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第 6 页 共 6 页数学物理方法复习资料及参考答案（二）一、选择题：1. 函数以为中心的Taylor展开的系数公式为：（ ）A B C D 2. （ ） (其中表示以为中心为半径的周围)。A B C D 3. 非齐次边界条件，转化为齐次边界条件的方法：（ ）A B C D 4. 是定义在半无界区间上的函数，在边界条件下，把展为实数形式傅立叶积分：（ ）A B C D 5. 齐次边界条件的本征值和本征函数：（ ）A B C D 6. 若集合是（ ），则该集合是区域。 A 开集 B 连通开集 C 连通闭集 D 连通集7. 设是的可去奇点，则有：（ ） A 存在且有限 B 不存在 C 在点的主要部分只有有限项 D 在点的主要部分有无限多项8. 方程在奇点z=0的留数是：（ ）A 1 B 0 C -1 D 2 9. 当C为（ ）时， 10. 方程（ ）是阶贝塞耳方程： 二、简答题：1、何谓解析函数？它有什么特点？2、简述施图姆刘维尔本征值问题的共同性质。三、基础题：1、已知解析函数的实部，求虚部和这个解析函数。2、计算实变函数定积分3、用达朗贝尔解法求定解问题（简要给出推导过程） 4、用拉普拉斯变换法求解积分方程四、综合题：1、求解定解问题 2、求解定解问题 3、求解定解问题 参考答案一、选择题：1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.B 7.A 8.A 9.A D 10.D二、简答题：1. 解析函数：若函数在点及其邻域上处处可导，则称在点解析。若在区域上每一点都解析，则称是区域上的解析函数。特点：区域上的解析函数，其实部和虚部在该区域上为共轭调和函数。区域上的解析函数，则由常数，常数，得到的平面上的两族曲线是互相正交的。2.有无穷多个本征值： 相应地有无穷多个本征函数：所有的本征值都大于或等于零：相应于不同本征值和的本征函数和，在区间上带权重正交，即：本征函数族是完备的。三、基础题：1解： （2分）由条件，得：，则：得：得：得：，（为常数） （2分） 因为：，所以：故： （2分）2解：令，则 则 （2分）则和为一阶极点，应舍去 （2分）则， （2分）3解：令：， 得： （2分）积分后，可得：由初始条件，得：解得： （2分）故： （2分）4解：令：对原式拉普拉斯变换，得： （2分） （2分）对上式拉普拉斯逆变换，得： （2分）四、计算题：1解：令由分离变量法解得： （6分）得： （2分）代入初始条件有，可得：故： （4分）2解：极坐标系下，拉普拉斯方程的通解为：（4分）考虑圆外自然边界条件：（2分）则可得： （2分）由边界条件：比较两边系数可得： （2分）故： （2分）3解：由于边界条件与无关，故可以球坐标系的极轴为对称轴，则轴对称情况下拉普拉斯方程通解
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