第五天(不等式).doc

不等式一不等式的性质：1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；4若，则；若，则。二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性； 7寻找中间量或放缩法 ；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三.需要记忆的常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。四证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：五、常用不等式：（1）(当且仅当ab时取“=”号)（2）(当且仅当ab时取“=”号)（3）（4）柯西不等式（5）.例题1、已知二次函数满足，求的取值范围。错解：， 又正解：设，则有，即 又， ， 剖析：在多次应用不等式样性质的时候，若等号不能同时成立时，会使所求范围扩大，因此在解不等式范围的题时务必要检查等号能否成立。例题3、已知，求的最大值。错解：，即的最大值为。正解1：因此，当且仅当时，的最大值为。正解2：（用导数知识解），令，得或又，且当时，；当时，当时，的最大值为。剖析：在应用均值不等式解题时，忽视了均值不等式中等号成立的条件：“一正、二定、三相等”中的第三个条件，因为无论在中取何值，等式都不成立。例题4、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。错解： 正解：因为关于的不等式的解集是，所以，故或 原不等式的解集是。剖析：其一、忽视了所给条件的应用和对数的真数大于，其二、忽视了分式不等式正确解法。例题5、已知：、都是正数，且，求的最小值。错解：、都是正数， ，即的最小值为4。正解：、都是正数，且， 当且仅当时，的最小值为。剖析：中等号成立的条件是当且仅当，而中等号成立的条件是当且仅当。这与矛盾，因此解题中忽视了条件，从而造成错误。总结：不等式证明的错解的成因及分析策略不等式的证明方法有很多,如:基本不等式法、比较法、综合法、分析法、反证法、判别 式法、换元法、数学归纳法、放缩法、导数法、公式法(向量公式、方差公式、斜率公式等)、数形结合法等等.不等式的证明过程,是常规的证明方法及构造性思维在新的领域中的移植和运用,以及局部的创新.但在实际教学活动中我们发现,学生对于不等式证明上存在着一定的思维障碍,并仍有不少学生沉醉于“题海战术”之中,阻碍着创造性思维能力的发展.例1设若是与的等比中项，则的最小值为_.解析: 因为，所以，当且仅当即时“=”成立,故最小值为.练习1.若直线经过圆的圆心,则的最小值为_.例2已知关于的不等式的解集为,则的解集为_.解析：由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得,即,其解集为.练习2.已知不等式的解集为,试用表示不等式的解集.例3已知且，则的取值范围为_.解析：设，,解得，