高中数学 11.3相互独立事件同时发生的概率配套课件 理 新人教A版.ppt

第三节相互独立事件同时发生的概率 三年12考高考指数 1 了解相互独立事件的意义 2 会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率 3 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 1 独立事件的概率的求法是高考重点考查的类型 在选择题 填空题 解答题中都有可能出现 2 常常以实际问题为背景 与等可能事件 互斥事件的概率问题结合在一起形成知识交汇性题目 1 相互独立事件同时发生的概率 1 相互独立事件的概念事件a 或b 是否发生对事件b 或a 发生的概率 这样的两个事件叫做相互独立事件 没有影响 2 概率计算公式两个相互独立事件同时发生的概率 等于 即p a b 推广 如果事件a1 a2 an相互独立 那么这n个事件同时发生的概率 等于 即p a1 a2 an 每个事件发生的概 率的积 p a p b 每个事件发生的概率的积 p a1 p a2 p an 即时应用 1 思考 互斥事件与相互独立事件的区别在哪里 提示 互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系 但互斥的两个事件是一次试验中的两个事件 而相互独立的两个事件是在两次试验中得到的 注意区别 2 判断下列各对事件是否是相互独立事件 在题后的括号内填 是 或 否 甲组3名男生 2名女生 乙组2名男生 3名女生 今从甲 乙两组中各选1名同学参加演讲比赛 从甲组中选出1名男生 与 从乙组中选出1名女生 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球 从8个球中任意取出1个 取出的是白球 与 从剩下的7个球中任意取出1个 取出的还是白球 解析 从甲组选出1名男生 这一事件是否发生对 从乙组选出1名女生 这一事件发生的概率没有影响 所以它们是相互独立事件 从8个球中任意取出1个 取出的是白球 的概率为若这一事件发生了 则 从剩下的7个球中任意取出1个 取出的还是白球 的概率为若前一事件没有发生 则后一事件发生的概率为可见 前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响 所以二者不是相互独立事件 答案 是 否 3 某人射击一次命中的概率是0 9 射击两次 互不影响 至少命中一次的概率是 解析 方法一 至少命中一次的概率是0 9 0 9 0 9 0 9 0 99 方法二 至少命中一次的概率是1 0 1 0 1 0 99 答案 0 99 2 独立重复试验 1 定义若n次重复试验 每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果 则称这n次试验是独立的 2 概率计算公式如果在1次试验中某事件发生的概率是p 那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为pn k 即时应用 1 某人射击一次击中目标的概率为0 6 经过三次射击 此人有两次击中目标的概率为 2 某企业正常用水 24小时用水不超过一定量 的概率为则5天内至少4天正常用水的概率为 解析 1 三次射击相当于三次独立重复试验 因此所求概率p 2 p 答案 相互独立事件的概率问题 方法点睛 在解决相互独立事件的概率问题时应注意的几个关键点利用概率加法公式 减法公式 对立事件的概率 乘法公式进行相关事件的概率计算时 要注意区分一些容易混淆的概念 如 对立事件 与 互斥事件 互斥事件 与 相互独立事件 等 要弄清一些关键字词的差异 如 恰有 至少 至多 都 或 等 例1 1 甲 乙两人独立地解同一问题 甲解决这个问题的概率是p1 乙解决这个问题的概率是p2 那么恰好有1人解决这个问题的概率是 a p1p2 b p1 1 p2 p2 1 p1 c 1 p1p2 d 1 1 p1 1 p2 2 某自助银行共有四台atm机 在某一时刻a b c d四台atm机被占用的概率分别为 如果某客户只能使用四台atm机中的a或b 求该客户需要等待的概率 求至多有三台atm机被占用的概率 求恰有两台atm机被占用的概率 解题指南 1 甲 乙两人能否解决这个问题是相互独立的 故应用独立事件的概率计算公式来解决 2 由题意知 四台atm机是否被占用是相互独立的 故应用独立事件的概率计算公式来解决问题 规范解答 1 选b 甲 乙两人能否解决这个问题是相互独立的 甲解决这个问题的概率是p1 乙解决这个问题的概率是p2 则甲解决不出来这个问题的概率是1 p1 乙解决不出来这个问题的概率是1 p2 所以恰好有1人解决这个问题的概率是 p1 1 p2 p2 1 p1 2 设 如果某客户只能使用四台atm机中的a或b 则该客户需要等待 为事件m 则 设 至多有三台atm机被占用 为事件n 则 设 恰有两台atm机被占用 为事件s 则 互动探究 对于本例 2 如果同时有两名用户来取款 且可以使用其中任何一台atm机取款 求这两名用户均不需等待的概率 解析 这四台atm机均被占用的概率为这四台atm机仅有一台不被占用的概率为所以至少有两台atm机不被占用的概率为即这两名用户均不需等待的概率为 反思 感悟 1 求相互独立事件同时发生的概率的方法 1 利用相互独立事件的概率乘法公式 2 正面计算较繁或难以入手时 可以从对立事件入手计算 2 运用公式p ab p a p b 时一定要注意公式成立的条件 只有当事件a b相互独立时 公式才成立 变式备选 甲 乙 丙三人分别独立解一道题 甲做对的概率是甲 乙 丙三人都做对的概率是甲 乙 丙三人全做错的概率是 1 分别求乙 丙两人各自做对这道题的概率 2 求甲 乙 丙中恰有一人做对这道题的概率 解析 1 设甲 乙 丙三人各自做对这道题分别为事件a b c 则p a 根据题意得解得 乙 丙两人各自做对这道题的概率分别为 2 设 甲 乙 丙三人中恰有一人做对这道题 为事件d 当时 有当时 同理可得 甲 乙 丙三人中恰有一人做对这道题的概率为 与独立重复试验有关的概率问题 方法点睛 独立重复试验满足的条件 1 每次试验在同样条件下可重复进行 2 每次试验之间相互独立 3 每次试验都只有两种结果 即某种事件要么发生 要么不发生 4 在任何一次试验中 事件发生的概率均相等 提醒 当问题中含有 恰好 恰有 等字眼时 往往应用公式求解概率 注意与 n次独立重复试验某k次发生 的区别 前者有系数 后者没有 例2 2012 柳州模拟 某人抛掷一枚质地均匀的硬币 出现正 反面的概率都是构造数列 an 使an 记sn a1 a2 an n n 1 求s8 2时的概率 2 求s2 0且s8 2时的概率 解题指南 s8 2 表示投掷8次硬币 出现了5次正面3次反面 理解这一点是解题的关键 规范解答 1 s8 2 8次中有5次正面3次反面 其概率是 2 s2 0即前2次出现2次正面或2次反面 当前2次为正面时后6次3次正面3次反面 其概率是当前两次为反面时 要使s8 2需后6次出现5次正面1次反面 其概率是则当s2 0且s8 2时的概率 反思 感悟 n次独立重复试验的概率公式与二项式定理的关系 1 在n次独立重复试验中 事件a恰好发生k次的概率为k 0 1 2 n 其中p是一次试验中该事件发生的概率 实际上 正好是二项式 1 p p n的展开式中的第k 1项 2 根据n次独立重复试验的概率公式与二项式定理的内在联系 设置该类综合问题 较好地体现了 掌握二项式定理 并能用它们计算一些简单的问题 的考纲要求 在今后的高考中 要关注独立重复试验问题与二项式定理的关系 在正确进行概率计算的同时 学会用其他数学知识解决概率问题 提高自身的综合解题能力 变式训练 在一次抗洪抢险中 准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油罐 已知只有5发子弹 第一次命中只能使汽油流出 第二次命中才能引爆 每次射击是相互独立的 且命中的概率都是 1 求汽油罐被引爆的概率 2 如果引爆或子弹打光则停止 求射击次数不小于4的概率 解析 每次射击是相互独立的 所以可考虑用n次独立重复试验的概率公式进行计算 1 汽油罐被引爆的对立事件为汽油罐没有被引爆 没有被引爆的可能情况是 射击5次只击中1次或1次也没有击中 故其概率为所以汽油罐被引爆的概率为 2 射击次数不小于4的事件包括射击4次引爆汽油罐 第4次必须击中 和射击5次 前4次至多击中一次 无需考虑第5次是否击中 记射击4次引爆汽油罐为事件a 因为第4次必须击中 所以前3次中必有一次击中 相当于3次独立重复试验中有1次发生 故 记射击5次为事件b 意味着前4次射击中只击中一次或一次也未击中 相当于4次独立重复试验中有1次或0次发生 故 事件a与事件b是互斥事件 p a b p a p b 因此 射击次数不小于4的概率为 相互独立事件与互斥事件的综合应用 方法点睛 求概率时 需注意的几个问题 1 首先要分清概率模型 等可能事件 互斥事件 独立事件 2 利用直接法还是间接法 利用对立事件 来求 3 要善于将一个复杂事件的概率转化为几个简单互斥事件概率的和 4 注意一些字眼的意义 至少一个发生 至多一个发生 恰有一个发生 都发生 都不发生 等 例3 1 接种某疫苗后 出现发热反应的概率为0 80 现有5人接种该疫苗 至少有3人出现发热反应的概率为 精确到0 01 2 设甲 乙两人每次射击命中目标的概率分别为 且各次射击相互独立 若甲 乙各射击一次 求甲命中但乙未命中目标的概率 若甲 乙各射击两次 求两人命中目标的次数相等的概率 解题指南 1 至少有3人出现发热反应包含3个人出现发热反应 4个人出现发热反应 5个人出现发热反应三个互斥事件 2 甲 乙射击为相互独立事件 应用p a b p a p b 求概率 甲 乙命中次数相等包含两人都命中0次 两人都命中1次 两人都命中2次三个互斥事件 规范解答 1 设出现发热反应的人数为 p 0 2048 0 4096 0 32768 0 94208 0 94 答案 0 94 2 设a表示甲命中目标 b表示乙命中目标 则a b相互独立 且从而甲命中但乙未命中目标的概率为 设ak表示甲在两次射击中恰好命中k次 bl表示乙在两次射击中恰好命中l次 依题意 有由独立性知两人命中次数相等的概率为p a0b0 p a1b1 p a2b2 p a0 p b0 p a1 p b1 p a2 p b2 互动探究 在本例 2 中 若条件不变 甲 乙各射击两次 求甲命中目标的次数比乙多的概率 解析 设ak表示甲在两次射击中恰好命中k次 bl表示乙在两次射击中恰好命中l次 依题意 有由独立性知甲命中目标的次数比乙多的概率为p a1b0 p a2b0 p a2b1 p a1 p b0 p a2 p b0 p a2 p b1 反思 感悟 已知两个事件a b 那么 1 a b中至少有一个发生为事件 2 a b都发生为事件a b 3 a b都不发生为事件 4 a b恰有一个发生为事件 5 a b至多有一个发生为事件 变式备选 某单位6位员工借助互联网开展工作 每位员工上网的概率都是0 5 相互独立 1 求至少三人同时上网的概率 2 至少几人同时上网的概率小于0 3 解析 1 至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率 即 2 至少4人同时上网的概率为至少5人同时上网的概率为因此 至少5人同时上网的概率小于0 3 满分指导 独立事件主观题的规范解答 典例 12分 2012 北海模拟 某地区试行高考考试改革 在高三学年中举行5次统一测试 学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习 不用参加其余的测试 而每个学生最多也只能参加5次测试 规定 若前4次都没有通过测试 则第5次不能参加测试 假设某学生每次通过测试的概率都是每次测试通过与否相互独立 1 求该学生恰好经过4次测试考上大学的概率 2 求该学生考上大学的概率 解题指南 由于每次通过测试的概率相等 所以考虑应用独立重复试验的概率公式求解 规范解答 1 记 该学生恰好经过4次测试考上大学 为事件a 则 5分 2 记 该学生考上大学 为事件b 其对立事件为而学生没有考上大学就是在前四次测试中有三次没有通过且第五次没有通过或者前四次都没有通过 故 9分所以 12分 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示与备考建议 1 2011 湖北高考 如图 用k a1 a2三类不同的元件连成一个系统 当k正常工作且a1 a2至少有一个正常工作时 系统正常工作 已知k a1 a2正常工作的概率依次为0 9 0 8 0 8 则系统正常工作的概率为 a 0 960 b 0 864 c 0 720 d 0 576 解析 选b 方法一 由题意知k a1 a2正常工作时的概率分别为p k 0 9 p a1 0 8 p a2 0 8 又k a1 a2相互独立 所以a1 a2至少有一个正常工作的概率为所以系统正常工作的概率为 方法二 因为a1 a2至少有一个正常工作的概率为1 1 0 8 1 0 8 0 96 所