高一数学学思想与方法.doc

拓展课程 课本中的数学思想与方法 高一第一学期第一课 集合中蕴含的数学思想与方法（2课时）【教学目标与要求】1， 理解和掌握有关整数集问题中的枚举探究法2， 理解和掌握数形结合思想和分类讨论思想在集合中的应用3， 理解和掌握检验与验证思想【教学过程】1， 对于有关整数集问题中的“枚举”探究法（含向后原则与方法）。例1：若集合，则A中的元素是_。解1：（枚举向后原则）有解2：理解整除意义：知，即例2：已知集合，判断M与N的关系，并说明理由。解1：枚举知解2：理解集合相等的含义：总有反之，设，若，总有，故例3：写出集合的所有子集。解：（按元素个数和元素向后的顺序），略写出。2， 数形结合思想在集合中，图示法即韦恩图与数轴的应用。例4，若，则（ A ）A， B， C， D，例5：已知全集，且,若，则下列结论中正确的是（ B ）A， B， C， D，说明：例4，例5说明了：韦恩图适合于抽象集合或元素个数有限的集合问题的研究。例6：设全集,已知，求解：利用数轴有：例7：若，当时，a的取值范围是 a4 ;当时，a的取值范围是 。说明：对于实数集或其子集的集合问题，利用数轴能直观地反映出其本质。例8：设集合，且，则a= -2 ,b= 4 解：借助数轴，有a= -2,b= 43， 集合中的“分类讨论思想”。例9：已知且有，求a的值。解：知,由即方程无解、有2解、有3解，例10：已知且有，求m,n的值。解：由题意知：或解得：（舍）， 或 例11：已知。解1：枚举知中元素为5,17,29，归纳有解2：（讨论k被3整除的情况）对于集合A，其元素为，则当当当综上：注：有时各种思想在交替使用中。4， 检验与验证思想。由于集合的互异性等性质，在考虑问题时，无法判断是否存在，因此对集合的某些问题要加以检验与验证，如例10中，m=0,n=1例12：已知，且有，求B解：经检验：只有时满足，第二课 命题和充要条件中蕴含的数学思想与方法（1课时）【教学目标与要求】1， 理解和掌握命题中“等价转换”与“举反例”的思想与方法。2， 理解和掌握充要条件中的“化归”与“等价代换”的思想与方法。【教学过程】1， 命题形式中的“等价转换”与“举反例”的思想方法。原命题与它的逆否命题是等价命题，它们同真或同假。举反例是证明一个命题为假命题的行之有效的基本方法。例1：“若x5，则x0，b0, ,比较的大小解：（讨论a b0与b a0）当a b0时， 当b a0时，综上，例2：已知函数，当m0时，判断a,b,c的大小关系。分析：代入特殊值，通过试算有abc解：， 则故有：当且仅当时，两处不等号同时取等号。2， 与中间量比较的方法。比大小，最基本最常用的是作差法，有时有一定的困难，可以根据题设条件将这两个数式与第三个数式（姑且称为中间量）比较，这个中间量当然要选得适当，即运用了不等式的传递性来比较。例3：如果那么M,N,P,Q从小到大的排列为_解：又例4：已知解：由只要比较与和与的大小即可再比较故三，借助数轴，直观刻画两实数的大小。如在例4中：解：由在数轴上对应的点关于原点对称，它们在数轴上的位置如图：例5：已知a0且，比较四个数的大小。解：由已知有：在数轴上的位置如图：四，分类讨论的思想。如在例1中，为什么要分和两种情况讨论（确定与的符号，从而得到两数式的大小关系），这种讨论标准有些是根据题意要求确定（如为了判断a-b的符号），有些是由其基本概念确定的。例6：若，比较的大小。解：又若n为奇数，则得，即若n为偶数，则得综上，当n为奇数时，；当n为偶数时，说明：为什么讨论n的奇偶性。例7：“若”命题正确否？若正确，请给予证明；若不正确，请说明理由。如果改为“若”则命题是否正确，为什么？你能得到一个更一般化的结论吗？解：命题“若”正确。这是因为：由，命题“若”不正确。这是因为：当时，不成立，所以该命题不正确。更一般的结论是：若n为奇数，如果若n为偶数，如果。第四课 一元二次不等式解法中蕴含的数学思想与方法（1课时）【教学目标与要求】有关函数和方程（不等式）的思想、分类讨论的思路和数形结合的思想。一，函数和方程（不等式）的思想解不等式的问题可以转化为解方程及函数图像与x轴的交点问题（或者是两个函数图像交点的问题，然后根据题意判断所求解的区间）这说明（二次）函数、方程、不等式三者之间的关系是密不可分的。例1：若关于x的不等式（1）其解集为，求实数k的值；（2）其解集为，求实数k的值；（3）其解集为R，求实数k的取值范围；（4）其解集为，求实数k的取值范围。解：（1）方程的两根是-3，-2且k0, （2）方程有相等的根 （3）（4）今后将有更多的体现例2：设是方程的解，求证：解：可转化为，是函数的图像交点的横坐标，图形知二，分类讨论的思想。明确分类的原因和分类的标准，分类时是一个层次一个层次的分。例3：解关于x的不等式分析：分三个层次分类，m是否为0（两种类型不等式）/m正负（开口）/两根大小解：当m=0时，不等式为当时，不等式可化为；当时，则有解集为；当时，得，即；当时，解集为；当时，解集为；时，解集为综上：时，解集为；m=0时，；时，解集为；时，解集为；时，解集为。例4：关于x的不等式组 的整数集是 ，求实数a的取值范围。解：不等式的解集是（*）（一般情况下分类，即时；时；时）（借助数轴），故a的取值范围是说明：该题仔细分析避免了分类讨论，使解题过程非常简洁。分类讨论的目的是妥善处理解决问题过程中所遇到的障碍，在无障碍时不要提前分类。非要分类时，也要想一想为什么要分类？分类解决了什么问题？按照什么标准和原则分类的？三，数形结合的思想一元二次不等式的解的情况就是根据二次函数的图像与x轴的交点的情况求得，体现了数形结合的思想方法可帮助我们很好地理解和记忆。例5：对任意，求证：，试问你能用几种方法证明之。证1：作差 证2：转证：函数的图像恒在x轴上方，恒成立，故证3：其解集是由的图像在图像上方的部分的横坐标所组成的，由数形直观得到恒有成立。第五课 其他不等式解法中蕴含的数学思想与方法（1课时）【教学目标与要求】主要是等价转化的思想及分类讨论的思想和数形结合的思想【教学过程】不等式的解法时刻体现同解变形，实施等价转化的思想方法，化高次为低次、化分式为整式、化绝对值问题为非绝对值问题等等。例1：解下列不等式（1）（2）（3）解：（1）数轴标根法有： （2）等价于（3）等价于例2：已知不等式，求实数a,b的值。解：均恒正，可以去分母，则原不等式等价于：，其解集为等价于，解得：例3：已知不等式，求a的值。解：两边平方，原不等式等价于 当与条件不符，舍去。 当,不符。 当，由题意知说明：也可以讨论符号去绝对值，均应在等价转化的前提下解决。例4：已知不等式，求实数a,b的值。解1：由显然当，由题意知当，由题意知综上，或解2：由则有由第六课 不等式证明中蕴含的数学思想与方法（1课时）【教学目标与要求】重点体验比较法和分析综合法这两种数学思想方法。【教学过程】一，比较法比较法是不等式证明的最基本、最常用、最重要的方法之一。例1：已知，求证：证明：例2：已知，求证：证明：二，分析综合法分析法的本质是执果索因，即探究使结论成立的充分条件，它的重要性在于通过分拆帮助我们找到证明不等式的途径。分析法作为证明的格式，书写时要求特别严格，一般表达的方式是“欲证，即证”综合法的本质是“由因执果”。“执果索因”和“由因执果”就成为寻找这一逻辑关系的两种基本思维途径，这就是不等式证明的分析法与综合法。一般来说，这种方法“合作”，即所谓题设条件与结论“两头凑”的方法，会取得更好的效果我们把它称为“分析综合法”。有时用分析法分析的问题常用综合法来描述，就是说用“分析法”帮助我