高考数学 2.5指数函数配套课件 文 新人教A版 .ppt

第五节指数函数 三年5考高考指数 1 了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理数指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念 会解决与指数函数性质有关的问题 1 幂的运算 指数函数的概念及其图象 单调性是高考考查的热点 2 常与函数的其他性质 方程 不等式等交汇命题 考查分类讨论思想和数形结合思想 3 多以选择 填空题形式出现 但若与导数交汇命题则以解答题形式出现 1 根式 1 根式 根指数 2 a的n次方根 n n 当n是奇数时 a的n次方根用符号表示为 a r 当n是偶数时 a的n次方根用符号表示为 a 0 3 根式的性质 当n为奇数时 当n为偶数时 a a a 即时应用 1 若x4 16 则x的值为 2 化简下列各式结果分别为 解析 1 x 2 答案 1 2 2 4 4 a 2 3 2 有理指数幂 1 分数指数幂的含义 正分数指数幂 a 0 m n n 且n 1 负分数指数幂 a 0 m n n 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 2 有理数指数幂的运算性质 ar as a 0 r s q 没有意义 0 ar s ar s a 0 r s q ab r a 0 b 0 r q 上述有理数指数幂的运算性质 对于无理数指数幂也适用 ars arbr 即时应用 1 判断下列根式与分数指数幂的互化是否正确 请在括号中填 或 x y 0 x 0 2 化简 x 0 y 0 得 3 化简的结果是 解析 2 3 原式 答案 1 2 2x2y 3 a4 3 指数函数的概念 1 解析式为 2 自变量是 3 定义域是 y ax a 0 且a 1 x r 即时应用 1 判断下列函数是否为指数函数 请在括号中填 是 或 否 y 3 2x y y ax y 2a 1 x a 且a 1 2 若函数y a2 3a 3 ax是指数函数 则实数a的值为 解析 2 由已知解得 a 2 答案 1 否 否 否 是 2 2 4 指数函数的图象与性质 a 1 0 a 1 图象 定义域 值域 性质 r 0 过定点 0 1 当x 0时 y 1 当x 0时 0 y 1 当x 0时 01 在r上是增函数 在r上是减函数 即时应用 1 如图是指数函数 y ax y bx y cx y dx的图象 则a b c d与1的大小关系是 2 函数f x 3 x 1的定义域 值域分别是 3 设y1 40 9 y2 80 48 y3 1 5 则y1 y2 y3的大小关系为 解析 1 在图中画出直线x 1 分别与 交于a b c d四点 是a 1 a b 1 b c 1 c d 1 d 由图象可知c d 1 a b 2 f x x 1 定义域为r x 1 1 故值域为 1 3 y1 40 9 21 8 y2 80 48 23 0 48 21 44 y3 21 5 函数y 2x是增函数 又 1 8 1 5 1 44 y1 y3 y2 答案 1 b a 1 d c 2 r 1 3 y1 y3 y2 幂的运算 方法点睛 幂的运算的一般规律及要求 1 分数指数幂不表示相同因式的乘积 而是根式的另一种写法 分数指数幂与根式可以相互转化 2 分数指数幂不能随心所欲地约分 例如要将写成等 必须认真考查a的取值才能决定 例如 而无意义 3 在进行幂和根式的化简时 一般是先将根式化成幂的形式 并化小数指数幂为分数指数幂 并尽可能地统一成分数指数幂形式 再利用幂的运算性质进行化简 求值 计算 以利于运算 达到化繁为简的目的 例1 计算下列各式的值 1 2 a 0 b 0 解题指南 先将根式化为分数指数幂 底数为小数的化成分数 负分数指数化为正分数指数 然后根据幂的运算性质进行计算 规范解答 1 原式 2 原式 反思 感悟 指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的 无括号先做指数运算 先乘除后加减 负指数幂化成正指数幂的倒数 底数是负数 先确定符号 底数是小数 先要化成分数 底数是带分数的 先化成假分数 若是根式 应化为分数指数幂 尽可能用幂的形式表示 运用指数运算性质 变式训练 计算下列各式的值 1 2 解析 1 2 指数函数图象的应用 方法点睛 利用指数函数图象求解指数型函数性质问题的方法 1 对由指数函数构成的一些函数其图象性质 单调性 最值 大小比较 零点等 的处理往往利用相应指数函数的图象 通过平移 对称变换得到其图象 然后数形结合 使问题得解 2 指数型方程 不等式的图象解法一些指数方程 不等式问题的求解 往往利用相应指数型函数图象数形结合求解 提醒 在比较指数值大小时 同底的可利用指数函数的单调性 若指数相同 底数不同 可理解为同一自变量值的两个指数函数值的大小 可借助图象得出 对底数 指数都不同的情况 可寻找中间量或确定各数所在的范围 例2 已知f x 2x 1 1 求f x 的单调区间 2 比较f x 1 与f x 的大小 3 试确定函数g x f x x2零点的个数 解题指南 1 作出f x 的图象 数形结合求解 2 在同一坐标系中分别作出f x f x 1 图象 数形结合求解 3 在同一坐标系中分别作出函数f x 与y x2的图象 数形结合求解 规范解答 1 由f x 2x 1 可作出函数的图象如图 因此函数f x 在 0 上递减 函数f x 在 0 上递增 2 在同一坐标系中分别作出函数f x f x 1 的图象 如图所示 由图象知 当 1 1 时 解得 两图象相交 从图象可见 当x 时 f x f x 1 当时 f x f x 1 当时 f x f x 1 3 将g x f x x2的零点转化为函数f x 与y x2图象的交点问题 在同一坐标系中分别作出函数f x 2x 1 和y x2的图象如图所示 有四个交点 故g x 有四个零点 反思 感悟 对于指数型函数的单调性 最值 零点及指数型方程 不等式能用数形结合求解的尽量用数形结合法求解 但要注意画出的函数图象的基本特征必须要准确 否则很容易失误 如本例 3 变式训练 k为何值时 方程 3x 1 k无解 有一解 有两解 解析 函数y 3x 1 的图象是由函数y 3x的图象向下平移一个单位后 再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的 函数图象如图所示 当k 0时 直线y k与函数y 3x 1 的图象无交点 即方程无解 当k 0或k 1时 直线y k与函数y 3x 1 的图象有唯一的交点 所以方程有一解 当0 k 1时 直线y k与函数y 3x 1 的图象有两个不同交点 所以方程有两解 变式备选 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 a 1 的图象有两个公共点 求实数a的取值范围 解析 分底数01两种情况 分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象 如图 从图中可以看出 只有当0 a 1 且0 2a 1 即0 a 时 两函数才有两个交点 所以0 a 指数函数性质的应用 方法点睛 利用指数函数的性质可求解的问题及方法 1 应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小 2 与指数函数有关的指数型函数定义域 值域 最值 单调性 奇偶性的求解方法 与前面所讲一般函数的求解方法一致 只需根据条件灵活选择即可 例3 1 函数y 的定义域是 2 函数f x 的单调递减区间为 值域为 3 2012 温州模拟 已知f x 是r上的奇函数 求a b的值 解不等式f 3 log3x 2 2log3x f 2 log3x 2 3 0 解题指南 根据待求的指数型函数的结构特征 选择恰当的求函数定义域 值域 最值 单调区间 奇偶性的方法求解 规范解答 1 由题意知32x 1 0 32x 1 3 3 2x 1 3 x 1 即定义域是 1 答案 1 2 令g x x2 4x 3 x 2 2 7 由于g x 在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 而y t在r上为单调递减 所以f x 在 2 上单调递减 又g x x 2 2 7 7 f x 7 3 7 答案 2 3 7 3 f x 是r上的奇函数 f 0 0 b 1 又 f 1 f 1 a 2 此时f x 经检验确为奇函数 f x 设x1 x2 则f x1 f x2 且 0 且1 0 1 0 即f x1 f x2 f x 在r上单调递增 原不等式等价于 2 log3x 2 3 3 log3x 2 2log3x 即 log3x 2 2log3x 3 0 log3x 3或log3x 1 0 x 或x 3 所以不等式的解集为 x 0 x 或x 3 互动探究 若将本例 2 中函数f x 变为f x 且其最大值为3 求a的值 解析 令h x ax2 4x 3 y 由于f x 有最大值3 y 为r上的减函数 所以h x 应有最小值 1 因此必有解得a 1 即当f x 有最大值3时 解得a 1 反思 感悟 在求解与指数函数有关的函数的性质问题时 要根据解析式的结构特征 根据待求问题 选择适当的方法求解 但对复合函数一定要注意其定义域 变式备选 已知函数f x 1 若f x 2 求x的值 2 若2tf 2t mf t 0对于t 1 2 恒成立 求实数m的取值范围 解析 1 当x 0时 f x 0 当x 0时 f x 由条件可知 2 即22x 2 2x 1 0 解得2x 2x 0 x log2 1 2 当t 1 2 时 0即m 22t 1 24t 1 22t 1 0 m 22t 1 t 1 2 1 22t 17 5 故m的取值范围是 5 易错误区 应用指数函数图象 性质的误区 典例 2012 广州模拟 已知函数y b a b是常数且a 0 a 1 在区间 0 上有ymax 3 ymin 试求a b的值 解题指南 先确定t x2 2x在 0 上的值域 再分a 1 0 a 1两种情况讨论 构建a b的方程组求解 规范解答 x 0 t x2 2x x 1 2 1 值域为 1 0 即t 1 0 1 若a 1 函数y at在r上为增函数 at 1 则b b b 1 依题意得解得 2 若0 a 1 函数y at在r上为减函数 at 1 则b b 1 b 依题意得解得综上 所求a b的值为或 阅卷人点拨 通过对试题的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 山东高考 若点 a 9 在函数y 3x的图象上 则tan的值为 a 0 b c 1 d 解析 选d 因为点 a 9 在函数y 3x的图象上 所以3a 9 a 2 所以tan 3 2 2011 辽宁高考 设函数f x 则满足f x 2的x的取值范围是 a 1 2 b 0 2 c 1 d 0 解析 选d 若x 1 则21 x 2 解得0 x 1 若x 1 则1 log2x 2 解得x 1 综上 x 0 故选d 3 2011 湖北高考 若定义在r上的偶函数f x 和奇函数g x 满足f x g x ex 则g x a ex e x b ex e x c e x ex