新课标高考下数列探究题的类型与解决策略.doc

新课标下高考数列探究题类型与解决策略涟水县第一中学 左昌茂【关键字】：数列、探究、策略【摘要】：数列探究题知识覆盖面广，综合性强，方法灵活，题意新颖，是高考的一种常见题型。主要有函数型、比较型、存在型、归纳型、分类讨论型和新定义型。新课标要求培养学生的研究性学习能力、创新能力、理解和应用能力等。随着新课标的深入展开，高考试题的命题意向、内容、题型、结构都要充分体现新课标和考试大纲的精神。作为考查这些能力的高考，数列作为压轴题首当其选。更因探究性问题的知识覆盖面广，综合性强，方法灵活，题意新颖，从而使数列探究性命题成为高考的一种常见题型一： 函数型问题：此类问题以数列为背景，转化为函数恒成立问题，进而转化为函数单调性求最值，解决函数问题是本类题型的关键。例1、设函数，数列满足求 (1)数列的通项公式;(2)数列有没有最小项,若有求出此项和相应的项数；若无说明理由.解：(1)可化为解得： 。二、比较型问题解决此类题型通常要利用作差法或者作商法把数列问题转化为不等式或函数问题，利用自然数的相关性质或函数性质进行解决。例2、已知数列的前n项和（n为正整数）。（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（）令，试比较与的大小，并予以证明。（09湖北理19）.解：（I）在中，令n=1，可得，即当时，. . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是.(II)由（I）得，所以由-得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 于是确定的大小关系等价于比较的大小当当时综上所述，当，当时三、存在型问题存在性问题的探究解决策略：通常是在给出的探究条件下，先假设所探求的对象存在或命题成立，然后通过计算、推理、或者归纳，若由此得到一个矛盾的结论，则假设不成立，即探究的问题不存在；若推不出矛盾，就得到肯定的结论，即得到存在的结果。例3. 已知是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列（1）若 ，是否存在，有？请说明理由；（2）若（a、q为常数，且aq0）对任意m存在k，有，试求a、q满足的充要条件；（3）若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项，请证明. （.09上海文）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解】（1）由得，整理后，可得、，为整数不存在、，使等式成立。（2）当时，则即，其中是大于等于的整数反之当时，其中是大于等于的整数，则，显然，其中、满足的充要条件是，其中是大于等于的整数（3）设当为偶数时，式左边为偶数，右边为奇数，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当为偶数时，式不成立。由式得，整理得当时，符合题意。 当，为奇数时， 由，得当为奇数时，此时，一定有和使上式一定成立。当为奇数时，命题都成立四、归纳型问题归纳型问题通常是给出数列的部分项，要求推出数列普遍性结论。解决此类问题通常从题设条件出发，通过试验、观察、分析、猜想，探索出一般规律，然后对归纳、猜想的结论进行证明。例4:已知数列满足， .试判断数列的单调性，并证明你的结论；()证明： (09陕西理)。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 证（1）由由猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么 =即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，结论成立当时，易知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 五、分类讨论型此类问题的题设中包含多种可能情况或题设中含有在某一范围内变化的参数，导致探索的结果有多种可能。解决的一般方法是:根据题设提供的信息，采用分类讨论综合求解、例5 、已知数列an的前n项为和Sn，点在直线上.数列bn满足，前9项和为153. （）求数列an、bn的通项公式； （）设，数列cn的前n和为Tn，求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值. （）设，问是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试).解：（）由题意，得 故当时，当n = 1时，而当n = 1时，n + 5 = 6，所以， 又，所以bn为等差数列，于是而 因此， （） 所以， 7分由于，因此Tn单调递增，故令 （）当m为奇数时，m + 15为偶数.此时，所以 当m为偶数时，m + 15为奇数.此时，所以（舍去）. 综上，存在唯一正整数m =11，使得成立.六、新定义型问题解决此类题型通常要合理地分析题中所给定义，仔细捕捉问题中的每个信息，准确理解定义的内涵与外延，把直觉思维与逻辑推理相结合，准确地找准答题的切入点。例6、对于数列若存在常数M0,对任意的，恒有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则称数列为B-数列【1】首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;【2】设是数列的前项和，给出下列两组论断；A组：数列是B-数列 数列不是B-数列B组：数列是B-数列 数列不是B-数列请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；【3】 若数列都是数列，证明：数列也是数列。（09湖南理21）解（1）设满足题设的等比数列为,则，于是 因此- +-+-=因为所以即w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。（2）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列 此命题为假命题。 事实上，设，易知数列是B-数列，但 由的任意性知，数列是B-数列此命题为假。命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列此命题为真命题事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 即。于是 所以数列是B-数列。（III）若数列 是数列，则存在正数，对任意的有 注意到 同理： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 记