大学解析几何

100 空间解析几何空间解析几何 基本知识基本知识 一 向量 1 已知空间中任意两点和 则向量 1111 zyxM 2222 zyxM 12212121 M Mxx yy zz 2 已知向量 则 321 aaaa 321 bbbb 1 向量的模为 a 2 3 2 2 2 1 aaaa 2 332211 babababa 3 321 aaaa 3 向量的内积 ba 1 bababa cos 2 332211 babababa 其中为向量的夹角 且 ba ba ba 0 注意 利用向量的内积可求直线与直线的夹角 直线与平面的夹角 平面与平面的夹角 4 向量的外积 遵循右手原则 且 ba aba bba 321 321 bbb aaa kji ba 5 1 3 3 2 2 1 1 b a b a b a baba 2 00 332211 bababababa 101 二 平面 1 平面的点法式方程 已知平面过点 且法向量为 则平面方程为 000 zyxP CBAn 0 000 zzCyyBxxA 注意 法向量为垂直于平面 CBAn 2 平面的一般方程 其中法向量为0 DCzByAx CBAn 3 1 平面过原点 0 0 0 0 CzByAx 2 平面与轴平行 与面垂直 法向量垂直于轴xyoz nx0 DCzBy 如果 则平面过轴 0 Dx 平面与轴平行 与面垂直 法向量垂直于轴yxoz ny0 DCzAx 如果 则平面过轴 0 Dy 平面与轴平行 与面垂直 法向量垂直于轴zxoy nz0 DByAx 如果 则平面过轴 0 Dz 3 平面与面平行法向量垂直于面xoy nxoy0 DCz 平面与面平行法向量垂直于面xoz nxoz0 DBy 平面与面平行法向量垂直于面yoz nyoz0 DAx 注意 法向量的表示 三 直线 1 直线的对称式方程 过点且方向向量为直线方程 000 zyxP 321 vvvv 3 0 2 0 1 0 v zz v yy v xx 注意 方向向量和直线平行 321 vvvv 2 直线的一般方程 102 注意该直线为平面和 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 0 1111 DzCyBxA 的交线0 2222 DzCyBxA 3 直线的参数方程 tvzz tvyy tvxx 30 20 10 4 1 方向向量 直线垂直于轴 0 32 vvv x 2 方向向量 直线垂直于轴 0 31 vvv y 3 方向向量 直线垂直于轴 0 21 vvv z 5 1 方向向量 直线垂直于面 0 0 3 vv xoy 2 方向向量 直线垂直于面 0 0 2 vv xoz 3 方向向量 直线垂直于面 0 0 1 vv yoz 应用应用 一 柱面一 柱面 1 设柱面的准线方程为 设柱面的准线方程为 母线的方向向量 母线的方向向量 求柱面方程 求柱面方程 0 0 2 1 zyxf zyxf 321 vvvv 方法 在准线上任取一点 则过点的母线为 111 zyxM 111 zyxM 3 1 2 1 1 1 v zz v yy v xx 又因为在准线上 故 111 zyxM 1 2 0 1111 zyxf0 1112 zyxf 令 3 t v zz v yy v xx 3 1 2 1 1 1 由 1 2 3 消去求出 再把 代入求出关于的方程 111 zyxttzyx 则该方程为所求柱面方程0 zyxF 例 1 柱面的准线为 222 1 222 222 zyx zyx 而母线的方向为 1 0 1 v 求这柱面方 103 程 解 在柱面的准线上任取一点 则过点的母线为 111 zyxM 111 zyxM 101 111 zzyyxx 即 1 tzzyytxx 111 又因为在准线上 故 2 3 111 zyxM1 2 1 2 1 2 1 zyx222 2 1 2 1 2 1 zyx 由 1 2 3 得012 222 xzzyx 2 圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹 该距离为圆柱面的半径 圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹 该距离为圆柱面的半径 方法 在圆柱面上任取一点 过点做一平面垂直于对称 0000 zyxM 0000 zyxM 轴 该平面的法向量为对称轴的方向向量 把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和 对称轴的交点 则为圆柱的半径 1111 zyxM 10M M 例 2 已知圆柱面的轴为 2 1 2 1 1 zyx 点 1 M 1 2 1 在此圆柱面上 求这个 圆柱面的方程 解 设圆柱面上任取一点 过点且垂直于轴的平面为 0000 zyxM 0000 zyxM 0 2 2 000 zzyyxx 轴方程的参数式为代入平面方程得tztytx21 21 9 22 000 zyx t 故该平面和轴的交点为 9 4429 9 4429 9 22 000000000 zyxzyxzyx 过点 1 M 1 2 1 和轴垂直的平面和轴的交点为 3 5 3 1 3 1 因为圆柱截面的半径相等 故利用距离公式得 0991818844558 222 zyyzxzxyzyx 注意 也可找圆柱面的准线圆处理注意 也可找圆柱面的准线圆处理 例 3 求以直线 x y z 为对称轴 半径 R 1 的圆柱面方程 解 在圆柱面上任取一点 过点且垂直于轴的平面为 0000 zyxM 0000 zyxM 0 000 zzyyxx 轴方程的参数式为代入平面方程得tztytx 3 000 zyx t 104 故该平面和轴的交点为 M1 3 3 3 000000000 zyxzyxzyx 则的长等于半径 R 1 10M M 故利用距离公式得 1 3 3 3 2000 0 2000 0 2000 0 zyx z zyx y zyx x 即所求方程为9 2 2 2 2 000 2 000 2 000 zyxzyxzyx 二 锥面二 锥面 锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面 这些直线是母线 定点为 顶点 定曲线为准线 1 设锥面的准线为 设锥面的准线为 顶点为 顶点为 求锥面方程 求锥面方程 0 0 2 1 zyxf zyxf 0000 zyxM 方法 在准线上任取一点 则过点的母线为 1111 zyxM 1111 zyxM 1 01 0 01 0 01 0 zz zz yy yy xx xx 又因为在准线上 故 111 zyxM 2 2 0 1111 zyxf0 1112 zyxf 由 1 2 3 消去求出关于的方程 则该方程为所求 111 zyxzyx 0 zyxF 锥面方程 例 1 锥面的顶点在原点 且准线为 cz b y a x 1 2 2 2 2 求这锥面方程 解 在准线上任取一点 则过点的母线为 1111 zyxM 1111 zyxM 111 z z y y x x 又因为在准线上 故且 111 zyxM1 2 2 1 2 2 1 b y a x cz 1 上面三个方程消去得 0 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 111 zyx 105 2 圆锥面 圆锥面 已知圆锥面的顶点已知圆锥面的顶点 对称轴 或轴 的方向向量为 对称轴 或轴 的方向向量为 求圆 求圆 0000 zyxM 321 vvvv 锥面方程锥面方程 方法 在母线上任取一点 则过该点的母线的方向向量为 zyxM 000 zzyyxxn 利用和的夹角不变建立关于的方程 该方程为所求 v nzyx 例 2 求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程 2222 zyxzyx 解 在坐标轴上取三点 则过三点的平面为 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 zyx 故对称轴的方向向量为 一条母线的方向向量为 1 1 1 0 0 1 则母线和对称轴的夹角为 即 cos13010111 3 3 cos 在母线上任取一点 则过该点的母线的方向向量为 zyxM zyxn cos3 222 zyxzyx 所以 2222 zyxzyx 例 3 圆锥面的顶点为 轴垂直于平面 母线和轴成 求圆 3 2 1 0122 zyx 0 30 锥面方程 解 在母线上任取一点 轴的方向向量为 母线的方向向量为 zyxM 1 2 2 3 2 1 zyxn 则 0222 30cos9 3 2 1 3 2 2 1 2 zyxzyx 即 2222 3 27 2 27 1 27 322 4 zyxzyx 三 旋转曲面三 旋转曲面 设旋转曲面的母线方程为设旋转曲面的母线方程为 旋转轴为 旋转轴为 求旋 求旋 0 0 2 1 zyxf zyxf Z zz Y yy X xx 000 转曲面方程转曲面方程 方法 在母线上任取一点 所以过的纬圆方程 1111 zyxM 1111 zyxM 2 01 2 01 2 01 2 0 2 0 2 0 111 0 zzyyxxzzyyxx zzZyyYxxX 106 又因为在母线上 有 1111 zyxM 0 0 1112 1111 zyxf zyxf 由上述四个方程消去的方程为旋转曲面 111 zyx0 zyxF 例 4 求直线 0 1 12 zyx 绕直线l zyx 旋转一周所得的旋转曲面的方程 解 在母线上任取一点 则过的纬圆方程 1111 zyxM 1111 zyxM 2 1 2 1 2 1 222 111 0 zyxzyx zzyyxx 又因为在母线上 有 1111 zyxM 0 1 12 111 zyx 由上述方程消去的方程得 111 zyx9 1 5999 2222 zyxzyx 四 几种特殊的曲面方程四 几种特殊的曲面方程 1 母线平行于坐标轴的柱面方程 母线平行于坐标轴的柱面方程 设柱面的准线是平面上的曲线 则柱面方程为xoy 0 0 z yxf 0 yxf 设柱面的准线是平面上的曲线 则柱面方程为xoz 0 0 y zxg 0 zxg 设柱面的准线是平面上的曲线 则柱面方程为yoz 0 0 x zyh 0 zyh 注意 注意 1 母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母 2 准线为坐标平面内的椭圆 双曲线 抛物线等柱面称为椭圆柱面 双曲线柱 面 抛物线柱面 例求柱面方程 1 准线是 母线平行于轴 0 2 2 x zy x 解 柱面方程为zy2 2 2 准线是 母线平行于轴 3 1 94 2 22 y z yx y 解 柱面方程为 22 4zx 3 准线是 母线平 2 1 994 222 x zyx 行于轴z 107 解 2 x 2 母线在坐标面上 旋转轴是坐标轴的旋转曲面 母线在坐标面上 旋转轴是坐标轴的旋转曲面 设母线是 旋转轴是轴的旋转曲面为 旋转轴是 0 0 z yxf x0 22 zyxf 轴的旋转曲面为y0 22 yzxf 同理可写出其它形式的旋转曲面方程 注意 注意 此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式 且它们的系数相等 例方程是什么曲面 它是由面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的0 22 22 x zy xoy 解 面上的绕轴旋转而成的xoy0 2 2 x y x 3 平行于坐标面的平面和曲面 平行于坐标面的平面和曲面的交线方程的交线方程0 zyxf 平行于面的平面和曲面的交线为xoyhz 0 zyxf hz hyxf0 平行于面的平面和曲面的交线为xozhy 0 zyxf hy zhxf0 平行于面的平面和曲面的交线为yozhx 0 zyxf hx zyhf0 例求曲面和三个坐标面的交线 1 6416 222 zyx 解 0 64 22 z yx 0 6416 22 y zx 0 6416 22 x zy 2 64164 222 zyx 解 注意在面上无交线yoz 3 zyx109 22 解 在面上交于一点xoy 0 0 五 求投影五 求投影 1 求点在平面上的投影 求点到平面的距离 求关于平面的对称点 求点在平面上的投影 求点到平面的距离 求关于平面的对称点 方法 1 过点作直线垂直于平面 该直线的方向向量为平面的法向量 2 求直线和平面的交点 该交点为点在平面上的投影 例 5 1 求点在平面上的投影 1 1 3 A0203 zyx 2 求点到平面的距离 并求该点关于平面的对称点坐标 5 2 1 A010 zyx 108 1 求过直线且与点的距离为 1 的平面方程 062 0223 zyx yx 1 2 1 M 2 求点在直线上的投影 求点到直线的距离 求关于直线的对称点 求点在直线上的投影 求点到直线的距离 求关于直线的对称点 方法 1 过点作平面垂直于直线 该平面的法向量为直线的方向向量 2 求直线和平面的交点 该交点为点在直线上的投影 例 6 1 求点到直线的距离 该点在直线上的投影 0 1 1 A 1 1 0 1 2 2 zyx 2 求点到直线的距离 0 1 1 M 0 0332 yx zy 3 直线在平面上的投影 直线在平面上的投影 方法 方法 1 过直线作平面和已知平面垂直 该平面的法向量为直线的方向向量和已知平 过直线作平面和已知平面垂直 该平面的法向量为直线的方向向量和已知平 面法向量的外积面法向量的外积 2 联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影 联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影 例 7 1 求直线在平面上的投影直线的方程 0923 042 zyx zyx 014 zyx 2 直线在面上的投影为 在面上的投影为 yoz 0 574 x zy xoz 0 0354 y zx 求直线在面上的投影xoy 4 曲线 曲线在坐标面上的投影柱面及投影在坐标面上的投影柱面及投影 0 0 zyxg zyxf 方法 方法 1 消去 消去得得 则 则为曲线在为曲线在面上的投影面上的投影z0 1 yxh 0 0 1 z yxh xoy 2 消去 消去得得 则 则为曲线在为曲线在面上的投影面上的投影x0 2 zyh 0 0 2 x zyh yoz 3 消去 消去得得 则 则为曲线在为曲线在面上的投影面上的投影y0 3 zxh 0 0 3 y zxh xoz 例 1 求球面与平面的交线在面上的投影柱面及投影9 222 zyx1 zxxoy 2 把曲线的方程用母线平行于轴和轴的两个投影柱面方程 zxzy zxzy 1283 442 22 22 xz 表示 解 消去得母线平行于轴的投影柱面方程 消去得母线平行于轴xxzzy4 22 zz 109 的投影柱面方程 因此曲线可表示为04 2 xy 04 4 2 22 xy zzy 五 求平面方程五 求平面方程 1 过直线 过直线的平面方程可设为的平面方程可设为 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 0 22221111 DzCyBxADzCyBxA 如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理 例 1 在过直线的平面中找出一个平面 使原点到它的距离最长 02 04 zyx zyx 2 平面过轴 且与平面的夹角为 求该平面方程OZ0 zy 0 60 两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角 3 求过点和直线的平面方程 1 0 1 M 1 1 0 1 2 2 zyx 4 过直线作平面 使它平行于直线 083 042 zy zx 06 04 zy yx 5 过平面和的交线作切于球面的平面02 yx6324 zyx4 222 zyx 6 求由平面所构成的两面角的平分面方程 0173 0122 yxzx 2 利用点法式求平面方程 利用点法式求平面方程 注意 注意 1 任何垂直于平面的向量 任何垂直于平面的向量均可作为平面的法向量均可作为平面的法向量 n 2 和平面 和平面平行的平面可设为平行的平面可设为0 DCzByAx0 1 DCzByAx 3 如存在两个向量 如存在两个向量 和平面平行 或在平面内 和平面平行 或在平面内 则平 则平 321 aaaa 321 bbbb 面的法向量为面的法向量为 321 321 bbb aaa kji ban 例 1 已知两直线为 110 求过两直线的平面方程 1 1 1 1 1 1 zyx 2 2 1 1 1 3 zyx 2 求过和两点 且垂直于平面的平面 1 3 8 A 2 7 4 B02153 zyx 3 一平面垂直于向量且与坐标面围成的四面体体积为 9 求平面方程 2 1 2 4 已知球面与一通过球心且与直线垂直0642 222 zyxzyx 0 0 zy x 的平面相交 求它们的交线在面上的投影xoy 3 轨迹法求方程 轨迹法求方程 方法 方法 1 设平面上任一一点 设平面上任一一点 2 列出含有 列出含有的方程化简的平面方程的方程化简的平面方程 zyxMzyx 例求由平面和所构成的二面角的平分面的方程013 zyx023 zyx 六 求直线方程六 求直线方程 1 把直线的一般方程化为点向式方程 把直线的一般方程化为点向式方程 方法 已知直线方程为 则该直线的方向向量为 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA 321 222 111 vvv CBA CBA kji v 在直线上任取一点 则直线方程为 000 zyx 3 0 2 0 1 0 v zz v yy v xx 例化直线的一般方程为标准方程 0132 052 zyx zyx 2 根据直线的方向向量求直线方程 根据直线的方向向量求直线方程 例 1 过点 且平行于两相交平面和的 2 1 0 M013 zyx023 zyx 直线方程 2 求过点 且与直线平行的直线方程 0 4 2 M 023 012 zy zx 111 3 求过点 且与平面平行 又与直线 2 0 1 M0643 zyx 垂直的直线方程 14 2 1 3zyx 注意 一直线和两直线垂直 一直线和两平面平行 一直线和一平面平行 和另一直线注意 一直线和两直线垂直 一直线和两平面平行 一直线和一平面平行 和另一直线 垂直均可确定直线的方向向量垂直均可确定直线的方向向量 3 利用直线和直线的位置关系求直线方程 利用直线和直线的位置关系求直线方程 注意 1 两直线平行 则 其中和为直线的 3 3 2 2 1 1 n m n m n m 321 mmm 321 nnn 方向向量 2 两直线和相交 则 3 0 2 0 1 0 m zz m yy m xx 3 1 2 1 1 1 n zz n yy n xx 且0 321 321 010101 nnn mmm zzyyxx 3 3 2 2 1 1 n m n m n m 3 两直线和异面 其中公垂线的 3 0 2 0 1 0 m zz m yy m xx 3 1 2 1 1 1 n zz n yy n xx 方向向量为 则两异面直线的距离为 公垂线 321 321 321 vvv nnn mmm kji v v d 方程为 0 0 321 321 111 321 321 000 vvv nnn zzyyxx vvv mmm zzyyxx 例 1 求通过点且与两直线和都相交的直线 1 1 1 M 321 zyx 4 3 1 2 2 1 zyx 方程 解 设所求直线的方向向量为 已知两直线的方向向量为 且 cba 3 2 1 4 1 2 分别过点 0 0 0 3 2 1 112 则 即 即0321 111 cba 02 cba0412 210 cba 02 cba 故 故bca2 0 2 1 0 cba 所求直线为 2 1 1 1 0 1 zyx 2 已知两异面直线和 求它们的距离与公垂线 0 1 11 zyx 0 1 1 1 1 1 zyx 方程 3 求与直线平行且与下列两直线相交的直线 1 3 7 1 8 2 zyx 和 34 65 xz xz 53 42 yz xz 4 求过点与轴相交 且与已知直线垂直的直线方程 3 2 1 Pz 2 2 3 3 4 zyx 习题习题 1 已知柱面的准线为且 1 母线平行于轴 2 02 25 2 3 1 222 zyx zyx x 母线平行于直线 求柱面方程czyx 2 已知柱面的准线为母线垂直于准线所在的方程 求柱面方程 zx zyx 2 22 3 求过三条平行线的圆柱面方程211 11 zyxzyxzyx 4 求顶点为原点 准线为的锥面方程01 012 2 zyzx 5 顶点为 准线为 求锥面方程 2 1 3 0 1 222 zyxzyx 6 顶点为 轴垂直于平面 且过点 求该圆锥面的方程 4 2 1 022 zyx 1 2 3 7 求下列旋转曲面方程 1 直线绕直线旋转 2 1 1 1 1 1 zyx 2 1 11 zyx 2 直线绕直线旋转 1 1 12 zyx 2 1 11 zyx 113 3 直线绕直线旋转 331 1zyx z 4 曲线绕直线旋转 1 22 2 yx xz z 8 例求曲面和三个坐标面的交线 1 2 3 64164 222 zyxzyx109 22 0164 222 zyx 9 1 求点关于直线的对称点 1 0 2 P 0322 0124 zyx zyx 2 求点到直线的距离 1 3 2 A 017223 0322 zyx zyx 10 求直线在平面上的投影直线的方程 1 1 11 1 zyx 012 zyx 11 求曲线在三个坐标面的投影柱面和投影 1 0 22 xz zyx 01 03323 22 zy zxyzzx 71023 562 zyx zyx yz yxz 2 2 222 12 1 过直线作平面 使它垂直于平面 02 062 zyx zyx 02 zyx 2 求过点和直线的平面方程 2 1 3 M 12 3 0 4z