初二希望杯1-6届大题及解答.doc

1从自然数1，2，3，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是1771证法一 把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，(177，354)这样的组中，任一组内的两个数之差为177从1354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组也即至少有两个数之差是177从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177证法二 从1到354的自然数中，任取178个数由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，176这177种之一因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a-b=k177又因1354中，任两数之差小于2177=354所以两个不相等的数a，b之差必为177即a-b=177从自然数1，2，3，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是1772平面上有两个边长相等的正方形ABCD和ABCD，且正方形ABCD的顶点A在正方形ABCD的中心当正方形ABCD绕A转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值这个结论对吗？证明你的判断2如图9，重合部分面积SAEBF是一个定值证明：连AB，AC，由A为正方形ABCD的中心，知ABE=ACF=45又，当AB与AB重合时，必有AD与AC重合，故知EAB=FAC在AFC和AEB中，SAEBF=SABC两个正方形的重合部分面积必然是一个定值3用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1n2n3n4，试求：n1n2之值3可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190其中 1990=7284+2，1909=7272+51099=7157,9091=71298+5,9109=71301+2,9910=71415+5，9901=71414+3，9019=71288+3，9190=71312+6即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6即余数只有0，2，3，5，6五种它们加1，2，3都可能有余1的情形出现如0+11，6+21，5+3(mod7)而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n又：加5，6有：5+31，6+21(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13没有一个被7除余1所以7是次小的n即 n1=4，n2=7 n1n2=47=281已知两个正数的立方和是最小的质数求证：这两个数之和不大于21设这两个正数为a，b则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b2证明（反证法）：若a+b2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b1，a2-b，这个不等式两边均为正数，a3(2-b)3a38-12b+6b2-b3a3+b38-12b+6b26b2-12b+60b2-2b+10(b-1)20 矛盾a+b2即本题的结论是正确的2一块四边形的地（如图33）(EOFK，OHKG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明2本题以图33为准由图34知OKAB，延长EO和FK，即得所求新渠这时，HG=GM（都等于OK），且OKAB，故OHG的面积和KGM的面积相同即新渠占地面积与原渠面积相等而且只挖了KGM这么大的一块地我们再看另一种方法，如图35作法：连结EH，FG过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线又：EHONEOH面积=FNH面积从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多即新渠面积与原渠的面积相等由图35可知，第二种作法用工较多（要挖的面积较大）故应选第一种方法。1.若a，b，c，d0，证明：在方程 ,中,至少有两个方程有不相等的实数根.2(1)能否把1，2，1992这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明(2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明如果能够，请给出一种分组法1 如图85，三所学校分别记作A，B，C体育场记作O，它是ABC的三条角平分线的交点O，A，B，C每两地之间有直线道路相连一支长跑队伍从体育场O点出发，跑遍各校再回到O点指出哪条路线跑的距离最短（已知ACBCAB），并说明理由1解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）其中OABCO的距离最短记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离在AC上截取AB=AB，连结OB则ABOABOBO=BOd(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB-BC-BO=CO-(BC+BO)0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)0所以路线OABCO的距离最短2.如果a=,求a2+的值.因此x与-y是关于t的方程解二：由已知条件得两边加上a4+1，得显然0a1，0a211 如图33，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，BAE=BCD=120，ABC+AED=180，连接AD求证：AD平分CDE1 证一：如图40，连接AC，将ABC绕A点旋转120到AEFAB=AE，BAE=120，AB与AE重合又ABC+AED=180D，E，F在一条直线上，AC=AF在ACD和AFD中，DE+EF=DE+BC=CDAF=AC，ACDAFD，ADC=ADF即AD平分CDE证二：如图41连接ACBC+DE=CD,AB=AE,ABC+AED=180将ABC，绕C点顺时针方向旋转至FGC，同时将AED绕D点逆时针方向旋转至FGD则AB与AE重合成FG，AC旋转后成CF，AC=CF，AD旋转后成DF，AD=DF，CD=CDACDFCD，ADC=FDC=ADE即AD平分CDE证三：如图42BC+DE=CD在CD上，取CF=DE，则FD=BC连接BF，FE，AF，AC在BCF和FDE中，BC=FD，CF=DE，BCF=120，FDE=540-120-120-180=120（五边形内角和=540）BCFFDEBF=FE，1=3，2=4在ABF和AEF中，AB=AE，BF=FE，在ACF和ADE中，AF=AE，CF=DE，AFC=60+2=60+4=AED，ACFADE，ADE=ACF，AC=AD，ACF=ADF，ADE=ADF，AD平分CDE证四：如图43，延长BC，ED相交于F，自A向BC和DE的延长线引垂线AG，AH，垂足分别为G，H连接AF与CD相交于K在RtABG和RtAEH中，AB=AE，ABG=180-AED=AEH，ABGAEH，AG=AH，BAG=EAH在CDF中，FCD=180-BCD=60，CDF=180-CDECDE=540-(180+120+120)=120CDF=60，CDF是等边三角形CD=CF=FD在RtAGF和RtAHF中AG=AH，AF=AF，AGFAHF，AFG=AFH=30，FK平分CFD，FK垂直平分CD又BC+DE=CD，BG=EH在RtADK和RtADH中AD=AD，DK=DH，ADKADH，ADK=ADH即AD平分CDH2如图34，甲、乙、丙三人同时分别从A、B、C出发,甲向C,乙、丙向A前进,过了2小时,甲与乙于M点相遇;又过了小时,丙于N点追及乙,已知B点恰为N,C的中点,M与N之间的距离为公里；又知甲比丙提前1小时到达目的地，问A与B，B与C之间各多少公里？2如图44，N点在M点左侧设甲、乙、又设AB的距离为x公里，则即答：A，B之间距离为30公里，B，C之间距离为10公里1(1)已知a1，a2，a3为三个整数，且a1a2a3，三个数中的每一数均为其它两数的乘积，求所有满足条件的三数组(a1，a2，a3)(2)如果a1，a2，a3，a4，a5，a6为6个整数，且a1a2a3a4a5a6，六个数中任一个数均为其它五个数中某四个数的乘积，那么满足上述条件的数组(a1，a2，a3，a4，a5，a6)共有多少组？请说明理由1(1)由题意知a1=a2a3，a2=a1a3，a3=a1a2，三式相乘得a1a2a3=(a1a2a3)2a1a2a3=0或a1a2a3=1即a21=0或a21=1a1=0或a1=1或a1=-1当a1=0时，a2=a3=0当a1=1时，a2=a3=1当a1=-1时，a2=-1，a3=-1共有三个这样的三数组(0，0，0)，(1，1，1)，(-1，-1，-1)(2)取a1，a2，a3，a4，a5，a6的绝对值并按大小顺序排列，不妨设为0b1b2b3b4b5b6，则b1，b2，b3，b4，b5，b6也满足题意要求若b1=0，则b2，b3，b4，b5，b6中至少有一个为0，即b2=0由于b1=b2=0，b3=b4=b5=b6=0，a1=a2=a3=a4=a5=a6=0若b10，则b1=b2b3b4b5或b1=b3b4b5b6b2b3b4b5b1b2b3b4b5又b6=b2b3b4b5或b6=b1b2b3b4b2b3b4b5b1=b2=b3=b4=b5=b6，b1=b41，b1=1即a1，a2，a3，a4，a5，a6的绝对值均为1，它们只能是+1或-1i)a1=a2=a3=a4=a5=a6=1符合条件ii)若a1，a2，a3，a4，a5，a6中有-1，则最少有2个-1，最多有5个-1即(-1，-1，1，1，1，1)，(-1，-1，-1，1，1，1)，(-1，-1，-1，-1，1，1)，(-1，-1，-1，-1，-1，1)均符合条件符合条件的数组共有6组2一个旅游区有7个不在一条直线上的编号为A，B，C，D，E，F，G的风景点(如图35)现要开设一些公共汽车线路，满足以下条件：(a)由每个风景点可不换车到达其它任一风景点(b)每条汽车线路只连结3个风景点(c)任何两条汽车线路之间都只有一个共同的风景点(1)该旅游区应开设几条公共汽车线路？(2)若风景点，在一条线路上，则该公共汽车线路写成ABC试写出该旅游