2013年高考数学压轴题突破训练--数列(含详解).doc

高考数学压轴题突破训练：数列1. 已知数列为等差数列，每相邻两项，分别为方程，（是正整数）的两根. w（1）求的通项公式;（2）求之和;（3）对于以上的数列an和cn,整数981是否为数列中的项？若是,则求出相应的项数；若不是,则说明理由.2. 已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上（） 求数列的通项公式；（） 设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.3. 已知函数，数列是公差为d的等差数列，数列是公比为q的等比数列（q1，），若， （1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，对都有求 4. 各项均为正数的数列an的前n项和Sn,函数（其中p、q均为常数，且pq0），当时，函数f(x)取得极小值，点均在函数的图象上，（其中f(x)是函数f(x)的导函数） （1）求a1的值； （2）求数列的通项公式； （3）记的前n项和Tn.5. 已知函数且任意的、都有 （1）若数列 （2）求的值.6. 已知函数，若数列：成等差数列.(1)求数列的通项；(2)若，令，求数列前项和；(3)在(2)的条件下对任意，都有，求实数的取值范围.7. 已知函数，当时，（1） 证明：（2） 若，求实数的值。（3） 若，记的图象为C，当时，过曲线上点作曲线的切线交轴于点，过点作切线交轴于点，依次类推，得到数列，求8. 设函数 （1）若在定义域内为单调函数，求的取值范围； （2）证明：； 11. 已知，数列满足，。（）（1） 判断并证明函数的单调性；（2） 数列满足，为的前项和。证明： 。12. 已知数列的前项和为，若， （1）证明数列为等差数列，并求其通项公式; （2）令，当为何正整数值时，：若对一切正整数，总有，求的取值范围。14. 设是两个数列，点为直角坐标平面上的点.（）对若三点共线，求数列的通项公式； （）若数列满足：，其中是第三项为8，公比为4的等比数列.求证：点列(1，在同一条直线上，并求出此直线的方程.15. 已知数列中，且是函数的一个极值点。（1）求数列的通项公式；（2）若点Pn的坐标为，过函数图象上的点的切线始终与平行（点O为坐标原点）；求证：当时，不等式对成立。16. 函数的反函数为，数列满足：，数列满足：，（1）求数列和的通项公式；（2）记，若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围.17. 已知曲线y=，过曲线上一点（异于原点）作切线。（I）求证：直线与曲线y=交于另一点；（II）在（I）的结论中，求出的递推关系。若，求数列的通项公式；（III）在（II）的条件下，记，问是否存在自然数m，M，使得不等式mRnM对一切n恒成立，若存在，求出Mm的最小值；否则请说明理由。20. 已知，数列满足， （）求证：数列是等比数列； （）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；（III）若对任意恒成立，求实数的取值范围21. 以数列的任意相邻两项为坐标的点均在一次函数的图象上，数列满足条件：，（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列，的前n项和分别为，若，求的值.22. 已知函数，若数列：成等差数列.(1)求数列的通项；(2)若，令，求数列前项和；(3)在(2)的条件下对任意，都有，求实数的取值范围.24. 已知函数（）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；（）若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且，已知a1 = 4，求证：an 2n + 2；（）在（）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由答案1.解：(1) 设等差数列的公差为d，由题意得 由 得 由 另解:由 得 (其余略)(2) (10分) (3) n是正整数, 是随n的增大而增大,又 981, 981 整数981不是数列中的项. 2.解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.3.解：（1）数列为等比数列， 为等比数列，又，解得d2， 又为等比数列， 而， （2）由 -得 对于，知其为等比数列 ， 4.解：（I）解： 令 当x=变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：（0，）（，1）1（1，+）f(x)+00+f(x)极大值极小值 所以f(x)在x=1处取得最小值，即a1=1.（II）， 由于a1=1，所以 . 又。 得 ，所以an是以a1=1，公差为的等差数列，. （）5.解：（1） 而 （2）由题设，有又得上为奇函数. 由得 于是故 6.解：(1) 由求得，所以，求得.(2) ，错位相减得(3) ，所以为递增数列. 中的最小项为，所以.7.解：（1）证明：由即8.解：（1）在单调，或在恒成立， 即或在恒成立， 或1 （2） 设=，则，当时，=0 当时，0 递增，当时，0 递减， =0 即（0） 由， 又 左边= 右边 原不等式成立9.解：入世改革后经过n个月的纯收入为万元 不改革时的纯收入为 又 （7分）由题意建立不等式 即 答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入 10.解：（I）得 设 在R上单调递增 （II） （III） 又f（x）为奇函数，且在R上为单调增函数 当 欲使上有解 （10分）即 即 11.解：（1）0，仅当时，故在R上单调递增。（2）为奇函数，,由（1）知当时，,即也就是在上恒成立。由已知得所以所以=12.解：（1）令，即 由 ，即数列是以为首项、为公差的等差数列， （2），即 ，又时，各项中数值最大为，对一切正整数，总有恒成立，因此13.解：（） 当时，不同的染色方法种数 ， 当时，不同的染色方法种数 ， 当时，不同的染色方法种数 ， 当时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形不同的染色方法种数 。（）依次对扇形区域染色，不同的染色方法种数为，其中扇形区域1与不同色的有种，扇形区域1与同色的有种 （）将上述个等式两边分别乘以，再相加，得，从而。（）证明：当时，当时， ，当时， ，故14.解：（）因三点共线, 得故数列的通项公式为 （）由题意 由题意得 当时，.当n=1时，也适合上式， 因为两点的斜率为常数 所以点列（1，在同一条直线上， 且方程为：，即. 15.解：（1），时，综上 （2）由得 ，16.解：（1），即，数列是以为首项，公差为1的等差数列，即 由于， 两式相减得，当时，即， 它对也适合， （2） ，得 ， 由可得，对一切都有的的取值范围为17.解：（I）y= （II） （III）得： 此时M=2，m=018.解：（I）（1）当时，命题成立。 （2）假定时命题成立，即 那么， 因此，当时，命题也成立 综合（1）（2）对任何自然数n命题都成立 （II）， 19.解：（1）由表知，每年比上一年多造林400亩. 因为1999年新植1400亩，故当年沙地应降为亩，但当年实际沙地面积为24000亩，所以1999年沙化土地为200亩. 同理2000年沙化土地为200亩.所以每年沙化的土地面积为200亩（2）由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩. 设2000年及其以后各年的造林亩数分别为、，则n年造林面积总和为： 由题意： 化简得 解得： 故8年，即到2007年可绿化完全部沙地.20.解：（I）， 即又，可知对任何，所以， 是以为首项，公比为的等比数列（II）由（I）可知= （） 当n=7时，； 当n7时，当n=7或n=8时，取最大值，最大值为 （III）由，得 （*） 依题意（*）式对任意恒成立， 当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意 当t0时，由，可知（） 而当m是偶数时，因此t0时，由（）, （） 设 （） =,的最大值为所以实数的取值范围是21.解：（1）依题意 ，（*） ， ， . 数列是以b1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得，又由（1）中的（*）式得：， ， 由，得： 解得：.22.解：(1) 由求得，所以，求得.(2) ，错位相减得(3) ，所以为递增数列. 中的最小项为，所以.23.解：由得，可求得.(2) ，所以.设，要使在其定义域内单调，只要在满足或恒成立.分三种情况求得：或.(3)(i)设，则.易知当时取极大值点，所以，即有.(ii) 又，有，令得. 2