蠓的分类问题.doc

蠓的分类问题 摘 要：早在1981年， 两类蠓虫Af和Apf已由生物学家W.L.Grogna和W.W.Wirth 根据它们的触角长度和翼长加以区分。根据翼长和触角长来识别一只标本是Af还是Afp是重要的。本文采用判别分析法讨论蠓的分类问题。 针对问题一，采用Mahalanobis 距离判别法，Fisher判别法，Bayes判别法来区别给定的蠓是Af类或Afp类。根据交叉确认估计法求得三种方法的误判率以及运用三种方法，得到问题二的最终判断结果如下表： 判别方法Mahalanobis 距离判别法Fisher判别法Bayes判别法误判率0.06670.06670.0667判别结果问题三需要考虑各总体的先验概率和错判损失，故本文采用Bayes判别法，使得所带来的平均错判损失最小。最终判断结果为：1代表x=（1.24,1.80）;2代表x=（1.28,1.84）;3代表x=(1.40,2.04)分类比值k0.20.40.60.81.21.41.61.82Af1,2,31,2,31,3Apf21,2,31,2,31,2,31,2,31,2,31,2,3 文章中涉及的三种判别分析方法是相当成熟的，用它们讨论蠓的分类问题非常恰当。本文建立的模型便于修正，而且随着样品数量的增加，精度提高的很快，样本的期望值，标准差和相关函数也很容易重新计算。关键字：Mahalanobis 距离判别法 Fisher判别法 Bayes判别法 误判率 错判损失 先验概率1、 问题重述两种蠓Af和Apf己由生物学家W.L.Grongan和W.W.Wirth(1981年)根据它们的触角长度和翼长加以区分(见图89A-1)，6只Af蠓用“”标记，9只Apf蠓用“”标记。问题一：给定一只Af或者Apf族的蠓，你如何正确地区分它属于哪一族?问题二：将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24，1.80)、(1.28，1.84)、(1.40，2.04)的三个标本。问题三：设Af是宝贵的传粉益虫，Apf是某种疾病的载体，是否应该修改你的分类方法，若需修改，怎么改?2、 模型假设与符号说明2.1模型假设 1、两种蠓虫的触角长和翼长服从二元正态分布。 2、所给的样本数据是无误差的。2.2 符号说明 2.2.1 问题一、二的符号说明：族的 均值向量 ： 族的均值向量 ：族的 协方差矩阵：族的协方差矩阵: 待判样本空间:族的总体:族的总体 2.2.2 文题三的符号说明 总的误判概率； 总的误判损失；把Apf误判为Af所引起的误判损失；把Af误判为Apf所引起的误判损失； 类别Af的密度函数； 类别Apf的密度函数； 类别Af的先验概率； 类别Apf的先验概率；三、问题分析3.1问题一、二的分析问题一要求根据某个个体的指标（触角长、翼长）值来判断该个体所属的类别。类似这样的问题数学上称之为判别问题。 解决这类问题的方法很多，我们选取三种方法，1）距离判别方法 2）“Fisher”判别方法。 3） “Bayes”判别方法。对于问题二，运用这三种方法判断出的结果并不完全相同，那么哪个判别结果才是最优的呢?这就需要计算每种方法的误判率，通过比较，误判率小的当然是此问题的最佳解决方法，在该方法下得出的结果是最优的。3.2问题三的分析被判样本具有特殊性质，一类是的传粉益虫，一种是病毒载体，一旦误判可能造成严重损失。这种情况下，当然应该选择“Bayes”判别方法。4、 模型建立与求解4.1问题一、二的模型建立与求解4.1.1Mahalanobis 距离判别法提取训练样本的数据： 根据训练样本，求得（matlab实现）： 样品x到G的Mahalanobis 距离为：其中V-1为V的逆。 ，V用样本均值代替。 其中，将Mahalanobis 距离用于判别模型，其判别准则为：若 ，则判断 , 若 ，则判断 ; 若 ，则可判断 也可判断. 求解过程由matlab编程实现： 设任给一蠓虫 ，判断结果为： 交叉确认估计法求误判概率（求解过程由matlab编程实现）： 去掉，利用剩余的14个样本建立建立距离判别法，带入验证，一次循环检验15次，得到a次验证成功，15-a次验证失败，则误判概率。求解结果为=0.6674.1.2“Fisher”判别方法1、由所给的15只样本计算各总体的样本均值向量和总的平均向量。2、 。3、求，。4、求 的最大特征值及相应单位特征向量。5、判别函数。6、 将 从小到大排序则,的阈值为 。 7、若 ，判断则 ，若，则判断 。求解过程由matlab编程实现： 判断结果为：交叉确认估计法求误判概率（求解过程由matlab编程实现）：去掉，利用剩余的14个样本建立Fisher判别法，带入验证，一次循环检验15次，得到b次验证成功，15-b次验证失败，则误判概率。求解结果为=0.6674.1.3“Bayes”判别方法 由于两个总体的各指标服从一元正态分布，故总体服从二元正态分布。又协方差矩阵相等，即。此时有： 要使得总误差概率最小，则有。故判别准则为：由已知可得出现的先验概率结合相关知识我们可得概率密度函数为：其中、分别表示期望、方差和相关系数。再结合matlab软件运行可得相关参数为：（见附录3）Af1.22671.92670.06280.08820.7841Apf1.41331.80440.09900.12990.6285最终结果为：。 交叉确认估计法求误判概率：去掉，利用剩余的14个样本建立Fisher判别法，带入验证，一次循环检验15次，得到c次验证成功，15-c次验证失败，则误判概率。求解结果为=0.667 三种判别方法的误判率相同，所以可以用任意一种方法讨论蠓虫分类问题，各自得到的判断结果都有一定的意义。 4.2问题三的模型建立与求解该问题继续用“Bayes”判别方法进行求解，此时协方差矩阵不相等，即。故有： 由于并未给定，因此我们给定一系列，所以要使得误差损失最小，则有。所以判别准则为： 又由已知可得出现的先验概率 结合相关知识我们可得概率密度函数为： 其中、分别表示期望、方差和相关系数。 再结合matlab软件运行可得相关参数为：（见附录3）Af1.22671.92670.06280.08820.7841Apf1.41331.80440.09900.12990.6285分类比值k0.20.40.60.81.21.41.61.82P(1/2)0.07240.05110.04120.03510.02790.02540.02350.02190.0205P(2/1)0.00650.01060.01380.01660.02140.02340.02540.02720.0289P*0.03290.02680.02480.02400.02400.02420.02460.02510.0256Af1,2,31,2,31,3Apf21,2,31,2,31,2,31,2,31,2,31,2,3最终运行结果为：由表中可知：当k=0.2、0.4时，应该修改分类，分类结果变为：；当k=0.6时，应该修改分类，分类结果变为：。 五、模型评价5.1模型优缺点距离判别及Fisher 判别模型不涉及到各类别的分布情况，只要求均值、方差或协方差存在即可,使应用方便,。不足的是：不能计算误判概率从而考虑因误判引起的损失。 Bayes判别模型依据各类别分布的信息，以考虑误判而引起的损失最小的角度出发，建立判别准则，有较大的实用价值。参考文献 全国大学生数学建模组委会，全国大学生优秀论文汇编（1992-2000），中国物价出版社，2002年三月出版附录： 附录1%距离判别法clear;clcload Af; load Apf;% a1=mean(x1);% a2=mean(x2);%求均值向量% s1=cov(x1);% s2=cov(x2);%求协方差矩阵x=1.24 1.80;1.28 1.84;1.40 2.04;%给出待判样本m1=mean(x1);m2=mean(x2);s1=cov(x1);s2=cov(x2);S=(5*s1+8*s2)/13;for i=1:3, d(i)=(x(i,:)-m1)*inv(S)*(x(i,:)-m1)-(x(i,:)-m2)*inv(S)*(x(i,:)-m2);end% d=mahal(x,x2)-mahal(x,x1);%求马氏距离fprintf(待判样本分类结果为：);Af=find(d0)附录2%Fisher分析clear;clc;load 蠓training=x;group=1,1,1,2,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2;%给出训练样本training的分类结果sample=1.24 1.80;1.28 1.84;1.40 2.04;%给出待判样本% oldclass=classify(training,training,group);%给出训练样本的回代结果% fprintf(训练样本的回代结果为：);% Af=find(oldclass=1);% Af=Af% Apf=find(oldclass=2);% Apf=Apfnewclass=classify(sample,training,group);%给出待判样本分类结果fprintf(待判样本分类结果为：);Af=find(newclass=1);Af=AfApf=find(newclass=2);Apf=Apfgplotmatrix(training,group);%绘图看分类情况附录3%Bayes判别法以及求误差概率clear;clc;load Af;load Apf;a1=mean(x1);a2=mean(x2);%求均值向量s1=std(x1);s2=std(x2);%求标准差v1=cov(x1);v2=cov(x2);%求协方差矩阵r1=corr(x1(:,1),x1(:,2);%求相关系数r2=corr(x2(:,1),x2(:,2); x=1.24 1.80;1.28 1.84;1.40 2.04;j=1;for i=1:length(x)a=1/2*pi*a1(1,1)*a1(1,2)*sqrt(1-r12);b=-1/2*(1-r12);c=(x(i,1)-a1(1,1)/s1(1,1);d=(x(i,2)-a1(1,2)/s1(1,2);e=c2-2*r1*c*d+d2;f1(1,j)=a*exp(b*e);%求密度函数a=1/2*pi*a2(1,1)*a2(1,2)*sqrt(1-r22);b=-1/2*(1-r22);c=(x(i,1)-a2(1,1)/s2(1,1);d=(x(i,2)-a2(1,2)/s2(1,2);e=c2-2*r2*c*d+d2;f2(1,j)=a*exp(b*e);%求密度函数j=j+1;endp1=6/15;p2=9/15;d=f1*p1-f2*p2;Af=find(d0);Apf=