对高考数学应试能力思考(答案+说明2013)3.doc

对高考数学应试能力的思考一、填空题主要考点：1复数，2集合（简易逻辑），3双曲线与抛物线，4统计，5概率，6流程图，7立体几何，8导数，9三角，10向量，11数列，12解析几何，13不等式，14杂题（函数）填空题的能力题体现在考试说明中的C级（8个）以及B级（36个）中，近几年，主要体现在：导数，三角计算，解析几何（直线与圆），平面向量（基本定理与数量积），不等式（线性规划、基本不等式或函数），数列综合，函数综合等二、解答题主要考点：15三角与向量，16立体几何，17应用题，18解析几何，19数列，20函数综合一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1（复数） 1已知是虚数单位，复数，则= 【答】【说明】，所以1 - 1已知是虚数单位，复数z 的共轭复数为，若2z =+ 2 - 3，则z = 【答】2 - 1 - 2已知复数z满足 z2 + 4 = 0，则z = 【答】22（集合或简易逻辑） 2函数为奇函数充要条件是a = 2 - 1 “| x | + | y |1”是“x2 + y21”的 条件（请在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）【答】充分不必要【说明】“| x | + | y |1”表示图形在“x2 + y21”表示图形的内部3（双曲线与抛物线）3在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 【答】2【说明】由题意，3 - 1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2 = 4x的焦点到其准线的距离为 【答】2【说明】2p = 4，焦点到其准线的距离p为24（统计）4如图是样本容量为200的频率分布直方图根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在6,10)内的频数为_【答】64【说明】200 0.08 4 = 644 - 1 甲、乙两名同学在五次考试中数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则甲、乙两名同学成绩较稳定（方差较小）的是_【答】乙【说明】甲 = (9899105115118) = 107，乙 = (95106108112114) = 107.s = (98107)2(99107)2(105107)2(115107)2(118107)2 = 66.8，s = (95107)2(106107)2(108107)2(112107)2(114107)2 = 44即乙较稳定5（概率）5某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了房间钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为_【答】【说明】在甲的对门随机地选一个人，共有5种方法，恰好是乙有1种方法，概率为5 - 1 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线xy = 5下方的概率为 【答】【说明】点P在直线xy = 5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故其概率为 = 5 - 2在长为12的线段上任取一点现作一矩形，邻边长分别等于线段的长，则该矩形面积小于322的概率为 【答】【说明】设线段AC的长为，则线段CB的长为()，那么矩形的面积为2，由，解得又，所以该矩形面积小于322的概率为6（流程图）6阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为4，则输出y的值为_【答】2【说明】由题中框图可知：x = - 4，| x | 3，x = | - 4 - 3 | = 7；x = 7，| x | 3，x = | 7 - 3 | = 4；x = 4，| x | 3，x = | 4 - 3 | = 1 3，y = 21 = 2结束 开始 b1 a3a1 bb+1 N Y 输入a a 58 输出b 6 - 1 按如图所示的程序框图运算，若输出的b = 3，则输入的a的取值范围是_【答】（6，19【说明】（1）输入a，b = 1；（2）a变为3a + 1，b = 2，且3a + 158；（3）a变为3 (3a + 1) + 1 = 9a + 4，b = 3，且9a + 4 58由（2），（3）解得6 a197（立体几何）底面边长为2，侧棱与底面成60的正四棱锥的侧面积为_【答】【说明】锥高为，侧面斜高为，侧面积为7 - 1一个三棱柱恰好可放入一个正四棱柱的容体中，底面如图所示，其中三棱柱的底面AEF是一个直角三角形，AEF = 90，AE = a，EF = b，三棱柱的高与正四棱柱的高均为1，则此正四棱柱的体积为 【答】 【说明】设AB = x，由，得，则由，得则此正四棱柱的体积为7 - 2 在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线条数为_条【答】无数【说明】在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与直线A1D1，EF，CD均相交，故满足题意的直线有无数条8 （函数与导数）8已知函数，若对于满足（- a，4 - a）的一切x恒成立，则（a，b）为_。【答】（2，1）【说明】即。它对满足（- a，4 - a）的一切x恒成立，则（a，b）为（2，1）。8 - 1 方程 有两个不同的解，则实数a的取值范围是_。【答】a 【说明】作出函数的图象C，设直线y = kx - 1为图象C在第一象限内的切线，易得切点为（1，）。当k ，即 - a ，a 。8 - 2已知函数存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 【答】（-，1）【说明】，由题意，得有解，即 0有解。即有解 ( x 0)，令= t，则 有解 ( t 0)。a 1。9（三角）9已知，若存在，使对一切实数x恒成立，则= 【答】【说明】周期2=，=9 - 1 已知，则=_【答】【说明】，9 - 2计算 的值等于 【答】【说明】= () = () = () = 9 - 3若锐角满足 = ，则角的度数为 【答】50【说明】 ()2 = 210， = 2(110 )， = = 509 - 4在ABC中，已知BC = 4，AC = 3，(A - B) = ，则ABC的面积为 【答】【说明】在角A中作出A - B，即在BC上取一点D，使DB = DA，设DB = x，则DC = 4 - x在ACD中，CAD = (A - B) = ，得x = 2则DA = DC = DB，BAC = 90，AB = ABC的面积为10（向量）10已知O是ABC的外心，AB = 2a，AC = ，BAC = 120，若 = xy，则xy的最小值是 【答】2【说明】解法1 以A为坐标原点，AC为x轴，建立直角坐标系，则C（，0），B（- a，a），用几何方法，可得O（，）由 = xy，得（，）=（-ax，ax）+（y，0），则当a = 1时，xy取得最小值为2解法2 因为 = | cos120 = 2a() = - 2，设AB的中点为D，则ODAB，又 = () = = = 2 = 2a2，同理， = 2 = 即解得所以，xy = = (a2) = 2当且仅当a = 1上式等号成立，此时ABC是等腰三角形【反思】方法较多，可算可看可猜考生注意方法的灵活性、转化的多样性，是致胜的关键10 - 1已知向量a，b，c满足 | a | = | b | = 2，| c | = 1，(ac)(bc) = 0，则 | a - b | 的取值范围是_ 【答】1|ab|1【说明】解法1设c = (1，0)，设A，B是以O为圆心，2为半径的圆上两点，且ACBC，则 | ab | = AB = 2 MCMO2 + MA2 = OA2，而MA = MC，MO2 + MC2 = 4设M(x，y)，则，即（*）| ab | = AB = 2 MC = 由（*）知，即1|ab|1解法2 设c = (1，0)，a = (2cos，2sin)，b = (2cos，2sin)，则由(ac)(bc) = 0得，(2cos1)(2cos1)4sinsin = 0，即4cos()2(coscos)1 = 0，所以8cos24coscos3 = 0，由|cos| = |1，解得|cos|，所以|ab| = 4|sin| = = 1，|ab| = = 1，即1|ab|110 - 2 在ABC中，则角A的最大值为_【答】【说明】，设AB = c，AC = b，则c2 - 4bc + 3b2 = 00，得16-120， 0，角A的最大值为10 - 3 已知O是锐角ABC的外心，AB = 6，AC = 10，若 = xy，且2x10y = 5，则cosBAC的值为 【答】【说明】 解法1 因为外心是三角形三条垂直平分线的交点，取AC中点为D，则ODAC，因为 = ，所以 = = = 50，又因为向量 = xy，所以 = xy2，即60 xcosBAC100y = 50，也就是6 xcosBAC10y = 5，又已知2x10y = 5，所以cosBAC = 解法2 设A(0，0)，C(10，0)，BAC = ，则点B(6cos，6sin) ，又O点横坐标为5， = xy，所以5 = 6xcos10y = 2x10y，所以cos = ；即cosBAC = 11（数列问题）11设数列的首项，前n项和为Sn , 且满足( n) 则满足的所有n的和为 【答】7【说明】由，得，即，以为公比，为首项，求得，从而，所有n的和为711 - 1 记集合P = 0，2，4，6，8 ，Q = m | m = 100a1 +10a2 + a3，a1，a2，a3P ，将集合Q中的所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是_【答】464【说明】（1）a1为0时，共有55 = 25个数；a1为2时，共有55 = 25个数；（2）a1为4时，a2为0时，共有5个数；a2为2时，共有5个数；a2为4时，共有5个数；以上共65个数，这此数列的前65项以下数依次为460，462，464，则第68项是46411 - 2已知集合A = x | x2a(a1)x，存在，使得集合A中所有整数元素的和为28，则实数a的取值范围是_【答】7，8)【说明】x2ax(a1)，即(x1) (xa)0因此该不等式的解集中必有1与a要使集合A中所有整数元素的和为28，必有a 1以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为，而由集合A中所有整数元素的和为28，7a 8，即实数a的取值范围是7，8)11 - 3 数列an定义如下：a1 = 1，a2 = 2，an+2 = an+1 - an，n = 1，2，若n k（）时，an+1 - an 0.01恒成立，则k的最小值为 【答】13【说明】数列nan是等差数列，nan = 1 + 3(n - 1) = 3n - 2，an = 3 -an+1 - an 0.01，即 0.01，n( n + 1) 2001314 = 182，1415 = 210，k的最小值为1312（解析几何）12已知A = (x，y) | x2 + y2 4 ，B = (x，y) | (x - a)2 + (y - a)22a2，a 0 ，则AB表示区域的面积的取值范围是_【答】（0，2）【说明】当a趋近于0时，面积也趋近于0，当a趋近于无穷时，公共区域趋近于半圆及内部（圆心为原点，2为半径），则AB表示区域的面积的取值范围是（0，2）12 - 1 如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为 AO【答】。【说明】由题意， AF2 = BF2，即，在中，则，离心率12 - 2设椭圆 = 1(ab0)恒过定点A(1，2)，则椭圆的中心到准线距离的最小值是 【答】2【说明】由 = 1解得b2 = ，椭圆的中心到准线距离为 = = = = = 213（不等式）13在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(0，1)，(4，2)，(2，6)如果P(x，y)是ABC围成的区域(含边界)上的点，那么当 = xy取到最大值时，点P的坐标是_【答】(，5)【说明】点A、B、C围成的区域(含边界)如图所示：因为 = xy表示矩形OP1PP2的面积，只要点P向右方或者向上方移动，矩形OP1PP2的面积就变大由图可看出，只有点P在线段BC上时才无法向右方或上方移动，所以要使 = xy最大，点P一定在线段BC上B(4，2)，C(2，6)，线段BC的方程为y = - 2x10，x2，4， = xy = x(102x) = 2(x)2，x2，4，故当x = ，y = 5时，取到最大值，P(，5)13 - 1设m，若直线与圆相切，则的最大值是 【答】【说明】直线与圆相切，圆心到直线的距离为，所以，13 - 2已知函数 ，若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 【答】【说明】，令，则原题等价为：对于，恒成立，求实数k的取值范围（1）当时，显然成立；（2）当时，由，得；（3）当时，由，得综上，实数k的取值范围为14（杂题）已知函数是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x 0，都有，则= _【答】【说明】必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为，与单调函数矛盾所以可设则将c代入，得，即是单调增函数，当c = 时，成立，则14 - 1如图，有一矩形地块ABCD，其相邻边长为20和50，现要在它的短边与长边上各取一点P与Q，用周长为80的篱笆围出一块直角三角形的花园，则围出部分的最大面积为_【答】【说明】设PQ = a，AQP = ，则周长为a ( 1+) = 80，面积，令= t，则，设（0，其中 = 时，P在点D，AP = 20，设AQ = x，则PQ = 60 - x由，得解得，此时t =在 = 时取得最大，此时围出部分的面积最大，（）14 - 2曲线C：与轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则“望圆”面积的最小值为 【答】【说明】，令，得，所以望点为，设望圆的方程为，由得当，即时，所以圆的面积为二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知（1）求；（2）若a = 3，ABC的面积为，求b，c【解】(1)，得即，从而(2) 由于，所以又，解得bc = 6由余弦定理，得=13由两式联立可得b = 2，c = 3或b = 3，c = 2 15 - 1 在ABC中，A = 2B，AB = 23（1）求，；（2）求的值【解】（1），B为锐角，（2），AB = 23，AC = 9，BC = 1216（本小题满分14分）如图，长方体中，底面是正方形，是棱上任意一点，是的中点（1）证明：；（2）若AF平面C1DE，求的值【解析】（1）连接，共面 长方体中，底面是正方形， 所以 所以面，所以 (2)取的中点，连接交于点，易知FGDD1，FG = DD1，且点为的中点，所以四点共面， 所以平面 因为AF平面C1DE，AFOEA F C B D C B 1 1 1 E 1 1 1 A 又点为的中点，所以= A F C B D C B 1 1 1 E 1 1 1 A 16 - 1在直三棱柱ABC - A1B1C1中，AB = AC = AA1 = 3a，BC = 2a，D是BC的中点，E，F分别是A1A，C1C上一点，且AE = CF = 2a（1）求证：B1F平面ADF；（2）求三棱锥B1 - ADF的体积；（3）求证：BE平面ADF15（1）证明：AB = AC，D为BC中点，ADBC 在直三棱柱ABC - A1B1C1中，B1B底面ABC，AD底面ABC，ADB1B A F C B D C B 1 1 1 E 1 1 1 A M BCB1B = B，AD平面B1BCC1B1F平面B1BCC1，ADB1F 在矩形B1BCC1中，C1F = CD = a，B1C1 = CF = 2a，RtDCF RtFC1B1CFD = C1B1FB1FD = 90B1FFDADFD = D，B1F平面AFD （2）B1F平面AFD，=（3）连EF，EC，设，连，四边形AEFC为矩形，为中点为中点， 平面，平面，平面 17（本小题满分14分） （应用题）一般方法：（1）读题3遍，弄清题意；（2）准确列式，审查条件；（3）分离系数，寻找核心；（4）合理构思，选择方法（最值问题用基本不等式法或求导法）；（5）有效取舍，答是所问1、基本思路：方程问题（存在问题）与函数问题函数问题一般先表达式，再求最值；三角问题一般利用正、余弦定理2、基本类型：（1）三角为载体的函数问题：17如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将与接通已知AB = 60m，BC = 80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为矩形区域内的排管费用为W（1）求W关于的函数关系式；（2）求W的最小值及相应的角解：（1）如图，过E作，垂足为M，由题意得， 故有，所以 （2）设（其中，则令得，即，得列表+0-单调递增极大值单调递减所以当时有，此时有答：排管的最小费用为万元，相应的角三角形中正余弦定理的应用：17 -1 如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东北方OB，现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O到AB的距离为10km，设（1）试求AB关于角的函数关系式；（2）问把A、B分别设在公路上离市中心O多远处，才能使AB最短，并求其最短距离解：（1）如图，作OM垂直AB，垂足为M，则OM = 10，由题意， 在中，由正弦定理得，即在中， 所以 （2） 因为，所以当时有AB的最小值 此时， 答：A、B都设在公路上离市中心km处，才能使AB最短，其最短距离是km（2）函数与方程型：二次函数，求导，基本不等式17 - 2 如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库，设AB = y km，并在公路同侧建造边长为x km的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在GH上），现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB，AC，已知AB = AC + 1，且ABC = 60o（1）求y关于x的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km，道路造价为3万元/km，问：x取何值时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低？解：（1）AB = y，AB = AC + 1，AC = y - 1。在直角三角形BCF中，CF = x，ABC = 60，CBF = 30，BC = 2x。由于2x + y - 1 y，得。在ABC中，。则。由y 0，及，得x 1。即y关于x的函数解析式为（x 1）。（2）。令x - 1 = t，则，在，即，时，总造价M最低。答：时，该公司建中转站围墙和道路总造价M最低。 如图所示，某企业拟建造一个体积为V的圆柱型的容器（不计厚度，长度单位：米）已知圆柱两个底面部分每平方米建造费用为a千元，侧面部分每平方米建造费用为b千元假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，设圆柱的底面半径为r，高为h（h2r），该容器的总建造费用为y千元（1）写出y关于r的函数表达式，并求出此函数的定义域；（2）求该容器总建造费用最小时r的值解：（1）设圆柱的高为h， h2r 0， 0即0 0 )，得；令，得当时，y关于r是减函数；当时 ，y关于r是增函数 若b2a，当米时，容器建造费用最小；若b 2a，则y在(0，上单调减，所以米时，容器建造费用最小 总之， 18已知椭圆E：的离心率为，它的上顶点为A，左、右焦点分别为，直线AF1，AF2分别交椭圆于点B，C（1）求证直线BO平分线段AC；（2）设点P（m，n）（m，n为常数）在直线BO上且在椭圆外，过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点Q，满足，试证明点Q恒在一定直线上【解析】（1）由题意，则，故椭圆方程为，即，其中，直线的斜率为，此时直线的方程为，联立得，解得（舍）和，即，由对称性知直线BO的方程为，线段AC的中点坐标为，AC的中点坐标满足直线BO的方程，即直线BO平分线段AC（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为，点，则，设，则，求得，由于m，n，C为常数，所以点Q恒在直线上【说明】（1）若特殊化处理，令，此时椭圆方程为，设，其它条件不变，可得点Q恒在直线上（2）若一般化处理，对于椭圆，椭圆外的一点P（m，n）（m，n为常数），过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点Q，满足，则点Q恒在定直线上18 - 1已知点M是圆C：上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM上，点N在直线CM上，且满足，=0，动点N的轨迹为曲线E。（1）求曲线E的方程；（2）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求AOB面积S的最大值。 解：（1）因为,，所以为的垂直平分线，所以，又因为,所以 所以动点的轨迹是以点为焦点的长轴为的椭圆 所以轨迹E的方程为. (2)因为线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，由，消去，并整理，得. 设，又,来源:Zxxk.Com所以， 因为,所以，即来源:Zxxk.Com所以，即，因为，所以 12分又点到直线的距离，因为，所以 14分所以，即的最大值为 15分18 - 2 如图，分别是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上异于顶点的任意一点，过点作直线的垂线交直线于点（1）当时，求点的坐标；（2）判断直线与直线的斜率之积是否为定值?若是，请求出定值；若不是，说明理由；（3）证明：直线与椭圆只有一个公共点【解析】（1），当时， 或，当时，所以直线的方程为，令得，所以的坐标为由对称性知，当时，的坐标为(2)设，则，因为，所以，所以直线的方程为，令，得，所以，又，所以(定值)(3)由(2)知，直线的方程为，即，由得，化简得:，解得，所以直线与椭圆只有一个交点18 - 3在平面直角坐标系xOy中，过定点T（t，0）（t为已知常数）作一条直线与椭圆相交于A，B两个不同点，求AOB面积S的最大值解：设直线AB的方程为，代入椭圆方程，即，得，即设A（x1，y1），B（x2，y2），则即S令= u，ua2，则S，当，即时，此时当，即时，此时总之，19数列an满足：a1 = 5，an+1an = ，数列bn的前n项和为Sn满足：Sn = 2(1bn)（1）证明：数列an+1an是一个等差数列，并求出数列an的通项公式；（2）求数列bn的通项公式，并求出数列anbn的最大项解 (1)令n = 1得a25 = ，解得a2 = 12，由已知得(an+1an)2 = 2(an+1an)15 (an+2an+1)2 = 2(an+2an+1)15 将得(an+2an)(an+22an+1an) = 2(an+2an)，由于数列an单调递增，所以an+2an0，于是an+22an+1an = 2，即(an+2an+1)(an+1an) = 2，所以an+1an是首项为7，公差为2的等差数列，于是an+1an = 72(n1) = 2n5，所以an = (anan-1)(an-1an-2)(a2a1)a1 = (2n3)(2n1)75 = n(n4)(2)在 Sn = 2(1bn)中令n = 1得b1 = 2(1b1)，解得b1 = ，因为Sn = 2(1bn)，Sn+1 = 2(1bn+1)，相减得bn+1 = 2bn+12bn，即3bn+1 = 2bn，所以bn是首项和公比均为的等比数列，所以bn = ()n从而anbn = n(n4)()n设数列anbn的最大项为akbk，则有k(k4)()k(k1)(k5)()k+1，且k(k4)()k(k1)(k3)()k-1，所以k210，且k22k90，因为k是自然数，解得k = 4所以数列anbn的最大项为a4b4 = 19 - 1设数列的前项和为，已知（，为常数），（1）求数列的通项公式；（