九年级(上)数学创造性学习潜能开发班.doc

九年级（上）数学创造性学习潜能开发班第一讲：一元二次方程（一）【思维体验】 一、一元二次方程的概念【例1】（1）（D）（2）由题意：， 当a=4时，a-4=0（舍去），当a=-4时，方程符合题意， 二、一元二次方程的解【例2】已知m、n是二次方程x2+2009x+7=0的两个根；求(m2+2008m+6)(n2+2010n+8)的值【解答】m是x2+2009x+7=0的根，同理：原式=(-m-1)(n+1)= - (mn+m+n+1)由根与系数的关系得：mn=7,m+n= -2009, 所求代数式= -(7-2009+1)=200 1【例3】已知方程x2-mx+m+5=0有两实根，；方程x2-(8m+1)x+15m+7=0有两实根，求2的值（北京市竞赛题）【解答】方程x2-mx+m+5=0和方程x2-(8m+1)x+15m+7=0都有根 - (-m+8m+1)-14m-2=0 (7m+1)( -2)=0 m=或=-2当m=时，两方程相同，不合题意舍去。=2代入，4-2m+m+5=0 m=9此时，两方程，由根与系数关系：=14，=142，2=14142=1988三、一元二次方程根的判别式及应用【例4】【解答】（可以直接想，也可以从反面入手）假设三个方程都没有实根 则 1-4m0 且 4-4(m-1)0 且 4+4(m-2)2 且 m, 令 , 【例8】【一试身手】【基础训练】1 a为何值时，关于x的方程x2-ax(3x-a)=x+1是关于x的一元二次方程【解答】易求：2 已知a是方程x2-2008x+1=0的一个根，求a2-2007a+的值【解答】a是方程x2-2008x+1=0的根, a2-2008a+1=0a2+1=2008a a2-2007a=a-1原式=（其中一种变形，可让学生探多种变形方式）3正比例函数y=(a+1)x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+(1-2a)x+a2=0,则此方程根的情况是（ ） (A) 有两个不相等的实数根 (B) 有两个相等的实数根 (C)没有实数根（D）不能确定（2006年中考试题）【解答】：易选（A）4设x1 ,x2 是方程x2-2x-11=0的两个根，求x14+x24的值【解答】：由根与系数关系：，【提高训练】1已知x=-1,求的值（希望杯邀请赛试题）【解答】： 2已知a ,b ,c满足a+b+c=0,abc=8, 且c0，求证：c2【解答】：abc=8 a,b,c不等于0 c0,a+b+c=0,abc=8 a,b同号并同时为负数a+b=-c ab= 则a,b为方程两根，a,b为实数， c0 3设a, b, c为互不相等的非零实数，求证：三个方程ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0, cx2+2ax+b=0, 不可能都有两个相等的实数根（山东省竞赛题）【解答】：假设同时都有两个相等的实根，且 且 三个式子相加得： a=b=c这与a,b,c互不相等矛盾，三个方程不可能都有两个相等的实数根。4如果方程（x-1）(x2-2x+m)=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么，实数 m的取值范围是（ ）（全国初中数学竞赛试题）（A）0m1 (B) m (C) m1 (D) m1【解答】： 或 由题意三根课作为一个三角形三边长，不妨设另两边为， 有根 +=2 =m0 m满足条件 即选（C）5设实数s、t分别满足19s2+99s+1=0, t2+99t+19=0并且st1，求的值友情提示；若先求出s、t再代入求值，计算太繁。仔细观察两个方程的系数特点，恰当变形，使两个方程具有相同的结构，这是解本例的关键。【解答】： t2+99t+19=0 t=0时，左边=19右边， t0两边同时除以， 19s2+99s+1=0 s, 是方程19x2+99x+1=0de 两根且st1，即s s+= s= 【成就测试】 1D; 2 C 3或4若关于x的方程x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。【解答】： 5 已知方程1：x2px+2q=0和方程2：x2qx+2p=0有公共根，且pq；p、q是方程3：4x2+mx+n=0的两个实数根（1）求方程1和方程2的公共根；（2）如果m、n都是正整数，求所有满足题意的正整数对(m,n)【略解】（1）方程1和方程2相减，得(pq)(x+2)=0, pq, x=2；20分（2）将x=2代入方程1，得p+q=2，又p、q是方程3的两相异实数根，所以 p+q=m/4, 所以m=830分又方程3有两个相异实数根，所以m216n0，解得n1,b1且ab.公共根是a= 或b=.两个等式去分母后的结果是一样的.即aba=b+2, abab+1=3, (a1)(b1)=3. a,b都是正整数，；或.解得；或.又解：设公共根为x0那么先消去二次项：（b1）（a1）得（a2+2）(b1)+(b2+2)(a1)x0+(a2+2a)(b1)(b2+2b)(a1)=0.整理得（ab）(abab2)(x01)=0.abx01；或(abab2)0.当x01时，由方程得a=1,a1=0，方程不是二次方程.x0不是公共根.当(abab2)0时，得(a1)(b1)=3解法同上.5若直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2-2x-m+1=0的根（m为整数），这样的三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在。请说明理由。（湖北省黄冈市竞赛题）解：【成就测试】1 解方程x2-3+2=0解： 2.解：3证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么10和20.即由得b ，b+1 代入，得ac=b+1，4c4a5 ：a24a+50，即（a2）2+10，这是不能成立的.既然10和20不能成立的，那么必有一个是大于0.方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当120时，则1和2中至少有一个是正数.4.已知实数a、b满足a2+ab+b2=1,且t=ab-a2-b2，求t的取值范围（全国数学联赛）解：+ t+1=2ab第三讲：证题方法及应用（一）问题解答【思维体验】例1 略例2BDDE于D，CEDE于E，BDA=AEC=90，DAB+ABD=90，在RtBDA和RtAEC中，BDA=AEC=90，AB=AC，AD=CE，RtBDARtAEC，DBA=CAE，DAB+CAE=DAB+DBA=90，BAC=90，ABAC解答一图解答二图3例2【解答一】在DC上截取DE=DB，连接AEADBC，DC=AB+BD，DE=DBEC=AB，ADB=ADE=90则AD=AD，ADB=ADE=90，DB=DEADBADEAB=AE，ABD=AED又AB=ECAE=ECCAE=C，AED=CAE+C=2C又BAC=120C=20【解答二】延长DB到E，使得BE=AB，连接AE，则E=EAB，ABD=2EADBC，DC=AB+BD，BE=ABED=DB+EB=DB+AB=DC，ADC=ADE=90则AD=AD，ADE=ADC=90，DE=DCADEADCAE=AC，E=CABD=2EABD=2C在ABC中，BAC=120，ABD=2C则C=20【举一反三】1【证明一】（根据BD平分ABC应用角平分线性质构造全等）如图：过点D作DEAB于点EDFBC于点F，在BC上截取BG=BD，连结DGAB=AC，BAC=100，BD平分ABC交AC于点D，BG=BD证明一图ABC=ACB=40ABD=CBD=20，BDG=BGD=80DAE=80BGD=DAEBD平分ABC交AC于点D过点D作DEAB于点E，DFBC于点FDE=DF，AED=GFD=90在AED和GFD中，BGD=DAE，AED=GFD=90，DE=DF证明二图AEDGFDAD=GD在CGD中，ACB=40，BGD=80则GDC=40=ACB，则DG=GC又AD=GDAD= GC又BD=BGBC=BG+CG=BD+AD【证明二】（通过对折变换以及截长补短构造全等）在BC上截取BF=BD，连结DF在BC上截取BE=AB，连结DEAB=AC，BAC=100BD平分ABC交AC于点D，BD=BFABC=ACB=40，ABD=CBD=20BDF=BFD=80，FDC=BFDACB=8040=40=ACBFD=FC在BAD和EAD中，AB=EB，ABD=CBD=20，BD=BDBADEADBED=BAC=100，DA=DEDEF=80又BFD=80DEF=BFDDE=DF又DA=DE，FD=FC证明三图BC=BF+FC=BD+CF=BD+DF=BD+DE=BD+AD【证明三】（“截长补短”构造全等）延长BD到F，使得BF=BC，连结CF在BC上截取BE=BA，连结DE，AB=AC，BAC=100BD平分ABC交AC于点D，BD=BFABC=ACB=40，ABD=CBD=20ADB=60在BAD和EAD中，AB=EB，ABD=CBD=20BD=BDBADBEDAD=ED，ADB=ADE=60CDE=CDF=60CBD=20，BF=BCBFC=BCF=80又ACB=40DCF=40=ACB在FCD和ECD中，CDE=CDF，CD=CD，ACB=DCFFCDECDDF=DE又AD=EDAD=DFBC=BF=BD+DF=BD+DE=BD+AD【证明四】（通过构造含有30角的直角三角形）延长BD到F，使得DF=DA连接AF，过点B作BNAF于点N，作AMBC于点M，AB=AC，BAC=100，BD平分ABC交AC于点D，ABC=ACB=40，ABD=CBD=20ADB=60证明四图DF=DADAF=DFA=30又BNAFBN=BFAB=AC，BAC=100AMBC于点M，BNAFBAM=CAM=50BMA=90=BNA， MB=MC又DAF=30，BAC=100BAN=50=BAM在BNA和BMA中，BNA=BMA，BAN=BAM，AB=ABBNABMABN=BMMB=MC，BN=BFBD+AD=BD+DF=BF=2BN=2BM=BM+MC=BC【证明五】（通过作平行线构造等腰三角形）过点D作DEBC交AB于点E，在BC上截取BF=BD，连结DFAB=AC，BAC=100，BD平分ABC交AC于点DABC=ACB=40，ABD=CBD=20，BDF=BFD=80FDC=BFDACB=8040=40=ACBDF=FCDEBC CBD=EBD=20，AED=ABC=ACB=ADE=40证明五图ED=BE，AD=AE又AB=ACEB=DC=ED在AED和DFC中，AED=FDC，ED=DC，ADE=FCD，AEDDFCDE=DC，AD=CF 又BD=BFBC=BF+FC=BD+CF=BD+AD如果作为竞赛训练题还有其它解法（下面只提供一种）【证明六】（构造等边三角形）以BC为边作正EBC，连结EAAB=AC，BAC=100，BD平分ABC交AC于点D，正EBCABC=ACB=40，DBA=DBC=20，EBA=20，ADB=60，BEC=60以B为圆心，以BD为半径画弧交AE于点F，则BD=BF，连结AFBF=BD，EBA=DBA，BA=BA证明六图FBADBAAF=AD，ADB=AFB=60AB=AC，EA=ECE、A都在BC的垂直平分线上AEBC，AE平分BC又AB=AC，BEC=60EA平分BEC，AEF=30又AFB=60EAF=AFBAEF=30=AEFAF=EF又AF=AD，BC=BE，BD=BFBC=BE=BF+EF=BD+AF=BD+AD【举一反三】2【证明一】在AB上截取AE=AC，连接DEAE=AC，AB=AC+CDEB=CDAD平分BAC证明一图BAD=CADAE=AC，BAD=CAD，AD=ADADEADCDE=DC，AED=C又CD=EBDE=EB证明二图B=EDB，C=AED=B+EDB=2BB:C=1:2【证明二】延长AC到E使得AE=AB，连接DEAE=AB，AB=AC+CDCE=CDE=CDE,ACB=CDE+E=2EAD平分BACBAD=CADAE=AB，CAD=BAD，AD=ADADEADBE=B又ACB=2EACB=2BB:ACB=1:2例3【证明一】延长FM到点G，使得MG=FM，连接BG证明一图MB=MC，AMG=CMF，MG=MFBMGCMFCF=BG，G=CFMADMECFM=DAC，CFM=EDAC=BADCFM=BAD=E=G证明二图BE=BG，而BG=CF，则BE=CFBE=AB+AE，AE=AF2BE=AB+AF+CF即：CF=BE=【证明二】利用中点构造中位线证明过点B作BGEM交CA的延长线于点GBGEM，M为BC的中点CF=FGBGEM，ADME，AD平分BACBAD=CAD，CAD=G=AFE，BAD=ABG=EABG=G，E=AFEAB=AG，AE=AFBE=AB+AE=AG+AF=FG=CF=例4【证明】连接PNP为BC的中点，N为CD的中点证明图NPBC，NP=又Q为MN的中点，即：M是AB的中点MA=MB=AE=MAME=AE=CE【举一反三】【解答】PQ的长度不变化，等于理由：连接EB，取EB的中点H，连接HF、FM、MG、GH、MH、NHH为EB的中点，F为BC的中点，M为CD的中点，G为DE的中点四边形HFMQ是平行四边形，且MH与FG互相平分，即：Q为MH的中点解答图又P为MN的中点H为EB的中点PQ=，即：PQ的长度不变化，等于例5证明：连结AC，把ABC绕点A逆时针旋转120得到AEF，则AEFABC，EFBC，AFACD、E、F三点共线ADFADCADFADC，即AD平分CDE例6图ABCDE例6 提示：如图，延长CD至E，使DE=BD，连结AE，首先利用条件ADB=90BDC，证明ADE=ADB而后证明ADBADE，便得ACE是等边三角形AB=AE=AC例7【证明一】连结MBACBBDEAC=BD，BC=DE，AB=BE，ABC=BED，CAB=EBD又ACB=90，BDE=90，M为AE的中点ABE=90，MB=MA=ME，BAM=MBA=MBE=BEM=45，BMAECAM=CAB+BAM=CAB+45=EBD+45=DBM在CAM和DBM中，CA=DB，CAM=DBM，MA=MBCAMDBM，CM=DM，AMC=BMD又BMAEAMB=90，CMD=CMB+BMD=CMB+AMC=AMB=90证明一图MCD是等腰直角三角形【证明二】观察整个图形四边形ACDE是一个直角梯形，M为AE中点，考虑构造中位线来解决问题取CD的中点N，连结MNACB与BDE是两个全等的直角三角形，C、B、D在一条直线上，MNACED，CN=DN，MNCD解答图2MN=CN=DN，MNCDMCD是等腰直角三角形【证明三】根据已知，M是AE的中点，ACDE延长CM交DE的延长线于点N，构造ACMNEM，得到：MN=MC，NE=AC，而AC=BD得到等腰直角CDN，M为CN的中点，则N=DCN=45，CM=MC=MN，DMCN，则问题得证延长CM交DE的延长线于点N解答图3ACD=CDE=90ACDE，M为AE的中点CM=NM，AC=ENCB=DE，BD=ACDC=CB+DB=DE+AC=DE+EN=DNCDE=90，MC=MNDCN=DNC=45，DM=CM=NMDCN=CDM=45CMD=90CMD是等腰直角三角形【一试身手】【基础训练】1B； 2； 36；4证明：过点D作DEAB于点E，则AED=90，C=90，BED=90AD是BAC的角平分线，EAD=CADAED=90，C=90，AED=CAED=C，EAD=CAD，AD=AD，AEDACDDE=DC，AC=AE设，CD=根据BC=2AC得到：BC=，根据C=90，BC=2AC，得到： 根据AC=AE得到：AE=AC=，根据DE=DC得到：DE=DC=在三角形BED中，BDE=90，即：=，则AB+2BD=5AC解答图解法二：过点D作DEAB于点E，则AED=90，C=90，BED=90AD是BAC的角平分线， EAD=CAD，AED=90，C=90， AED=CAED=C，EAD=CAD，AD=AD，AEDACD， DE=DC，AC=AE，设，CD=，根据BC=2AC得到：BC=，根据C=90，BC=2AC，得到：，根据AC=AE得到：AE=AC=，根据DE=DC得到：DE=DC=C=90，BC=2AC，DEAB，C=BED=90，B=B，BE=解答图则BD=，则AB+2BD=5AC【提高训练】5解答：在AB上截取AE=AB，连接DEAE=AB，AC=AB+BDBD=CEAD平分BACBAD=CADAE=AB，BAD=CAD，AD=ADABDAEDDE=DB，AED=B又BD=CEDE=ECC=EDC，B=AED=C+EDC=2CB=80C=40，A=606解答：AB=AC，ABC=ACB=，ABC与ACB都是锐角，AD=DE，DEA=DAE=，DAE与DEA都是锐角，则ADE=，则BAC为钝角，过点C作CFAB，过点D作DFBC交CF于点F，则四边形BDFC是平行四边形，则DB=CF，BC=DF，EAD=ECF，ADF=ABC=DA=CE，AB=AC解答图DB=AE而DB=CFDB=AE=CFDA=CE，EAD=ECF，AE=CFDABECFED=EF又ED=BC，BC=DFED=DF=EFEDF是等边三角形60=EDF=ADE+ADF=+BAC=1007解：将ABO绕点A逆时针旋转60得ACD，连结OD，则ADAO3，DCOB5，CADBAODAOCAB60AOD为等边三角形AOD60，OD3，在ODC中，OD3，OC4，DC5COD90AOCAODCOD1508证明：把ADF绕中点D旋转180得到BDG，其中B与A、G与F分别是对应点，则BDGADF。于是D是AB的中点D也是GF的中点，故解答图9解答：如图，作边长为1的正方形ABCD，分别在AB、AD上取AE=a，AG=b，过E、G分别作AD、AB的平行线，交CD、BC于F、H，EF、GH交于O点.由题设条件及作图可知，AOG、BOE、COF、DOG皆为直角三角形.OC=再连结对角形AC，BD，易知AC=BD=，OA+OCAC，OB+ODBD，第三讲：证题方法及应用（一）成就测试一、选择题（每小题15分，共30分）1B设另一边长c，则c是奇数，且2003c2017, 故c的取值可为2005,2007,2009,2011,2013, 2015等6个值2答案：D可以运用验证排除法综合法：设直角边为、，不妨设则则则则则则则或则或答案是D二、填空题（每个小题15分，共30分）3答案：4答案：90三、解答题5解答：AE=DE=BD，BE=BC，AB=ACDBE=DEB，A=ADE=2DBE，BEC=BCE=A+DBE=3DBE1题解答图ABC=BCE=3DBEA+ABC+BCE=1802DBE+3DBE+3DBE=1802DBE=45A=2DBE=456证明一：构造矩形ABCD，使得AB=3，BC=4，在CD上截取CE=1，在AD上截取AF=1，则DE=2，DF=3，可以得到：，可得：=是有理数2题解答1图证明二设ABC中，、，作CMAB于M，设，则，2题解答2图则，则，则，=是有理数第5讲 反比例函数 问题解答例1分两种情况考虑： （1） a1，a2符号相同.A（a1，b1）B（a2，b2）0当a1，a2同正，A，B两点同时位于第四象限的曲线上；当a1，a2同负，A，B两点同时位于第二象限的曲线上，满足当k0时，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大，所以有b1b2. （2）a1，a2符号相反.因为a1a2， 所以有a10a2 ，点A位于第二象限图象上，点B位于第四象限的曲线上 ，由于两点分别位于两个象限，不适用性质来判断b1，b2的大小.可通过图象直接比较得出b1b2.例1解答图例2 B例3解：（1）将分别代入中，得 反比例函数的表达式为： 正比例函数的表达式为 （2）观察图象，得在第一象限内，当时，反比例函数的值大于正比例函数的值（3） 理由： 即即例4(1)B点的坐标为(3,3) k9 (2)P1(6,) P2(,6) (3)S93m(0m3) S9(m3)例5解：（1）由题意，得点C（0，2），点A（4，0）设点P的坐标为（a，a2），其中a0由题意，得SABP（a4）（a2）9解得a2或a10（舍去）而当a2时，a23，点P的坐标为（2，3）（2）设反比例函数的解析式为y点P在反比例函数的图象上，3，k6 反比例函数的解析式为y，设点R的坐标为（b，），点T的坐标为（b，0）其中b2，那么BTb2，RT当RTBAOC时，即，解得b3或b1（舍去）点R 的坐标为（3，2）当RTBCOA时，即，解得b1或b1（舍去）点R 的坐标为（1，）综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1，）例6（1）依题可得得k2反比例函数解析式为y（2）由得经检验都是原方程组的解（3）A点在第一象限；A点坐标为（1，1）（3）OA，OA与x轴所夹锐角为45当OA为腰时，由OAOP，得P1（，0），P2（，0）；由OAOP，得P3（2，0）当OA为底时，得P4（1，0）这样的点有4个，分另是（，0），（，0），（2，0），（1，0）例7解：（1）、点E的坐标（a,1-a）;点F的坐标（1-b,b）（2）、当PM、PN与线段AB都相交时SEOF= SAOB- SAOE-SBOF=(a+b-1) .当PM、PN中，一条与线段AB相交，另一条与线段AB的延长线相交时，SEOF= SFOA+SAOE=(a+b-1) .或SEOF= SFOB+SBOE= (a+b-1).(3)、AOF与BOE一定相似OA=OB=1,OAF=EBO,BE= a,AF= b点P是函数图像上任意一点，2ab=1 =11, = AOFBEO.(4)、当点P在曲线上移动时，OEF中，EOF一定等于45。由第（3）题得出AOF与BOE一定相似AFO=BOE, 在OEF中，AFO=B+BOF,而BOE=EOF+BOF, EOF=B=45.例8解：（1）在双曲线上，轴，轴，A，B的坐标分别， (1分)又点A，B在直线上， (2分) 解得或 (4分)当且时，点A，B的坐标都是，不合题意，应舍去；当且时，点A，B的坐标分别为,符合题意且.(5分)（2）假设存在点使得 轴，轴，RtRt,(7分)设点P坐标为（1x8），则M点坐标为，.又，即（） (9分)方程（）无实数根所以不存在点使得 【基础训练】1D 2 B 3_2009.5_【提高训练】 1解：（1）S（2）由mn10，得m10n代入（1），当时，S最大（3）过C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F由BDCDCA，根据平行线等分线段定理得OEEFFA又OA3m，OE2m，OFm可设C、D两点坐标分别为C（2m，y1），D（m，y2）又C、D在反比例函数的图像上，C（