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数学分析课本(华师大三版)习题及答案第四章 第八章 不定积分 一. 填空题 x 1若f?(e)?1?x，则f(x)?_ 2设f(x)的一个原函数为xe，则?xf?(x)dx?_ 3若e ?x x 是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?_ 4若f(x)?1，则f(x)?_ 5?max(x,x)dx?_ 6若f(x)有原函数xlnx，则?xf?(x)dx?_ 7? ln(sinx)sin 2 ? 3 ? 2 x dx?_ 8若? dx(1?2cosx) 2 ? Asinx1?2cosx ?B? dx1?2cosx ，则A?_，B?_ 9设?xf(x)dx?arcsinx?C，则? dxx(4?x) lnx?1x 2 dxf(x) ?_ 10? ?_ 11? dx?_ 12?13?14? ?a?sin(lnx)?cos(lnx) n x ?_ ?f(x)?xf?(x)?dx dx1?e x ?_ ?_ 15?16? xe x2 (1?x) dx?_ 4sinx?3cosxsinx?2cosx dx?_ 2 17已知f?(2?cosx)?sinx?tan 2 x，则f(x)?_ 18? f?(x)1?f(x)? 2 dx?_ 19. 若?f(x)dx?F(x)?C,而u?(x),则?f(u)du?_. 20设函数f(x)的二阶导数f?(x)连续,那么?xf?(x)dx?_. 21设f(x)的原函数是 sinxx ,则?xf?(x)dx?_. 112 22已知曲线y?f(x)上任一点的切线斜率为3x2?3x?6,且x?1时,y?则f(x)?_;f(x)的极小值是_. 1?x 2 是极大值, 23已知一个函数的导数为f(x)?,并且当x?1时,这个函数值等于 32 ?,则这个函 数为F(x)?_. 24 设f?(sin 2 x)?cosx(x?1),则f(x)?_. 2 25 若f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),则?f(x)dx?_. 26 若(?f(x)dx)?lnx,则f(x)?_. 27 已知e28 ?x 2 是f(x)的一个原函数,则?f(tanx)secxdx?_. 2 2?f()dx?_. 2 xx 1?x 29 设f(x)dx?C,则f(x)?_. 1?x ? 1 ? 30 在积分曲线族?二、选择填空题 1设I? 1xx dx中,过(1,1)点的积分曲线是y?_. ? x e?1e?1 x x ，则I?() A.ln(1?e)?C B.2ln(1?e)?x?C C.x?2ln(1?e)?C D.ln(e?1)?C 2设f(x)是连续的偶函数，则期原函数F(x)一定是() A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数 x x x 3设I1? ? 1?xdx,I2? ? du，则存在函数u?u(x)，使() x(1?xex ) u(1?u) A.I1?I2?x B.I1?I2?x C.I2?I1 D.I2?I1 4当n?1时，?xn lnxdx?() n n?1 A.x n (lnx? 1n )?C B. x n?1(lnx? 1n?1 )?C n?1 C.1?1 x n?1 x n(lnx? 1n?1 )?CD. n?1 lnx?C 7?(cosx2 ?sin x2 )dx?() A.2(sinx?cos x)?C B.2(cos xx2 2 2?sin 2)?C C.sinx?cosx xx22?C D.cos2 ?sin2?C 8? x?sinx 1?cosx dx?() A.xcotxxxx2?CB.xtan2?CC.x 2cotx?CD.2tan2 ?C 9若f(x)的导函数是e?x ?cosx，则f(x)的一个原函数为() A.e ?x ?cosxB.?e ?x ?sinxC.?e?x ?cosxD.e ?x ?sinx 10若f(x)是以l为周期的连续函数，则其原函数()。 A.是以l为周期的函数B.是周期函数，但周期不是l C.不是周期函数D.不一定是周期函数 12已知函数y?3x2 的一条积分曲线过(1,1)点，则其积分曲线的方程为() A.y?x3 B.y?x3 ?1C.y?x3 ?2 D.y?x3 ?C 13?xf?(x)dx?() A.xf(x)? ? f(x)dx B.xf(x)?f(x)?C C.xf(x)?f(x)?C D.f(x)?xf(x)?C 14sin2x的原函数是() A.2cos2xB. 12 cos2xC.?cos 2 xD. 12 sin2x 15若f(x)为连续函数，则?f(2x)dx?() A.f(2x)?CB.f(x)?CC. 12 f(2x)?CD.2f(2x)?C 16. 一个函数的原函数如果有的话有( ). (A) 一个 ； (B) 两个 ； (C) 无穷多个 ； (D) 都不对 . 17. 若?f(x)dx?F(x)?C,且x?at?b,则?f(t)dt?( ). (A) F(x)?c; (B) F(t)?c ;(C) 1a F(at?b)?C; (D) F(at?b)?C. 18. 设f(x)为可导函数,则( ). (A) ? f(x)dx?f(x);(B) ?f?(x)dx? f(x); f(x)?C. (C) ( ?f(x)dx)? f(x) ;(D) ( ?f(x)dx)? 19. 若u,v都是x的可微函数,则?udv?( ). (A) uv?(C) uv? ?vdu ;(B) uv?u?vdu; ?v?du; (D) uv?uv?du. ?x 2 20 已知f(x)的一个原函数是e(A) ?2xe(C) e ?x 2 ,求?xf?(x)dx?( ). ?2xe 2 ?x 2?x 2 ?C; (B) 2 ; f(x)dx. (?2x?1)?C;(D) xf(x)? ? 21. 已知曲线上任意点的二阶导数y?6x,且在曲线上(0,-2)处的切线为2x?3y?6,则这条曲线的方程为( ). (A) y?x?2x?2; (B) 3x?2x?3y?6?0; (C) y?x; (D) 以上都不对. 33 3 22. 若f(x)的一个原函数是ln(2x),则f?(x)?( ). (A) ? 1x 2 ;(B) 1x ;(C) ln(2x); (D) x?ln2x. 23. 若?df(x)?dg(x),则下列各式中不成立的是( ). (A) f(x)?g(x); (B) f?(x)?g?(x); (C)df(x)?dg(x); (D) d ?f?(x)dx?d?g?(x)dx. 24. 若f?(x2)? 1x (x?0),则f(x)?( ). 1x (A) 2x?C;(B) lnx?C; (C) 2x?C;(D) f?(lnx)x ?C 25. 若f(x)?e?2x,则?(A) 1x 2 dx?( ). ?C; (B) ? 1x 2 ?C; (C) ?lnx?C; (D) lnx?C. ?x 26. 设?f(x)dx?F(x)?C,则?e(A) F(e)?C;(B) F(e x f(e ?x )dx?( ). ?x )?C;(C) F(ex ?x ) ?C;(D) ?F(e ?x )?C. 27. 设sinx是f(x)的一个原函数,则?xf(x)dx?( ). (A) xsinx?cosx?C; (B) xsinx?cosx?C; (C) xcosx?sinx?C; (D) xcosx?sinx?C. 28. 设f(x)?cosx,则f(x)在区间( )是可积的. (A) (?,?);(B) 0,?);(C) ?,?;(D) ?1,0. 29. 在计算积分?x 2?xdx时,为使被积函数有理化,可做变换( ). (A) x?sint; (B) x?tant; (C) x?sect; (D) t? 3 ?x. 30. ?x 2x 2 ?2x?5 dx? ?(x?1) 2x?2?2 2 ?4 dx?( ). x?1x?122 ?c;(B) lnx?2x?5?arcta?c; (A) lnx?2x?5?2arcta22x?11x?122 ?c;(D) lnx?2x?5?arcta?c. (C) lnx?2x?5?2arcta424 三、计算题 1. 求一曲线y=f(x),使它在点(x、f(x)处的切线的斜率为2x,且通过点(2、5). 2. 求下列不定积分: 第二十二章 曲面积分 一、证明题 1.证明:由曲面S所包围的立体V的体积等于 V= 余弦. 2.若S为封闭曲面,L为任何固定方向,则cos?n,L?ds=0 S1?xcos?ycos?zcosr?ds其中cos?,cos?, cpsr3S为曲面S的外法线方向 其中n为曲面S的外法线方向. 3. 证明 公式 ? Vdxdydzr=1cos?r,n?ds 2S 其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向. r=x2?y2?z2,r=(x,y,z). 4.证明: 场A=?yz?2x?y?z?,zs?x?2y?z?, xy?x?y?2z?是有势场并求其势函数. 二、计算题 1.计算下列第一型曲面积分: (1) ?x?y?z?ds,其中S为上半球面 S 2222x?y?z=az?0; (2) ?x S2?y2?ds,其中S为主体x?y22?z?1的边界曲面; (3) ? S1x?y22ds,其中S为柱面x2?y2?R2被平面Z=0,Z=H所截取的P分; (4) ?xyzds S,其中S为平面在第一卦限中的部分. 2.计算?zds,其中S为圆锥表面的一部分. S2 ?x?rcos?sin?0?r?a?S:?y?rsin?sin? D:? 0?2?z?rcos? 这里为常数(01,y0,z0)的2 15.设流速A=?y,x,c?(c为常数)求环流量 (1)沿圆周x?y=1,z=0; 2(2)沿圆周?x?2?y=1,z=0. 222 三、考研复习题 ?u ?x221.证明:若?u=+?u?y22+?u?z22,S为包围区域V的同面的外例,则 (1)?udxdydz=VS?u?nds; (2)u S?u?nds=?udxdydz+?u?udxdydz VV 2.设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u(x,y,z)二阶偏导连续,函数W(x,y,z)偏导连续,证明: ?u ?x?w?x(1)?WVdxdydz=uwdydz? S?Vudxdydz; (2)?W?udxdydz=WVS?u?nds?uV?Wdxdydz. 3.设A=r r3S为一封闭曲面,r=(x,y,z).证明当原点在曲面S外,上,内时分别有 Ads S=0.2,4. 4.证明公式: f?msin?cos?nsin?sin?Pcos?sin?d?d? D =2?fum?u?p?11?222?du P.124 习题 1试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点?，使f?(?)?0： 1?xsin （1）f(x)?x ?0 解 （1）因为f在0,理，?(0, 0?x?x?0 1 ?， （2）f(x)?|x|?1?x?1 1 1 ? 连续，在(0, ? 1 )可导，且f(0)?f()，所以由Rolle定 ? 1 ? )，使得f?(?)?0。 ?1x?0 ，且f?(0)不存在，故不存在一点?，使f?(?)?0 ?1x?0? 3 （2）因为f?(x)? 2证明：（1）方程x?3x?c?0（这里c为常数）在区间0,1内不可能有两个不同的实根； 32 证明 设f(x)?x?3x?c，由于方程f?(x)?3x?3?0在(0,1)内没有根，所以 （由P.120，例1）方程x?3x?c?0在区间0,1内不可能有两个不同的实根。 （2）方程x?px?q?0（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。 证明 设f(x)?x?px?q，于是f?(x)?nx奇数，故方程f?(x)?nx n n?1n n?1 n 3 ?p?0。当n为偶数时，n-1为 ?p?0至多有一个实根（因为幂函数nxn?1?p严格递增）， 从而方程x?px?q?0至多有两个实根； 当n为奇数时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程 nf?(x)?nxn?1?p?0至多有两个实根，从而方程x?px?q?0当n为奇数时至多有三 个实根。 3证明：若函数f和g均在区间I上可导，且f?(x)?g?(x)，x?I，则在区间I上 f和g只相差一常数，即f(x)?g(x)?c（c为某一常数） 证明 令F(x)?f(x)?g(x)，则F在区间I上可导，且F?(x)?f?(x)?g?(x)?0，由推论1，存在常数c，使得F(x)?c，即f(x)?g(x)?c 4证明 （1）若函数f在a,b上可导，且f?(x)?m，则f(b)?f(a)?m(b?a) （2）若函数f在a,b上可导，且|f?(x)|?M，则|f(b)?f(a)|?M(b?a) （3）对任意实数x1,x2，都有|sinx1?sinx2|?|x2?x1| 证明 因为f在a,b上可导，所以f在a,b上满足Lagrange中值定理的条件，于是?(a,b)，使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) （1）因为f?(x)?m，所以f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?m(b?a)，从而有 f(b)?f(a)?m(b?a) （2）因为|f?(x)|?M，所以|f(b)?f(a)|?|f?(?)|?|b?a|?M(b?a) （3）不妨设x1?x2，正弦函数f(x)?sinx在x1,x2上连续，在(x1,x2)可导，于是?(a,b)，使得|sinx1?sinx2|?|cos?|?|x1?x2|?|x2?x1| 5应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1） b?abb?a ，其中0?a?b ?ln? baa 证明 设f(x)?lnx，则f在a,b上连续且可导，所以f在a,b上满足Lagrange中值定理的条件，于是?(a,b)，使得ln b1 ?lnb?lna?f?(?)(b?a)?(b?a)，a? 因为0?a?b，所以 b?ab?ab?ab?abb?a，从而 ?ln? b?abaa h2 ?arctanh?h，其中h?0 （2）2 1?h 证明 设f(x)?arctanx，则f在0,h上满足Lagrange中值定理的条件，于是 ?(0,h)，使得arctanh?arctanh?arctan0?f?(?)(h?0)? h 。因为 2 1? h2hh ?h，从而?arctanh?h。 0?h，所以2 1?h21?21?h 6确定下列函数的单调区间： （1）f(x)?3x?x （2）f(x)?2x?lnx 2 2 x2?1 （3）f(x)?2x?x （4）f(x)? x 2 解 （1）f?(x)?3?2x，令f?(x)?0，得x?当x? 3 2 33 时，f?(x)?0，f递增；当x?时，f?(x)?0，f递减。 22 14x2?11（2）f的定义域为x?0。f?(x)?4x?，令f?(x)?0，得x? xx2 当0?x? 11 时，f?(x)?0，f递减；当x?时，f?(x)?0，f递增。 22 1?x2x?x 2 （3）f的定义域为0?x?2。f?(x)?，令f?(x)?0，得x?1 当0?x?1时，f?(x)?0，f递增；当1?x?2时，f?(x)?0，f递减。 1x2?1 ?0，故f在其定义域 （4）f的定义域为x?0。f?(x)?1?2?2 xx(?,0)?(0,?)递增。 7应用函数的单调性证明下列不等式： x3? （1）tanx?x?，x?(0,) 33 x3 证明 设f(x)?tanx?x?，则f在x?0连续，且f(0)?0。因为 3f?(x)?sec2x?1?x2?tan2x?x2?0，x?(0, ? 3 )，故f在(0, ? 3 )严格单调递 x3? 增，又因f在x?0连续，于是f(x)?f(0)?0，从而tanx?x?，x?(0,)。 33 （2） 2x ? ?sinx?x，x?(0,2x ? 2 ) 2sinxsnix2? ?。设f(x)?则f在x?sinx，?， ?xx?2?xcosx?sinx(x?tanx)cosx? 连续，且f()?0。因为f?(x)?，?0x?(0,)。22 22xx?sinx2? 所以f在(0,)严格单调递减，于是f(x)?f()?0，从而?，x?(0,)。 22x?2 证明 先证 其次证明：sinx?x。设f(x)?x?sinx，则f在x?0连续，且f(0)?0。因为 f?(x)?1?cosx?0，x?(0, ? 2 )。所以f在(0, ? 2 )严格单调递增，又因f在x?0连 续，于是f(x)?f(0)?0，从而x?sinx，x?(0, ? 2 )。 x2x2 ?ln(1?x)?x?（3）x?，x?0 22(1?x) x2x2 ?ln(1?x)，x?0。?nl(1?x)，证明 先证：x?令f(x)?x?则f在x?0221?x2 ?0，x?0。所以f在x?0严格连续，且f(0)?0。因为f?(x)?1?x? 1