在理解的基础上总结一些规律。如相交弦定理，必须存在着圆中相交的弦，定好交点，相乘的两线段同在一条直线上相交弦定理，切割线定理都涉及了线段的长，且存在着等量关系，所以应用的第一种情况便是计算题，此时要善于用方程思想求解特别是存在着两个未知量时，恰当地设辅助未知数，并用含未知数的代数式表示另一个未知量，是解题的关键。如图所示，PA是O的