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一元一次不等式与一次函数【基础知识精讲】1.一元一次不等式与一次函数的关系。两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。一次函数y=kxb（k0）的图像是一条直线，当kxb0时，表示图像在x轴上方的部分；当kxb=0时，表示直线与x轴的交点；当kxb0时，表示图像在x轴下方的部分。【考点聚焦】本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。【典例精析】例1 作出函数y=x3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题：（1）x取哪些值时，y0； （2）x取哪些值时，y0； （3）x取哪些值时，y3。思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，3)。解：由图象可知：（1）当x3时，y0；（2）当x3时，y0；（3）当x6时，y3。评注：（1）两点确定一条直线。（2）大于往右看，小于往左看。【试解相关题】兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？思路点拨：此题两问均牵扯到不等式问题，但需先列函数关系式。解：设当时间为x秒时，跑过的路为y米，则y哥哥=4x，y弟弟=3x9如图所示，由图象知9秒前弟弟跑在哥哥前面；9秒后，哥哥跑在弟弟前面。评注：通过以上两例，体会：刻画运动变化的规律需要用函数模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型。解决实际问题时，要合理选择这三种重要数学模型。例2 （2004年云南实验区试题）某公司到果品基地购买某种优质水果，慰问医务工作者。果品基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的顾客采用两种销售方案。甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回。已知该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元。（1）分别写出该公司两种购买方案的付款金额y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由。思路点拨：由题意分析知：购买方案的付款金额y（元）是所购买水果量x（千克）的函数，故本例可以构建“函数模型”。解：（1）y甲=9x（x3000），y乙=8x5000（x3000），（2）方法一：当y甲=y乙时，即9x=8x5000，解得x=5000。当x=5000千克时，两种方案付款一样；当y甲y乙时，9x8x5000，解得x5000。当x5000千克时，选择甲方案付款最少；当y甲y乙时，即9x8x5000，解得x5000。当x5000千克时，选择乙方案付款最少。方法二：图象法，作出它们的函数图象，如图所示，由函数图象可得：当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，选择甲方案付款最少；当购买量等于5000千克时，两种方案付款一样多；当购买量大于5000千克时，选择乙方案付款量少。评注：本例为“决策性”问题，在处理这类“支付决策”问题时，常常要根据自变量x的不同取值范围，作出不同的判断和选择。当问题无法判断时，就要进行分类讨论，分类时“界点”的确定和类别的划分，则可以通过对y1、y2的大小进行讨论而假设，通过解不等式来完成（如方法一）；又可以通过观察两个函数的图像，直观地判断和决策（如方法二）。例3 某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：（1）买一套西装送一条领带；（2）西装和领带均按定价的90%付款，某商店老板现要到该服装厂购买西装20套，领带x（x20）条请你根据x的不同情况，帮助老板选择最省钱的购买方案。解：按优惠方案（1）购买，应付款：20020(x20)40=40x3200（元）按优惠方案（2）购买，应付款：(2002040x)90%=36x3600（元）设y=(40x3200)(36x3600)=4x400（元）当y0，即20x100时，选方案（1）比方案（2）省钱；当y=0，即x=100时，选方案（1）与方案（2）相同；当y0，即x100时，选方案（2）比方案（1）省钱。如果同时选方案（1）与方案（2），那么为了获得厂方赠送的数量最多，同时享受九折优惠，可综合设计方案（3）；先按方案（1）购买20套西装并获赠送的20条领带，然后余下的(x20)条领带按优惠方案（2）购买，应付款：20020(x20)4090%=36x3280（元）。方案（3）与方案（2）比较，显然按方案（3）购买较省钱。方案（3）与方案（1）比较，当36x328040x3200时，解得x20，即当x20时，方案（3）比方案（1）省钱。综上所述，当x20时，按方案（3）购买最省钱。【思维误区突破】本节课是新增内容，在于增强学生利用不等式及一次函数解决实际问题，本节课的学习主要失误在于：（1）通过图象比较大小、解决实际问题，不会延伸为不等式。（2）不会利用图象解决不等式。【学习方法指导】数形结合是解函数问题的主要思想方法，它包括两方面的内容：（1）由数定形：即确定函数解析式的系数符号和图像的大致位置；（2）由形导数：即从给定的函数图象上获得解题信息。【同步强化训练】1.（1）当x_时，函数y=2x4的图象在x轴下方。（2）已知函数y1=x3，y2=3x4，当x_时，y1y2？2.（1）已知函数y1=2x5，y2=2x3，且y1y2，则x的取值为（ ）A.x0 B.x2 C.x2 D.x0（2）已知函数y=2x4的图象与x轴交于点A，则A点坐标为（ ）A.(0，0) B.(1，0) C.(2，0) D.(2，0)3.已知函数y=2x3。（1）当x_时，y0；（2）当x_时，y=0；（3）当x_时，y0；（4）当x_时，y1。4.在同平面直角坐标系中，作出函数y1=2x5，y2=2x3的图象，并根据图象说明，当x取何值时，y1y2。5.甲、乙两辆汽车从相距100千米的A、B两地相向而行，甲从A地出发，乙从B地出发，如图所示中和分别表示两辆汽车离开A地的距离s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数关系。（1）哪辆汽车快？（2）经过多长时间，乙车行驶到A、B两地的中点？6.兄弟俩赛跑，哥哥让弟弟先跑3秒，然后才开始跑，已知弟弟每秒跑4米，哥哥每秒跑5米，列出函数关系式，画出函数图像，观察图象并回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过30米？谁先跑过100米？【参考答案及点拨】1.（1）；（2）2.（1）B；（2）C3.（1）；（2）=；（3）；（4）24.图象略；x25.（1）甲车快。点拨：甲车行驶100千米用时2.5千米，而乙车用时3小时。（2）1.5