第三单元三角形教材解读.doc

第三单元“三角形”教材解读 海宁紫微小学高月琴对几何思维水平研究的专家莱勒等人曾作过这样的一个测试：向学生呈现如下一些图形，问孩子哪两个图形最像？A B C专家认为从小学生几何思维水平的发展看，大致有4个阶段：水平0被认为属于前认知阶段。在这个阶段的儿童，能感觉几何形态，但由于其感觉活动的不足，往往只能注意到对象的形状直观特征的某一部分。例如，有的儿童可能会区分直线图形和曲线图形，但对于同类图形（如正方形和平行四边形）不能正确区分，因此，面对一个给定的图形，他们常常不能重构一个与之性质相同的图形。对处于水平0的学生来说，他们的思维特征就是依赖对象的具体想像或自己的触觉刺激，建立在“形状相同”这样的等级之上。水平1被认为属于直观化阶段。在这个阶段的儿童，往往按照外观来识别图形，或者说只能建立一些关于“形状”的抽象，而并不关心图形的几何性质或一类图形的本质特征。他们的思维以知觉为主，因为他们可能会区别一些图形，但并不依据这些图形的性质，而是依据这些图形的外观与形状。因此，当两个图形看起来相同时，他们就会认为这两个图形是相同的。所以，他们在对一群对象进行分类时，更多的注意这些对象“具有什么样的形状”，而不是这些对象具体有什么样的性质特征。例如，这个阶段的儿童可能会区分矩形和三角形，是因为“矩形像门，而三角形不像门”，但是，他们可能不能区分正方形和菱形，认为他们都是“方的，像手帕”，所以他们是“相等”的。又如，他们无法区分二维和三维的图形，他们会认为“长方形”和“长方体”的形状是一样的。水平2被认为属于描述/分析阶段。在这个阶段的儿童，能通过观察、测量、搭建或绘画等活动，经验地建立图形的性质，并用日常生活的经验用语将这些性质描述出来，从而能将这些性质与一类图形建立联系。这时，图形的视觉特征有可能被单独感知，并且有可能将其联系到某一个文字的标记上，通过对直观特征的反思，从而能通过图形的性质来识别图形并确定图形的特征，还能用构造图形的路径来思考二维图形。例如，这个阶段的学生看到各种形态的三角形，都能准确的识别，而不管这些三角形在形状上有多大的差异。但是，处于水平2的学生，他们对图形的分类依据一定的自己理解的性质，但不能在不同性质之间构建某种联系，所以往往还不能识别两类图形之间的关系。因此，让他们理解正方形就是特殊的长方形，甚至去理解长方形就是特殊的平行四边形等，可能都是比较困难的。水平3被认为属于抽象/关联阶段。在这个阶段的儿童，已经开始能形成抽象的定义，区分概念的必要条件和充分条件，开始注意到不同图形性质之间的关系，因而能分层次地将图形进行分类，并对这些类别进行非形式化的论证。同时，这个水平阶段的儿童，开始能依据图形的性质将图形进行组合或分解，他们能进行建立在操作性实验基础上的推论的空间思维活动。例如，他们能从长方形的特征出发，将一个平行四边形，通过自己的操作活动转化为一个长方形，从而推导出平行四边形的面积计算方法。又如，他们能理解任何一个四边形都可以被重组为两个三角形，就能从三角形的内角和是180度推导出四边形的内角和是360度。此外，随着儿童空间透视能力的发展，他们开始获得不同纬度图形的识别，能知道“长方形”和“长方体”之间的联系与区别，因为他们开始学会依据“面”这个元素来观察、认识三维图形的特征。专家调查认为处于水平1的学生会认为是B和C两个图形最像，并说明“B除了里面稍微有些弯以外，它和C看起来是相同的”，可见这样的学生注意到的是图形的直观方面；而有的学生会选择图形A和B，因为他们认为这两个图形都有四条边。显然，这样的思考已经开始倾向于忽视图形形状的直观因素，而凸现图形形状的性质因素。以上的分析说明儿童形成空间概念有一个逐步发展的渐进过程，而这个过程与儿童空间思维水平发展的阶段性相关系，三角形的教学就必须符合儿童这个认知发展的规律。下面我们来一起分析孩子们对三角形认识的过程。学龄前儿童可能对于“三角形”已经获得了“三角”这样的初步的感性认识，但并能说明真正形成对图形的直观特征的认识。到了一、二年级，就有可能通过自己的观察或操作，真正建立关于“三角形”形状特征的认识，即能用“三条边围起来”这样的直观特征来辨识图形。到了稍高的年级，儿童可能开始去逐渐获得“三角形”在性质方面的认识，并在多层次分类的基础上，去认识不同图形的性质之间的关系。这时，儿童才可能真正建立了关于“三角形”的概念。简单的说，一三年级学生对三角形的认识只是一种直观经验建立阶段，四六年级应该是提升直观经验，进行数学思考阶段。可见，教学组织中真正要把握的，首先是要能清楚在儿童的某个年段安排的几何知识的学习目标究竟如何定位？其次才去思考将通过怎样的途径或策略来获得之个学习的目标的实现？因此，今天我交流的课题就是提升直观经验，进行数学思考 “三角形”单元编排解读。 一、本单元教学内容. 二、教学目标1、通过观察、操作和实验探索等活动，使学生认识三角形的特性，知道三角形任意两边之和大于第三边以及三角形的内角和是180。2、通过分类、操作活动，使学生认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形，知道这些三角形的特点并能够辨认和区别它们。3、联系生活实际并通过拼摆、设计等活动，使学生进一步感受三角形的特征及三角形与四边形的联系，感受数学的转化思想，感受数学与生活的联系，学会欣赏数学美。4、使学生在探索图形的特征、图形的变换以及图形的设计活动中进一步发展空间观念，提高观察能力和动手操作能力。三、教学建议 下面我具体谈谈在每一课的教学中如何提升直观经验，进行数学思考。第一课时三角形的特性。书本编排：（1）情境图。教材提供了一幅三角形在生活中应用的直观图，目的是让学生联系生活实际思考并说一说“哪些物体上有三角形？”激发学生学习三角形的兴趣，而且引起学生对三角形及其在生活的作用的思考。（2）例1，有关三角形定义的教学。在“画三角形”的操作活动中进一步感知三角形的属性，抽象出概念。在已学的垂直概念的基础上，引入了三角形的底和高。最后，教材说明为了便于表述，如何用字母表示三角形。（3）例2，三角形的稳定性，在生活中有着广泛的应用。让学生对三角形有更为全面和深入的认识。设计思路是“情景、问题实验、解释特性应用”。我的教学设计:（一）、直奔主题，唤起经验。1、出示“三角形”三个字，今天我们就一起研究三角形。 2、看到这三个字，你脑中会浮现出什么？（充分唤起学生对三角形已有的经验） 3、出示生活中各种三角形的图片。（充分感受三角形在生活中的作用） （二）抽象概念，总结经验。1、画一个你喜欢的三角形。2、展示各种三角形，观察各种三角形的相同点。 3、进行概括，什么是三角形？（在学生的交流中，老师和学生不断从反例中批驳，进而不断完善三角形的概念。）请看视频。 如：生说三条边组成的图形叫三角形，老师马上出示： 生说三个角组成的图形叫三角形，老师马上出示：（这一学段的学生已经积累了一些有关“空间与图形”的知识和经验，形成了一定程度的空间感。他们对周围事物的感知和理解的能力以及探索图形及其关系的愿望不断提高,具备了一定的抽象思维能力，可以在比较抽象的水平上认识图形，进行探索。因此，本册对三角形认识的教学目标与第一学段“获得对简单平面图形的直观经验”有所不同，应使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识三角形。） 4、三角形的名称。 三角形的表示，三角形的高和底。(创设便于数学交流情景和实例来介绍名称，效果要好) （三）感悟特性，提升经验。1、经验操作。出示一个三角形木架和平行四边形木架，让学生拉一拉。2、 理性思考。出示四根小棒搭一搭平行四边形，再出示三根小棒搭一搭三角形，比较你发现了什么？案例1：“老师，我发现有的三角形没有稳定性！” 师：同学们想体验一下三角形的稳定性吗？ 生（齐）：想！ 师：在每张课桌的抽屉里各藏了一个三角形和四边形木架，请拿出来，同座之间相互拉一拉。图1大家正玩得高兴，突然一位学生叫起来：“老师，我发现有的三角形没有稳定性！”兴奋的叫声几乎吸引了所有人的目光。只见学生手中拿着由四根小棒钉成的木架（如下图）： “三角形具有稳定性。学生手上的木架是三角形的。所以它应具有稳定性。”这似乎是一个严密的三段论。可事实上，学生手上的三角形木架却不稳定。这该如何解释呢？ 案例2：“这个四边形车架是铁的，所以它也有稳定性。” 师：三角形的稳定性在生活中有着广泛的应用，如自行车中部的车架就是三角形的（出示图片）。 一个学生嘀咕：“那好像不是三角形的。” “对，不是三角形，是四边形！”一些学生响应。“这个车架虽然是四边形，但它是铁的，也有稳定性。”又一个学生补充道。对于“三角形稳定性”，教材中是这样描述的：“用三根木条钉成一个三角形，用力拉这个三角形，这个三角形的形状不会改变。可见，三角形具有稳定性。”同理，用四根钢管焊成一个四边形（车架），用力拉这个四边形，这个四边形的形状不会改变。可见，四边形也就具有稳定性了。但是，四边形怎么会具有稳定性呢？看法：导致上述矛盾的主要原因之一，我们将“三角形”与“三角形物体”混为一谈：稳定性是三角形的特性，它有时在某些三角形物体身上表现为稳固、不易变形，但这并不说明所有三角形物体都很稳固、不易变形，更不说明不易变形的物体就具有稳定性。如案例1中，对于“三根小棒围成的三角形”这个“图形”来说具有稳定性，但对于四根小棒围成的三角形木架这一“物体”来说，它却容易变形。再如，四根钢管围成四边形“车架”虽不易变形，但它并不代表“四边形”就具有稳定性。从这个角度看，教材中关于三角形稳定性的描述似乎有以“物”代“形”的嫌疑。主要原因之二，在于学生将生活中的“稳定”与三角形稳定性的“稳定”混为一谈。生活中，将一根木棒插入地面，使劲儿摇它，它不动，我们说这根木棍很稳定，显然此“稳定”并非三角形稳定性之“稳定”。 认真推敲上述两类分析，再结合自己的想法，笔者认为，上述矛盾的根本原因在于老师们对数学教学生活化、活动化的误解，导致了对生活经验负面干扰的忽视和对数学自身科学性、严密性的弱视。这在学校的观摩课中明显表现为，几乎所有上课老师的课堂中都出现了相似的环节：同桌两人兴奋地拉扯着三角形或四边形，发现“三角形木架不管怎么使劲儿拉，都不变形，而四边形木架不费吹灰之力，就变形了”，于是学生自然地归纳出“三角形具有稳定性，四边形容易变形”。热闹的活动、明显的对比，学生学得高兴，印象也很深刻。然而热闹之后再思考，却发现学生“深刻的印象”其实只停留在使劲“拉”上四根木棍围成的三角形因为“拉”得动，所以“不”具稳定性；自行车车架虽是四边形，但它是铁的，“拉”不动，所以就“具有”稳定性。其实，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”。教材上的描述则显得亲切、形象，与生活十分贴近。长期以来，数学教学一直存在严重脱离实际的弊病。“中国乃至世界各国历次数学教育改革一直想解决好此问题，然而结果始终不尽如人意。”实施新课程以来，有人再次提出了“数学教学生活化”、“数学教学活动化”、“学校数学应向生活数学回归”等口号，生活、活动成为数学课程改革中的两个关键词。然而，生活与数学的关系怎能用一个简单的“回归”就可以概括！首先，生活中获得的各种经历、体验，未必就恰好能为抽象的数学概念和知识提供适切的基础，不仅如此，它还可能包括许多干扰因素。其次，“生活数学”与“学校数学”之间存在着本质的区别。“生活数学”是学生在日常生活中自然积淀、自由生成的“纯经验”型数学信息，它具有个体性、随意性和直接性。而学校数学则是学生在学校中，通过有目的、有计划的学习获得的数学信息，它具有社会性、计划性、抽象性和形式化特征。 因此，笔者认为数学应该与生活经验建立起联系，但必须注意，在“生活化”的过程中，要切实处理好生活的随意性与数学的严谨性、抽象性之间的关系，防止数学内涵的流失。生活化的最终目的还是要实现“形式化”思维的提升。正如香港有的学者指出的，“数学教学的生活化直接导致了学生思维的卡通化、浅表化”，我们的学校数学教学当努力促进学生由“卡通思维”向“形式思维”的有效过渡。第二课时三角形边的关系任意两边的和大于第三边。教材的编排：通过学生熟悉的生活实例创设问题情境，引发学生对三角形边的关系的思考。然后让学生动手实验，探究规律。编者的意图是显而易见的：让学生生活问题数学化思考核试验探究过程，不仅可以使学生积累数学活动经验，而且在向学生渗透科学探究方法的同时，培养其发现规律的能力。这样的编写，给来使的教指明了方向。但站在学生的角度，我会这样想：这个情景图能使学生产生探究三角形的边的关系欲望吗？为什么要我用这三组小棒为三角形？扔出一个肉包子，狗都会直线跑过去吃，为什么？两点之间线段最短。这是一条数学公理。学生有生活经验，自然就很快地理解。虽然在活动之后老师可以告诉学生，但是学生的探究活动很可能成为机械执行教师指令的过程。那么怎样从学生的实际出发设计教学问题、组织教学呢？ 案例一（朱国荣）：一、复习导入，提出问题1、复习、回顾三角形的特征。师（在黑板上画一个三角形）：我们已经认识了三角形，谁来说一说三角形有什么特点？生1：三角形有三条边、三个角、三个顶点。生2：三角形具有稳定性。生3：三角形是由三条线段围成的图形。2、操作：用三条线段围成一个三角形。（1）指名学生在实物投影仪上操作。师：三角形是由三条线段围成的，如果把一根吸管看作一条线段，你能把这三根吸管（注：长度各不一样）围成一个三角形吗？（指名操作，强调每两条线段的端点要相连）（2）集体操作。师：在老师发给大家的信封里有三根吸管（注：长度一样），你们能把它围成一个三角形吗？请同桌合作试一试。（同桌合作操作，发现都能围成）3、提出要研究的问题。师：通过刚才的操作，你们有什么发现？生4：我发现三条线段都能围成一个三角形。（教师板书：三条线段能围成一个三角形）生5：我反对。如果这三条线段不相等，是不行的！生6：我认为三条一样长的线段一定能围成一个三角形。师：那么，任意长度的三条线段一定能围成一个三角形吗？生：不一定。师：“不一定”是什么意思？生7：“不一定”的意思就是有的能，有的不能，有的不能确定。教师小结，完成如下板书：三条线段能围成一个三角形吗？能不一定不能师：还有不能围成一个三角形的三条线段吗？你们找到过吗？二、展开探索，解决问题1、明确任务。师：这是一根吸管，如果把它剪成三段，按照你们的意见，有的能围成三角形，有的不能。现在老师要求你们把这根吸管剪成三段，要使这三段不能围成一个三角形，能行吗？2、动手操作，寻找不能围成三角形的三条线段。师：先不要急于动剪刀，想一想，怎样剪就一定围不成？（学生思考，然后动手把吸管剪成三段，并试着围一围，检验是否真的围不成三角形）3、展示。（1）展示围不成三角形的线段。先请一位学生展示剪下来的三条线段，然后自己围一围，发现围不成；再请一位学生展示，并请另一位学生操作，发现也围不成。（2）请学生介绍围不成三角形的经验。生1：我先剪一条长的和一条短的，然后把这条短的再剪成两段。生2：这三条线段里面有一条要长一点。生3：这三条线段里面有一条要特别长。师：什么叫“特别长”？生3：就是比另外两条加起来还长。师：他说的是什么意思？谁听懂了？生4：他的意思就是，最长的这一条线段要比另两条短的加起来还长。（请不能围成三角形的学生比较一下，看看是否也符合这样的特点，然后教师板书：较短两条线段的和比第三条短）（3）师：还有一些同学剪下的三条线段能围成三角形，想一想，这是什么原因？生5：他们剪成的三条线段中，较短两条的和比第三条长。生6：我剪的三条线段差不多长，没有一条特别长，所以能围成三角形。（师板书：较短两条线段的和比第三条长）生7：我把较短两条线段拼起来，和第三条一样长，也能围成一个三角形。（一石激起千层浪！教室里一下子安静了下来，一会儿，几只小手迅速举了起来）生8：如果较短两条线段的和等于第三条，是不能围成三角形的。生9：如果较短两条线段的和与第三条相等，那么把两条较短的线段接起来的话，就重叠了。（两位学生的发言并没有让生7信服，他主动要求在投影仪上展示，结果发现确实“围成”了一个三角形。这时，学生开始纷纷议论起来）生10：我们这些吸管太粗了，如果很细很细，你就围不成了。看着有不少学生依然将信将疑，教师通过演示多媒体动画进行验证，使学生直观形象地看到“较短两条线段的和与第三条相等，不能围成一个三角形”（教师补充板书）4、小结。师（指黑板上画好的那个三角形）：如果用字母a、b、c分别表示三角形的三条边，想一想，这三条边的长度有什么关系？你们能用字母式表示吗？生1：a+bc。生2：a +cb，b+ca。师：通过同学们的探索，我们不但可以肯定“三角形较短两边的和比第三边长”，还可以说“三角形任意两边的和大于第三边”（板书）。三、应用、拓展1、 判断每组小棒能否围成三角形，即书本P86练习十四第4题，独立完成后集体修正。2、 呈现主题图，引导学生应用三角形的三边关系解释现实问题。3、 拓展延伸：王老师要取三根小棒（整厘米数）围成一个三角形。他已经取了两根，第一根长4厘米，第二根长7厘米。第三根取几厘米，就一定能围成一个三角形？案例二（潘小明）：1、创设情境：王师傅想钉一个三角形木架子，他已经找到了3厘米和7厘米长的两根木条。他找的第三根木条长几厘米，就能围成一个三角形？2、请学生先用小棒试着搭一搭三角形，研究哪些长度的小棒能与3厘米、7厘米长的小棒组成一个三角形，哪些长度的小棒不能组成一个三角形，并记录下来，找一找有什么规律。3、学生活动：操作、记录、交流。4、反馈结果。能组成三角形：3、7、5； 3、7、6； 3、7、7； 3、7、8； 3、7、9不能组成三角形：3、7、1； 3、7、2； 3、7、3； 3、7、4； 3、7、10；3、7、11； 3、7、12； 3、7、13； 3、7、145、引导学生观察、分析，引发学生思维冲突，初步发现“三角形任意两边的和大于第三边”的规律。6、同桌两位学生一人画一个三角形，另外一人任选三根小棒搭一个三角形。然后算一算，进一步研究三角形的三边关系，验证初步发现的规律。7、小结归纳结论，引导学生用字母表示。案例三（徐老师）：1、 出示两组小棒（一组能搭成，一组不能搭成。）让学生尝试。2、 请学生从5根小棒中选3根搭三角形，猜想哪些线段能搭成三角形，然后通过实践验证，最后得出三条边的关系。（教师为学生准备的操作材料是5根小棒：2厘米、3厘米、4厘米、6厘米、8厘米。）3、 学生活动，操作探究。用3根小棒摆三角形，并把结果填在下面的记载表中。三条边的长度（厘米）能否组成三角形你发现了什么2、3、44、初步反馈结果。能组成三角形：2、3、4； 3、4、6； 4、6、8； 3、6、8不能组成三角形：2、3、6； 2、3、8； 2、4、6； 2、4、8； 2、6、8；3、4、85、小组交流，说说发现了什么规律。6、全班交流，由小组代表交流发现的结论，并举例说明结论。第三课时：三角形的分类。教材编排：（1）分两个层次编排。第一层次，按角分，认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；第二层次，按边分，认识特殊三角形：等腰三角形和等边三角形。（2）用集合图直观地表示出，三角形整个集合与锐角三角形、直角三角形、钝角三角形之间整体与部分的关系。（3）三角形按边分类，教材不强调分成了几类，着重引导学生认识等腰三角形、等边三角形边和角的特征。锐角三角形 三角形钝角三角形直角三角形等腰三角形等边三角形第四课时：三角形内角和为180度。教材的编排：（1）先通过让学生度量不同类型的三角形的内角度数，并分别计算出它们的和，使学生初步感知到它们的内角和是180。在此基础上，教材再提出用实验的方法加以验证。（2）实验的方法是把一个三角形的三个角剪下来，引导学生拼成一个平角来加以验证，并概括三角形的内角和是180。（3）“做一做”应用这一结论解决问题。教学设计参考一：一、引入1、在钉子板上围出不同的三角形？汇报围的是什么三角形。2、思考并尝试围有两个直角或有两个钝角的三角形。3、质疑：为什么围不出？这跟什么有关？4、揭题：三角形的内角和二、实践活动，探究新知1、分组探究2、汇报交流展示3、小结，解决课前的疑问：两个直角或两个钝角为什么围不成三角形？三、应用提高1、猜