常微分方程期末考试题大全(东北师大)

精品文档 1欢迎下载 证明题证明题 设在上连续 且 又 求证 对于方程 xf 0 bxf x lim0 a 的一切解 均有 xfay dx dy xy a b xy x lim 证明 由一阶线性方程通解公式 方程的任一解可表示为 x atax dtetfCexy 0 即 ax x at e dtetfC xy 0 由于 则存在 当时 因而bxf x limXXx Mxf dteMdtetfdtetf x X at X at x at 00 0 aXax X at ee a M dtetf 由 从而有 显然 0 a x at x dtetfC 0 lim ax x elim 应用洛比达法则得 ax x at xx e dtetfC xy 0 limlim ax ax x ae exf lim a b a xf x lim 证明题证明题 线性齐次微分方程组最多有个线性无关的解 其中是定xAx t n tA 义在区间上的的连续矩阵函数 bta nn 证 要证明方程组最多有个线性无关的解 首先要证明它有个线性无xAx t nn 关的解 然后再证明任意个解都线性相关 1 n 精品文档 2欢迎下载 由于是定义在区间上的的连续矩阵函数 所以对任意给定的初始 tAbxa nn 条件 方程组存在唯一的解 分别取初始条件 x 0 tbta 0 xAx t 0 0 1 01 tx 0 1 0 02 tx 1 0 0 0 txn 它们对应的解分别为且这个解在时的朗斯基行列式为 21 ttt n xxx n 0 t 则是个线性无关的解 01 0 tW 21 ttt n xxx n 任取方程组的个解 这xAx t 1 n 121 tttt nn xxxx bat 个解都是维向量 于是由线性代数有关理论知 它们线性相关 1 nn 这就证明了方程组最多有个线性无关的解 xAx t n 证明题 证明题 如果已知二阶线性非齐次方程 21 2 2 tfxta dt dx ta dt xd 对应齐次方程的基本解组为 证明其有一特解是 21 txtx 其中及是区间 上的连续函数 dssf sxsxW sxtxsxtx t t t 0 21 2112 21 tata tf 是的朗斯基行列式 21 txtxW 21 txtx 证 已知是对应齐次方程 21 txtx 0 21 2 2 xta dt dx ta dt xd 的基本解组 则齐次方程的通解为 2211 txCtxC 用常数变易法 求原方程的特解 设 是原方程的特解 则满足下列关系 2211 txtCtxtCy 21 tCtC 精品文档 3欢迎下载 0 2211 2211 tftxtCtxtC txtCtxtC 解得 0 21 2 21 21 2 2 1 txtxw txtf txtx txtx txtf tx tC 0 21 1 21 1 1 2 txtxw txtf txtxw tftx tx tC 积分得 ds sxsxw sxsf tCds sxsxw sxsf tC t t t t 00 21 1 2 21 2 1 原方程的一个特解为 ds sxsxw sxsf txds sxsxw sxsf txy t t t t 00 21 1 2 21 2 1 故是原方程的一个特解 dssf sxsxw sxtxtxsx t t t 0 21 2121 证明题 证明题 设是常系数线性齐次方程组 1 的解 的分 te t x Axx t 量都是次数的多项式 但至少有一个分量是 的次多项式 证明向量组 k tk te t 是方程组 1 的线性无关解组 te t te kt 证 证 设是常系数线性齐次方程组 te t x 1 Axx 的解 的分量都是次数的多项式 但至少有一个分量是 的次多项式 证明向 t k tk 量组 是方程组 1 的线性无关的解 te t te t te kt t 组 证 先证明 都是方程组 1 的解 te t te t te kt 由于方程组 1 的解 则有 te t x 精品文档 4欢迎下载 tetete t t t A 即 t t EA 其中表示单位矩阵 E 由易得 t t EA 2 t t mm 1 EA 1 2 1 km te dt d mt tete mt mt 1 由 2 上式变为 te dt d mt t ete mt mt EA te dt d mt te mt A 1 2 1 km 故 都是方程组 1 的解 te t te t te kt 再证明向量组 线性无关 te t te t te kt 因为的分量都是次数的多项式 但至少有一个分量是 的次多项式 所以 t k tk 而当时 0 t k km 0 t m 若 即 teC t 0 teC t 1 0 teC kt k t tC 0 tC 1 0 tC k k t 给上式两边关于 求阶导数 得 则必有 tk 0 tC k 0 t0 0 C 给 两边关于 求阶导数 则必有 tC 1 0 tC k k tt1 k 0 1 C 同理 可得 0 m Ckm 2 1 0 故向量组 线性无关 te t te t te kt 综上所述 我们证明了向量组 是 te t te t te kt t 方程组 1 的线性无关的解组 精品文档 5欢迎下载 证明题 阶齐次线性常微分方程有 n 0 2 2 1 1 xtaxtaxtax n nnn 且最多有 个线性无关的解 n 阶齐次线性常微分方程有且最多有 n 0 2 2 1 1 xtaxtaxtax n nnn 个线性无关的解 n 证明 由于阶齐次线性常微分方程分别满足初始条件 n 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 00 0 1 20202 0 1 10101 txtxtx txtxtx txtxtx n nnn n n 的解为则一定存在个解 又因为若任取个解 21 txtxtx n n 1 n 121 tttt nn 1 2 1 121 121 121 n n nn n n nn ttttW 由于 jn n j n j n j tatata 2 2 1 1 即最后一行可由前行线性表出 则 1 2 1 121 121 121 n n nn n n nn ttttW 0 故这个解一定是1 n 线性相 关的 从而命题得证 证明题 设和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解 求证 它 1 xy 2 xy 们不能有共同的零点 精品文档 6欢迎下载 证明 证明 由于和是两个线性无关解 则它们的朗斯基行列式 1 xy 2 xy 5 分 0 21 21 xx xx xW 假如它们有共同零点 那么存在一个点 使得 0 x 01 x 0 02 x 于是 0 00 02010201 0201 0 xxxx xx xW 这与 式矛盾 常微分方程习题集 常微分方程习题集 5 5 五 证明题 1 试证 如果是满足初始条件的解 那么 t AX dt dX 0 t exp 0 ttAt 2 设和是方程的任意两个解 求 1 xy 2 xy 0 yxqy 证 它们的朗斯基行列式 其中为常数 CxW C 3 假设不是矩阵 的特征值 试证非齐线性方程组mA 有一解形如 其中是常数向量 mt CeAX dt dX mt Pet PC 4 设及连续 试证方程为线性方程的 f x y y f 0 dxyxfdy 充要条件是它有仅依赖与 x 的积分因子 5 设在上连续 且 求证 方程 xf 0 0 lim xf x 的任意解均有 d d xfy x y xyy 0 lim xy x 6 试证 若已知黎卡提方程的一个特解 则可用初等积分法求它 的通解 7 阶齐线性方程一定存在 个线性无关解 nn 8 设是一阶非齐次线性方程于区间 上的任一解 xy I 精品文档 7欢迎下载 是其对应一阶齐次线性方程于区间 上的一个非零解 则含有任 x I 意常数 C 的表达式 xxCy 是一阶非齐次线性方程于区间 上的全部解的共同表达式 I 9 设矩阵函数 在 a b 上连续 试证明 若nn 1 tA 2 tA 方程组与有相同的基本解组 则 XtA dt dX 1 XxA dt dX 2 1 tA 2 tA 10 证明 一个复值向量函数是 LH 的解 tivtutX 的充要条件 它的实部和虚部都是 LH 的解 tu tv 五 证明题参考答案 1 试证 如果是满足初始条件的解 那么 t AX dt dX 0 t exp 0 ttAt 证明 因为是的基本解矩阵 是其解 Attexp AX dt dX t 所以存在常向量使得 C CAtt exp 令 则 0 tt CAt0exp 所以 1 0 exp AtC 故 exp exp exp expexp 0 0 1 0 ttA AtAt AtAtt 精品文档 8欢迎下载 2 设和是方程的任意两个解 求 1 xy 2 xy 0 yxqy 证 它们的朗斯基行列式 其中 为常数 cxW c 证明 设在区间 上连续 由刘维尔公式可知 对任意 xqI 它们的朗斯基行列式满足 Ix 0 xW exp 0 10 x x dttaxWxWIx 0 而在方程中 所以0 yxqy0 1 xa 1 00 xWxWxW 即 cxW Ix 3 假设不是矩阵 的特征值 试证非齐线性方程组mA 有一解形如 其中是常数向量 mt CeAX dt dX mt Pet PC 证明 要证是解 就是要证能够确定常数向量 它使得 mt pet P mtmt mt CeAPe dt Ped 即 成立 mtmtmt CeAPePme 亦即 CAmEP 由于不是的特征值 故 从而存在逆矩阵 那mA0 AmEAmE 么可取向量 1 AmECP 这样方程就有形如的解 mt Pet 4 设及连续 试证方程为线性方程的 f x y y f 0 dxyxfdy 充要条件是它有仅依赖与 x 的积分因子 证明 先证必要性 设方程为线性方程 即0 dxyxfdy 0 dxxfyxpdy 所以 0 x N xp y M xp N x N y M 即它有仅依赖与 x 的积分因子 且 是其积分因子 exp dxxpx 再证充分性 因为在方程 中0 dxyxfdy 1 NyxfM 所以 0 x N y f y M 精品文档 9欢迎下载 y f N x N y M 如果它有仅依赖与 的积分因子 则是 的函数 设x y f x xp y f 关于 积分得 是 的可微函数 故方程y xfyxpyxf xfx 可表为 0 dxyxfdy 0 dxxfyxpdy 是线性方程 5 设在上连续 且 求证 方程 xf 0 0 lim xf x 的任意解均有 d d xfy x y xyy 0 lim xy x 证明 设为方程的任一解 它满足初始值条件 xyy 由常数变易法有 dsesfeeyxy xs x x xxxx 0 0 0 00 于是 0 0 0 0 e de lim e lim lim 0 xx x x xs x xx xx ssf y xy 0 发散若 收敛若 0 0 0 0 0 0 de 0 e e lim de 0 x xs xx xx x x xs ssf sf ssf 6 试证 若已知黎卡提方程的一个特解 则可用初等积分法求它 的通解 证明 设为黎卡提方程的一个特解 则 x 2 xrxxqxxp dx xd 令 则有zxy 2 xrzxxqzxxp dx dz dx xd 整理得 2 2 zxpzxqxxp dx dz 它是的伯努利方程 可用初等积分法求它的通解 2 n 7 阶齐线性方程一定存在 个线性无关解 nn 证明 设的系数矩阵在区间 上连续 任意取定XtA dt dX tAI 一点和 个线性无关的 维常向量 It 0 nn n 21 精品文档 10欢迎下载 对于每一个 以表示满足初始条ini 2 1 tXiXtA dt dX 件的解向量 ii tX 0 由存在与唯一性定理可知 此解向量在区间 上存在且有定义 I 由于常向量组是线性无关的 从而向量函 00201 tXtXtX n 数组于区间 上线性无关 21 tXtXtX n I 8 设是一阶非齐次线性方程于区间 上的任一解 xy I 是其对应一阶齐次线性方程于区间 上的一个非零解 则含有任 x I 意常数 的表达式 c xxcy 是一阶非齐次线性方程于区间 上的全部解的共同表达式 I 证明 将直接代入一阶非齐次线性方程 xxcy 可知 对任意常数 都是一阶非齐次 xfyxp dx dy c xxcy 线性方程的解 反之 设是一阶非齐次线性方程的任一解 则 0 xy 是其对应齐次方程的解 0 xxy 0 yxp dx dy 任取 由于是其对应一阶齐次线性方程Ix 0 x 于区间 上的一个非零解 所以 0 yxp dx dy I0 0 x 令 则 和都是其对应齐 00 1 0 xxyxc xc 0 xxy 次方程的解 并且在时取相同的值 故由初值问0 yxp dx dy 0 xx 题解的唯一性知 应有 即 0 xxyxC 0 xxCxy 9 设矩阵函数 在 a b 上连续 试证明 若nn 1 tA 2 tA 方程组与在 a b 上有相同的基本解组 XtA dt dX 1 XxA dt dX 2 则 1 tA 2 tA bax 证明 因为方程组与在 a b 上有相同的基本解XxA dt dX 2 组 所以可设是其基本解矩阵 t 从而有 1 batttA dt td 与 成立 1 batttA dt td 所以 21 batttAttA 精品文档 11欢迎下载 又由于是其基本解矩阵 所以 即可逆 故 t 0 det t t 1 tA 2 tA bax 10 证明 一个复值向量函数是 LH 的解 tivtutX 的充要条件 它的实部和虚部都是 LH 的解 tu tv 证明 设是的解 是实函数矩 tivtutX XtA dt dX tA 阵 则 tivtutAtivtu dt d 从而 tvtiAtutAtv dt d itu dt d 所以 且 tutAtu dt d tvtAtv dt d 即它的实部和虚部都是 LH 的解 tu tv 反之 若 成立 则 tutAtu dt d tvtAtv dt d tvtiAtutAtv dt d itu dt d 即向量函数是 LH 的解 tivtut 常微分方程期终考试试卷常微分方程期终考试试卷 1 1 一 填空题 30 1 方程 0M x y dxN x y dy 有只含x的积分因子的充要条件是 有只含 y 的积分因子的充要条件是 称为黎卡提方程 它有积分因子 称为伯努利方程 它有积分因子 若12 n X tXtXt 为n阶齐线性方程的n个解 则它们线性无关的充要条 件是 形如 的方程称为欧拉方程 若 t 和 t 都是 xA t x 的基解矩阵 则 t 和 t 具有的关系是 当方程的特征根为两个共轭虚根是 则当其实部为 时 零解是稳定的 对应 精品文档 12欢迎下载 的奇点称为 二 计算题 1 3 0ydxxydy sincos2xxtt 若 21 14 A 试求方程组xAx 的解 1 2 0 t 并求 expAt 32 480 dydy xyy dxdx 求方程 2 dy xy dx 经过 0 0 的第三次近似解 6 求 1 5 dxdy xyxy dtdt 的奇点 并判断奇点的类型及稳定性 三 证明题 n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解 试卷答案 一填空题 MN yx x N MN yx y M 2 dy p x yQ x yR x dx yyz n dy p x yQ x y dx 1 np x dx n u x yye 12 0 n w x t x tx t 1 11 1 0 nn n nn nn d yddy xaaa y dxdxdx tt C 零 稳定中心 二计算题 解 因为 1 1 MN yx 所以此方程不是恰当方程 方程有积分因子 2 2 ln 2 1 dy yy yee y 两边同乘 2 1 y 得 3 2 0 dxxy dy yy 精品文档 13欢迎下载 所以解为 3 2 1 x xyy dxdyc yyy 2 2 xy c y 即 2 2 xy yc 另外 y 0 也是解 线性方程0 xx 的特征方程 2 10 故特征根 i 1 sinf tt i 是特征单根 原方程有特解 cossin xt AtBt 代入原方程 A 1 2B 0 2 cos2ftt 2i 不是特征根 原方程有特解 cos2sin2xAtBt 代入原方程 1 3 A B 0 所以原方程的解为 12 11 cossincoscos2 23 xctctttt 解 2 21 690 14 p 解得 1 2 3 此时 k 11 2n 1 2 v 1 111233 22120 3 i tit i t t teAEe ti 由公式 expAt 1 0 in ti i t eAE i 得 333 101 11 exp 3 011 11 ttt tt AteEt AEete tt 解 方程可化为 3 2 8 4 dy y dx x dy y dx 令 dy p dx 则有 32 8 4 py x yp 两边对 y 求导 32232 2 4 8 4 dp y pypypy p dy 即 32 4 2 0 dp pyyp dy 由 20 dp yp dy 得 1 2 pcy 即 2 p y c 将 y 代入 2 2 2 4 cp x c 即方程的 含参数形式的通解为 2 2 2 2 4 cp x c p y c p 为参数 精品文档 14欢迎下载 又由 32 40py 得 1 2 3 4 py 代入 得 3 4 27 yx 也是方程的解 解 00 2 10 0 225 20 0 410725118 30 0 0 2 4220 4400202204400160 x x x y x yxdx xxx yxdx xxxxxxx yxdx 解 由 10 50 xy xy 解得奇点 3 2 令 X x 3 Y y 2 则 dx xy dt dy xy dt 因为 11 11 1 1 0 故有唯一零解 0 0 由 22 11 21 1220 11 得 1i 故 3 2 为 稳定焦点 三 证明题 由解的存在唯一性定理知 n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的 n 解 10200 10200 111 10200 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n nnn n x tx tx t x tx tx t xtxtxt 考虑 10200 100 010 10 001 n w x tx tx t 从而 1 2 i x t in 是线性无关的 常微分方程期终试卷 2 一 填空题 30 1 形如 的方程 称为变量分离方程 这里 yxf 分别为 x y 的连 续函数 2 形如 的方程 称为伯努利方程 这里 xxQxP为 的连续函数 n 可化为线性方程 是常数 引入变量变换 1 0 精品文档 15欢迎下载 3 如果存在常数 使得不等式 0 L 对于所有 称为利普希兹常数 都成立 LRyxyx 21函数 yxf 称为在 R 上关 于y满足利普希兹条件 4 形如 的方程 称为欧拉方程 这里 是常数 21 aa 5 设 是的基解矩阵 是 tAxxt tfxtAx 的某一解 则它的任一 解 可表为 t 二 计算题 40 1 求方程 的通解 2 6xy x y dx dy 2 求方程 xy e x y dx dy 的通解 3 求方程 t exxx 2 5 6 的隐式解 4 求方程 的第三次近似解 通过点 00 2 yx dx dy 三 证明题 30 1 试验证 t 12 2 t tt 是方程组 x tt 22 10 2 x x 2 1 x x 在任何不包含原点的区间 a bt 上的基解矩阵 2 设 t 为方程 x Ax A 为 n n 常数矩阵 的标准基解矩阵 即 0 E 证明 t 1 t0 t t0 其中 t0为某一值 常微分方程 期终试卷答卷 一 填空题 每空 5 分 1 yxf dx dy 2 n yxQyxP dx dy z n y 1 3 21 yxfyxf 21 yyL 4 0 1 1 1 1 1 ya dx dy xa dx yd xa dx yd x nn n n n n n n 5 ttt 二 计算题 每题 10 分 1 这是 n 2 时的伯努利不等式 令 z 1 y 算得dx dy y dx dz 2 代入原方程得到 xz xdx dz 6 这是线性方程 求得它的通解为 z 8 2 6 x x c 带回原来的变量 y 得到 y 1 8 2 6 x x c 或者 c x y x 8 86 这就是原方程的解 此外方程还有解 y 0 2 解 x yxe xye dx dy xy xy 精品文档 16欢迎下载 dxyxexdy xy dxxeydxxdy xy dxxedxy xy xdx e dxy xy 积分 cxe xy 2 2 1 故通解为 0 2 1 2 cex xy 3 解 齐线性方程 05 6 xxx 的特征方程为 056 2 5 1 21 故通解为 tt ecectx 5 21 2 不是特征根 所以方程有形如 t Aetx 2 把 tx 代回原方程 tttt eAeAeAe 2222 5124 21 1 A 于是原方程通解为 ttt eecectx 25 21 21 1 4 解 0 0 x x x dxxxx 0 2 2 01 2 202 5 0 2 2 12 xx dxxxx x 4400160202 1185 0 2 2 23 xxxx dxxxx x 三 证明题 每题 15 分 1 证明 令 t 的第一列为1 t t t 2 2 这时 1 t 2 2t tt 22 10 2 1 t 故1 t 是一个解 同样如果以2 t 表示 t 第二列 我们有2 t 0 1 tt 22 10 2 2 t 这样2 t 也是一个解 因此 t 是解矩阵 又因为 det t t 2 故 t 是基解矩阵 2 证明 1 t t t0 是基解矩阵 2 由于 t 为方程 x Ax 的解矩阵 所以 t 1 t0 也是 x Ax 的解矩阵 而当 t t0时 t0 1 t0 E t t0 0 E 故由解的存在唯一性定 理 得 t 1 t0 t t0 常微分方程期终试卷 3 一 解下列方程 10 8 80 精品文档 17欢迎下载 1 1 2xylnydx 2 x 2 y 2 1y dy 0 2 dx dy 6x y x 2 y 3 y 2 2 1 2 yx y 4 x y 22 yx y 5 5 tgydx ctydy 0 6 6 y x 2 x 2 y dx xdy 0 7 一质量为 m 质点作直线运动 从速度为零的时刻起 有一个和时间成正比 比例系数为 1 k 的力作用在它上面 此外质点又受到介质的阻力 这阻力和速度成正比 比例系 数为2 k 试求此质点的速度与时间的关系 8 已知 f x x dttf 0 1 x 0 试求函数 f x 的一般表达式 二 证明题 10 2 20 9 试证 在微分方程 Mdx Ndy 0 中 如果 M N 试同齐次函数 且 xM yN 0 则 1 yNxM 是该方程的一个积分因子 10 证明 如果已知黎卡提方程的一个特解 则可用初等方法求得它的通解 试题答案 1 1 解解 M y 2xlny 2x N y 2x 则 MN yx M 2 ln 2ln xy xyy 1 y 故方 程有积分因子 y 1dy y e 1 y 原方程两边同乘以 1 y 得 2lnxyy y dx 2 2 2 1y y y x dy 0 是恰当方程 d 2 x lny y 2 1y dy 0 两边积分得方 程的解为 2 x lny 3 2 12 3 1 y C 2 2 解解 1 y 0 是方程的特解 2 当 y 0 时 令 z 1 y 得 dz dx 6 x z x 这是线性方程 解得它的通解为 z 2 6 8 c x x 代回原来的变量 y 得方程解为 1 y 2 6 8 c x x y 0 精品文档 18欢迎下载 3 解解 令 x u 3 y v 2 可将原方程变为 dv du 2 2 v u v 再令 z v u 得到 z dz u u 2 2 1 z z 即 dz u u 2 2 1 1 z z z 分离变量并两端积分得 2 12 1 dz z z du u lnC 即 ln z 2arctgz ln u lnC ln zu 2arctgz lnC 代回原变量得 v C 2 v arctg u e 所以 原方程的解为 y 2 C 2 2 3 y arctg x e 4 4 解解 将方程改写为 y 2 1 x y x y 令 u x y 得到 x y x u u 则 变为 x dx du u 1 变量分离并两边积分得 arcsinu ln u lnC 故方程的解为 arcsinx y lnCx 5 5 解解 变量分离 ctgxdy tgydx 两边积分得 ln siny ln xcos C 或 sinycosx C 另外 由 tgy 0 或 ctgx 0 得 y k k 0 1 x t 2 t 0 1 也是方程 的解 tgy 0 或 ctgx 0 的解是 当 C 0 时的特殊情况 故原方程的解为 sinycosx C 6 解解 ydx xdy x 2 x 2 y dx 0 两边同除以 2 x 2 y 得 2 2 ydxxdy y x xdx 0 即 d arctg x y 1 2d 2 x 0 故原方程的解为 arctg x y 1 2 2 x C 7 解解 因为 F ma m dv dt 又 F 1F2F 12 tv kk 即 m dv dt 12 tv kk v 0 0 即 dv dt 12 tv kk v 0 0 解得 v 1 2 2 m k k 2t m k e 1 2 k k t 2 m k 精品文档 19欢迎下载 8 解解 令 f x y 1 f x 0 x f t dt 两边求导得 1 y y 即 1 y y y 即 3 1 dy y dx 两边求积得 2 1 y 2x C 从而 y 1 2xC 故 f x 1 2xC 9 9 证明证明 如 M N 都是 n 次齐次函数 则因为 x xM y yM nM x xN y yN nN 故有 MN y xMyNx xMyN 2 yyy xMyNM xNy xMyN NMM 2 xxx xMyNN xMy xMyN NNM 2 xxy M xyNN xy xMyN NNM 2 M nNN nM xMyN 0 故命题成立 10 10 解解 1 先找到一个特解 y y 2 令 y y z 化为 n 2 的伯努利方程 证明 因为 y y 为方程的解 所以 d y dx P x 2 y Q x y R x 1 令 y y z 则有 d y dx dz dx P x 2 y z Q x y z R x 2 2 1 得 dz dx P x 2 2 yz z Q x z 即 dz dx 2P x y Q x z P x 2 z 此为 n 2 的伯努利方程 常微分方程期终试卷 4 一 填空题 1 称为变量分离方程 它有积分因子 当 时 方程 0 dyyxNdxyxM 称为恰当方程 或称全 微分方程 函数 yxf 称为在矩形域 上关于y满足利普希兹条件 如果 精品文档 20欢迎下载 对毕卡逼近序列 1 xx kk 解线性方程的常用方法有 若 2 1 nitXi 为齐线性方程的n个线性无关解 则这一齐线性方程的所有解 可表为 方程组 xtAx 若 t 和 t 都是 xtAx 的基解矩阵 则 t 和 t 具有关系 当方程组的特征根为两个共轭虚根时 则当其实部 时 零解是稳定的 对应的奇点称为 当方程组的特征方程有两个相异的特征根时 则当 时 零解是渐 近稳定的 对应的奇点称为 当 时 零解是不稳定的 对应 的奇点称为 若 t 是 xtAx 的基解矩阵 则 xtAx tf 满足 0 tx 的解 二 计算题 求下列方程的通解 1sin4 xe dx dy y 1 1 22 dx dy y 求方程 2 yx dx dy 通过 0 0 的第三次近似解 求解下列常系数线性方程 0 xxx t exx 试求下列线性方程组的奇点 并通过变换将奇点变为原点 进一步判断奇点的类型及稳定 性 5 yx dt dy yx dt dx 三 证明题 设 t 为方程 Axx 为 nn 常数矩阵 的标准基解矩阵 即 0 E 证明 t 00 1 ttt 其中 0 t 为某一值 答案 一 填空题 形如 xgxf dx dy 的方程 1 yg u x N y M 存在常数 0 对于所有 Ryxyx 2 211 都有使得不等式 212 211 yyLyxfyxf 成立 k k h k ML 1 精品文档 21欢迎下载 常数变异法 待定系数法 幂级数解法 拉普拉斯变换法 1 txctx i n i i 其中 n ccc 2 1 是任意常数 n个线性无关的解 21 txtxtx n 称之为 xtAx 的一个基本解组 t t c bta c为非奇异常数矩阵 等于零稳定中心 两根同号且均为负实数 稳定结点 两根异号或两根同号且均为正实数 不 稳定鞍点或不稳定结点 dssfsttt t t 0 1 0 1 二 计算题 解 方程可化为 1sin4 xe dx de y y 令 y ez 得 xz dx dz sin4 由一阶线性方程的求解公式 得 xxx dx dx cexxcexxecdxxeez cos sin2 cos sin2 sin4 1 1 所以原方程为 y e x cexx cos sin2 解 设 tp dx dy sin 则有 tysec 从而 ctgtttdtctdttgt t x 2 secsec sin 1 故方程的解为 22 1 ycx 另外 1 y 也是方程的解 解 0 0 x 2 0 1 2 1 xxdxx x 52 0 4 2 20 1 2 1 4 1 xxdxxxx x dxxxxxdxxxxx xx 0 7104 0 252 3 20 1 400 1 4 1 20 1 2 1 81152 160 1 4400 1 20 1 2 1 xxxx 解 对应的特征方程为 01 2 解得 ii 2 3 2 3 2 1 22 1 1 所以方程的通解为 2 3 sin 2 3 cos 21 2 1 tctcex t 解 齐线性方程 0 xx 的特征方程为 01 3 解得 精品文档 22欢迎下载 2 31 1 3 21 i 故齐线性方程的基本解组为 ieieet 2 3 sin 2 3 cos 2 1 2 1 因为 1 是特征根 所以原方程有形如 t tAetx 代入原方程得 tttt eAteAteAe 3 所以3 1 A 所以原方 程的通解为 2 1 21 ececx t t teieci 3 1 2 3 sin 2 3 cos 2 1 3 解 05 0 yx yx 解得 2 3 y x 所以奇点为 2 3 经变换 3 3 yY xX 方程组化为 YX dt dy YX dt dx 因为 0 11 11 又 01 1 11 11 2 所以 ii 1 1 21 故奇点为稳定 焦点 所对应的零解为渐近稳定的 三 证明题 证明 t 为方程 Axx 的基解矩阵 0 1 t 为一非奇异常数矩阵 所以 t 0 1 t 也是方程 Axx 的基解矩阵 且 0 tt 也是方程 Axx 的基解矩阵 且都满足初始条件 t 0 1 t E Ett 0 00 所以 t 00 1 ttt 常微分方程期终考试试卷 5 一 填空题 30 分 1 xQyxP dx dy 称为一阶线性方程 它有积分因子 dxxP e 其通解为 2 函数 yxf 称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件 如果 3 若 x 为毕卡逼近序列 x n 的极限 则有 xx n 4 方程 22 yx dx dy 定义在矩形域 22 22 yxR 上 则经过点 0 0 的解 的存在区间是 5 函数组 ttt eee 2 的伏朗斯基行列式为 6 若 2 1 nitxi 为齐线性方程的一个基本解组 tx 为非齐线性方程的一个特解 则非齐线性方程的所有解可表为 精品文档 23欢迎下载 7 若 t 是 xtAx 的基解矩阵 则向量函数 t 是 tfxtAx 的 满足初始条件 0 0 t 的解 向量函数 t 是 tfxtAx 的满足初始条件 0 t 的解 8 若矩阵A具有n个线性无关的特征向量 n vvv 21 它们对应的特征值分别为 n 21 那么矩阵 t 是常系数线性方程组 Axx 的一个基解矩阵 9 满足 的点 yx 称为驻定方程组 二 计算题 60 分 10 求方程 0 1 24 322 dyyxdxyx 的通解 11 求方程 0 xe dx dy dx dy 的通解 12 求初值问题 0 1 22 y yx dx dy 1 11 yxR 的解的存在区间 并求第二次近似 解 给出在解的存在区间的误差估计 13 求方程 ttxx3sin9 的通解 14 试求方程组 tfAxx 的解 t 1 34 21 1 1 0 t e tfA 15 试求线性方程组 52 1972 yx dt dy yx dt dx 的奇点 并判断奇点的类型及稳 定性 三 证明题 10 分 16 如果 t 是 Axx 满足初始条件 0 t 的解 那么 exp 0 ttAt 常微分方程期终考试试卷答案 一 填空题 30 分 1 cdxexQey dxxPdxxP 2 yxf 在R上连续 存在 0 L 使 2121 yyLyxfyxf 对于任 意 Ryxyx 21 3 1 1 n n h n ML 4 4 1 4 1 x 精品文档 24欢迎下载 5 ttt ttt ttt eee eee eee 2 2 2 4 2 6 1 txtxctx i n i i 7 dssfst t t 1 0 dssfsttt t t 0 1 0 1 8 n ttt veveve n 21 21 9 0 0 yxYyxX 二 计算题 60 分 10 解 yx x N yx y M 22 6 8 yM x N y M 2 1 积分因子 2 1 2 1 yey dy y 两边同乘以 y 后方程变为恰当方程 0 1 24 3 2 1 3 2 2 dyyxydxyx 3 2 2 4yxM x u 两边积分得 3 4 2 3 3 yyxu 2 1 2 1 3 2 1 3 22 2 yyxNyyx y u 得 2 1 4 yy 因此方程的通解为 cyxy 3 3 2 1 11 解 令 py dx dy 则 0 xep p 得 p epx 那么 dpeppdxy p 1 cepe p pp 2 2 因此方程的通解为 cep p y epx p p 1 2 2 12 解 4 max yxfM Ryx byyaxx 1 1 00 4 1 min M b ah 解的存在区间为4 1 1 0 hxxx 精品文档 25欢迎下载 即4 3 4 5 x 令 0 00 yx 3 1 3 0 3 1 2 1 x dxxx x 42 11 918633 3 1 3 0 473 1 2 3 2 2 xxxx dx x xx x 又 Ly y f 22 误差估计为 24 1 1 1 2 n n h n ML xx 13 解 ii3 309 21 2 i 3 是方程的特征值 设 it eBAtttx 3 得 it eAtBiAitBtAx 32 961292 则 tBiAitA 6122 得 36 1 12 1 BiA 因此方程的通解为 tttttctctx3sin 36 1 3cos 12 1 3sin3cos 2 21 14 解 0 5 1 34 21 det AE 5 1 21 0 11 vAE 得 1 v 取 1 1 1 v 0 22 vAE 得 2 2 v 取 2 1 2 v 则基解矩阵 tt tt ee ee t 5 5 2 t t tt tt e e ee ee t 1 1 2 1 2 1 01 2 0 5 5 1 5 1 2 1 10 3 5 2 4 1 20 3 5 5 1 0 tt tt t t ee ee dssfst 因此方程的通解为 t t dssfsttt 0 0 11 精品文档 26欢迎下载 5 1 2 1 10 3 5 2 4 1 20 3 5 5 ttt ttt eee eee 15 解 3 1 052 01972 y x yx yx 1 3 是奇点 令2 5 2 19 yYxX Yx dt dY yX dt dX 2 72 0 2 3 0 72 21 72 那么由 0 2 3 0 72 21 72 2 可得 ii3 3 21 因此 1 3 是稳定中心 三 证明题 10 分 16 证明 由定理 8 可知 dssfstttt t t 0 1 0 1 又因为 exp exp exp 0 1 00 1 AtAttAtt 0 sf 所以 exp exp 0 AtAtt 又因为矩阵 00 AtAtAtAt 所以 exp 0 ttAt 常微分方程期终考试试卷 6 三 填空题 共 30 分 9 小题 10 个空格 每格 3 分 1 当 时 方程 M x y dx N x y dy 0 称为恰当方程 或称全 微分方程 2 称为齐次方程 3 求 dx dy f x y 满足 00 yx 的解等价于求积分方程 的连续解 4 若函数 f x y 在区域 G 内连续 且关于 y 满足利普希兹条件 则方程 yxf dx dy 的 解 y 00 yxx 作为 00 yxx 的函数在它的存在范围内是 5 若 321 txtxtx 为 n 阶齐线性方程的 n 个解 则它们线性无关的充要条件是 6 方程组 xtAx 的 称之为 xtAx 的一个基本解组 精品文档 27欢迎下载 7 若 t 是常系数线性方程组 Axx 的基解矩阵 则 expAt 8 满足 的点 y x 称为方程组的奇点 9 当方程组的特征根为两个共轭虚根时 则当其实部 时 零解是稳定 的 对应的奇点称为 二 计算题 共 6 小题 每题 10 分 1 求解方程 dx dy 3 1 2 yx yx 2 2 解方程 2x 2y 1 dx x y 2 dy 0 3 讨论方程2 3 dx dy 3 1 y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件 并求通过点 0 0 的一切解 4 求解常系数线性方程 texxx t cos32 5 试求方程组 Axx 的一个基解矩阵 并计算 34 21 为其中Ae At 6 试讨论方程组 cy dt dy byax dt dx 1 的奇点类型 其中 a b c 为常数 且 ac 0 三 证明题 共一题 满分 10 分 试证 如果 Axxt 是 满足初始条件 0 t 的解 那么 t 0 ttA e 常微分方程期末考试答案卷 一 一 填空题 30 分 1 x yxN y yxM 2 x y f dx dy 3 y 0 y dxyxf x x 0 4 连续的 5 w 0 21 txtxtx n 6 n 个线性无关解 7 0 1 t 8 X x y 0 Y x y 0 9 为零 稳定中心 二 计算题 60 分 1 解 x y 1 dx x 2 y 3 dy 0 xdx ydx xdy dx 2 y dy 3dy 0 即2 1 d 2 x d xy dx 3 3 1 dy 3dy 0 所以 Cyyxxyx 3 3 1 2 1 32 精品文档 28欢迎下载 2 解 2 1 2 yx yx dx dy 令 z x y 则dx dy dx dz 1 2 1 2 12 1 z z z z dx dz dxdz z z 1 2 所以 z 3ln z 1 x 1 C ln 3 1 z x z 1 C 即 yx Ceyx 23 1 3 解 设 f x y 2 3 3 1 y 则 0 2 1 3 2 yy y f 故在 0 y 的任何区域上 y f 存在且连续 因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件 显然 0 y 是通过点 0 0 的一个解 又由2 3 dx dy 3 1 y 解得 y 2 3 cx 所以 通过点 0 0 的一切解为 0 y 及 y 是常数0 0 2 3 ccxcx cx 4 解 1 i 21 032 2 1 2 齐次方程的通解为 x 2sin2cos 21 tctcet 2 i 1 不是特征根 故取 t etBtAx sincos 代入方程比较系数得 A 41 5 B 41 4 于是 t ettx sin 41 4 cos 41 5 通解为 x 2sin2cos 21 tctcet t ett sin4cos5 41 1 5 解 det AE 054 34 21 2 所以 5 1 21 设 1 1 对应的特征向量为1 v 由 0 1 1 0 44 22 11 vv可得 取 2 1 1 1 21 vv同理取 精品文档 29欢迎下载 所以 t 2 5 1 veve tt tt tt ee ee 5 5 2 tttt tttt tt tt tt tt At eeee eeee ee ee ee ee te 55 55 5 5 1 5 5 1 222 2 3 1 11 12 23 1 21 11 2 0 6 解 因为方程组 1 是二阶线性驻定方程组 且满足条件 0 0 ac c ba 故奇点为原点 0 0 又由 det A E 0 0 2 acca c ba 得 ca 21 所以 方程组的奇点 0 0 可分为以下类型 a c 为实数 不稳定结点 稳定结点 奇点为奇结点 奇点为退化结点 奇点为鞍点 不稳定 不稳定结点 稳定结点 奇点为结点 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ca ca b b ca ac ca ca ac ca 三 证明题 10 分 证明 设 t 的形式为 t Ce At 1 C 为待定的常向量 则由初始条件得 0 t Ce At0 又 1 0 At e 0 At e 所以 C 1 0 At e 0 At e 代入 1 得 t 00 ttAAtAt eee 即命题得证 常微分方程期终试卷常微分方程期终试卷 7 7 一 选择题一 选择题 1 1 n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 个 个 A A n B B n 1 1 C C n 1 1 D D n 2 2 2 2 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件 条件 A A 充分 充分 B B 必要 必要 C C 充分必要 充分必要 D D 必要非充分 必要非充分 3 3 方程方程 2 1 d d y x y 过点过点 1 2 共有 共有 个解 个解 A A 一 一 B B 无数 无数 C C 两 两 D D 三 三 精品文档 30欢迎下载 4 4 方程 方程 xxy x y d d 奇解 奇解 A A 有一个 有一个 B B 有两个 有两个 C C 无 无 D D 有无数个 有无数个 5 5 方程 方程