齐次化原理的应用毕业论文.doc

西南交通大学本科毕业设计(论文) 第页齐次化原理的应用毕业论文目 录第1章绪论11.1 齐次化原理11.2 论文研究的主要内容及意义1第2章常微分方程的求解与齐次化原理的应用32.1 用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程32.2 齐次化原理与一阶线性微分方程的求解42.3 齐次化原理的推广62.4 小结7第3章波动方程的求解与齐次化原理的应用83.1 初值问题的求解83.1.1 齐次初值问题的求解83.1.2 非齐次初值问题的求解与齐次化原理的应用103.2 初边值问题的求解143.2.1 齐次初边值问题的求解143.2.2 非齐次初边值问题的求解与齐次化原理的应用173.3 非齐次边界条件下齐次化原理的应用203.4 小结20第4章热传导方程的求解与齐次化原理的应用224.1 初值问题的求解224.1.1 齐次初值问题的求解224.1.2 非齐次初值问题的求解与齐次化原理的应用234.2 初边值问题的求解254.1.1 齐次初边值问题的求解254.1.2 非齐次初值问题的求解与齐次化原理的应用274.3 其他边界条件下齐次化原理的应用294.4 小结31结论32致谢33参考文献34附录35 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第37页第1章 绪论齐次化原理可以广泛地应用于各种微分方程的求解中，研究其在不同微分方程求解过程中的具体应用，有助于我们更好地求解微分方程。1.1 齐次化原理齐次化原理也称之为Duhamel原理，从物理的角度还可以称之为冲量原理，是法国分析学和应用数学家J.M.C.Duhamel提出的求解线性偏微分方程的一种方法。利用它可以使非齐次方程的求解归结为相应的齐次方程的求解，类似于常微分方程中的常数变易法。齐次化原理最初被广泛地应用于非齐次线性双曲型以及抛物型偏微分方程的求解中，对于数学物理方程等学科的研究具有重要意义。此后，齐次化原理被推广应用到了非齐次线性常微分方程以及常微分方程组的求解中。于是齐次化原理对于非齐次的常微分方程的求解也具有很大的研究意义。1.2 论文研究的主要内容及意义本毕业论文主要围绕齐次化原理在各种微分方程求解中的应用来展开讨论。在偏微分方程中，波动方程、热传导方程以及调和方程是三个具有很强实际背景意义的二阶线性偏微分方程，研究这三类方程的求解对于整个偏微分方程都有着重大意义。而对于调和方程，一般都用函数对其进行求解，本文不予以讨论。在偏微分方程方面，本论文重点介绍齐次化原理在波动方程以及热传导方程的初值问题以及初边值问题求解过程中的应用。此外，对于波动方程、热传导方程的初值以及初边值问题的齐次情形，本文也给出了详细的求解过程。齐次化原理也是求解非齐次线性常微分方程的一种方法，于是本文也就常微分方程以及方程组的求解与齐次化原理的应用进行了概要性的描述。本论文的主要内容共有3章，分别是线性常微分方程、波动方程以及热传导方程的求解与齐次化原理的应用。本论文第一章是绪论。第二章主要研究一阶线性常微分的求解与齐次化原理的应用。首先用最熟知的常数变易法求解一阶线性非齐次常微分方程，并在已知初值条件情况下，求出满足条件的解；然后用齐次化原理将已知初值条件的一阶线性非齐次方程的求解转化为相应的齐次方程来求解，最终得出非齐次方程的解。两种方法得出的结论是一致的。在这一章中，齐次化原理还被推广到了高阶线性常微分方程以及方程组的求解中。第三章是波动方程的求解与齐次化原理的应用。本章主要论述了波动方程初值问题以及初边值问题的求解。在初值问题的求解中，首先运用达朗贝尔解法给出齐次方程的求解，并得出了达朗贝尔表达式。在非齐次初值问题中，引出并证明了齐次化原理，然后应用齐次化原理将非齐次方程转化为齐次方程进行求解，然后根据叠加原理最终得出了非齐次方程的解，并对其进行了验证。类似于初值问题，波动方程的初边值问题也是首先求出齐次方程的解，用的是分离变量的方法。对于非齐次方程，也是利用齐次化原理进行了转化，最终得出非齐次方程的解，并进行了验证。本章的最后还对非齐次边界条件的非齐次方程的求解与齐次化原理的应用进行了概要性讨论。第四章主要论述的是热传导方程的求解与齐次化原理的应用。对于热传导方程，一般是利用傅里叶变换来求解的，但是对于非齐次的情形，傅里叶变换则显得颇为复杂，于是本论文利用齐次化原理对其进行求解，简化了求解过程。对于热传导方程的齐次初值问题本论文利用傅里叶变换得出解的表达式，进而求解非齐次初值问题时，引入齐次化原理并对其进行验证，证明齐次化原理在热传导方程求解中依然成立，然后利用齐次化原理得出了非齐次方程的解。对于初边值问题，类似于波动方程，运用分离变量法对齐次问题进行了求解，再利用齐次化原理得出非齐次情形的解。本章的最后也对在其他边界条件下齐次化原理的应用进行了简要的论述。本论文对齐次化原理的应用进行了详细的研究与归纳，基于本身知识的欠缺，本论文肯定存在一定的不足，但是对于齐次化原理在线性常微分方程（组）以及波动方程、热传导方程的求解中，本论文还是有着重要的研究价值与实际意义的。第2章常微分方程的求解与齐次化原理的应用 常微分方程在整个数学学科中，占据着极其重要的地位，在现实生活中，存在着大量满足常微分方程的数学模型，人们可以通过应用这样的模型来解决未知的问题。所以常微分是可以解决很多实际问题的一种重要工具。这样的一种性质，直接决定了掌握常微分方程求解方法的重要性。常微分方程一般可以分为线性以及非线性微分方程，本章就线性微分方程的求解与齐次化原理的应用进行讨论。本章首先运用常数变易法求出一阶线性非齐次微分方程的通解以及在已知初始条件情况下满足方程的特解，然后引出齐次化原理再予以证明，随后运用齐次化原理求出满足方程以及初始条件的解，两种方法得出的结论是一致的。最后将齐次化原理进行推广，将其应用到了高阶线性非齐次微分方程以及线性方程组的求解中。2.1 用常数变易法求解一阶线性非齐次常微分方程常数变易法是求解线性非齐次常微分方程最常用的一种方法，具体过程是在求出相应的齐次方程通解后，再将齐次方程通解中的常数变易为待定函数，最后得出满足非齐次方程的通解。下面，我们用常数变易法求解一阶线性非齐次常微分方程。一阶线性非齐次常微分方程具有以下形式， （2.1.1）其中，是的连续函数。首先求出齐次方程的通解。通过分离变量，得到两边积分，其中为任意常数。于是，令，得到 （2.1.2）其中为任意常数。下面运用常数变易法，求解非齐次方程（2.1.1）的通解。在（2.1.2）中，令常数变易为的函数，于是可得到 （2.1.3）对其进行微分，可得 （2.1.4）把（2.1.3）及（2.1.4）代入到（2.1.1），即得到，即，两边积分后，得，把得到的代入（2.1.3）就可得到方程（2.1.1）的通解， （2.1.5）其中为任意常数特别的，如果方程（2.1.1）给出了初始条件，则满足这个初始条件的解为， （2.1.6）2.2 齐次化原理与一阶线性非齐次微分方程的求解在上一节中，我们用常数变易法求解出了一阶线性非齐次微分方程的通解，并求出了满足初始条件的解。下面我们引出齐次化原理，并用其求解满足初始条件的一阶方程的解。齐次化原理若是齐次方程 （2.2.1）的解，那么则是非齐次方程 （2.2.2）的解。下面验证齐次化原理是成立的。在方程（2.2.1）中，由，容易得出 （2.2.3）令，代入（2.2.3）即可得到 （2.2.4）并由方程（2.2.1）的初值条件可知， （2.2.5）于是方程（2.2.1）的解为 （2.2.6）设方程（2.2.2）的解 （2.2.7）于是，于是，这就证明了 （2.2.8）是方程（2.2.2）的解，且满足。证明完毕。根据叠加原理，我们把方程（2.2.1）与（2.2.2）的解叠加起来便成为了方程的通解，即于是我们就可以得到方程 （2.2.9）的解为， （2.2.10）对比用常数变易法求出的结论（2.1.6）与用齐次化原理得出的结论（2.2.10），我们可以看到两个结果是相同的，故这也证明了齐次化原理在一阶线性常微分求解中是可行的，而且比起常数变易法，齐次化原理要更简单直接。2.3 齐次化原理的推广齐次化原理不仅仅可以用于求解一阶线性非齐次微分方程，还可以应用于高阶线性非齐次微分方程以及方程组的求解。本节将概要介绍齐次化原理在高阶线性非齐次微分方程以及高阶线性非齐次方程组求解过程中的应用。1） 若是方程的解，则就是的解。 证明：2）若是线性方程组 （1）的解，则是方程组 （2）的解。其中，证明：类似于求解一阶线性常微分的方法，通过齐次化原理，我们可以得到以下结论：若是方程组（1）的基解矩阵，那么它的通解是，于是（1）的解就是，。由齐次化原理得（2）的解可以表示为。根据叠加原理，可以求出初值问题的解为，这个结论与大家熟知的常数变易公式是一致的。注：齐次化原理还可以应用于非齐次常系数微分方程的求解中，本文不予以讨论。2.4 小结齐次化原理对于线性非齐次常微分方程（组）的求解是一种很有用的工具，对于非齐次微分方程（组），只需求解出相应的齐次方程（组）就可以得到非齐次方程（组）的解，省去了很多繁琐的求解过程。除此之外，齐次化原理更广泛应用于偏微分方程的求解中，以下的章节将具体介绍齐次化原理在波动方程以及热传导方程的求解中的应用。第3章波动方程的求解与齐次化原理的应用在上一章中，我们介绍了在一阶线性非齐次常微分方程求解过程中齐次化原理的应用，并且把齐次化原理推广到了高阶线性非齐次微分方程以及方程组的求解中。本章以后的内容主要介绍齐次化原理在线性非齐次偏微分方程求解过程中的应用。在数学物理方程的学科中，波动方程、热传导方程以及调和方程是三个具有很强实际背景意义的二阶线性偏微分方程，并且它们分别属于双曲方程、抛物方程以及椭圆方程的范畴。研究这几个方程的求解对于其他偏微分方程的求解具有重要意义。齐次化原理被广泛应用于非齐次波动方程以及热传导方程的求解中，于是本章就波动方程的求解与齐次化原理的应用展开讨论。本章重点介绍在波动方程的初值问题（柯西问题）以及初边值问题（混合问题）的求解过程中，如何应用齐次化原理将非齐次的方程的求解转化为相应的齐次方程求解，从而求出非齐次方程解的表达式。最后本章对齐次化原理的应用进行了推广，考虑在非齐次边界条件下如何构造辅助函数将边界齐次化，再应用齐次化原理求解方程。我们知道在微分方程的求解中，齐次方程的解往往是非齐次方程求解的基础，故本章针对波动方程的初值以及初边值问题的求解，都最先从齐次方程的求解开始讨论。3.1 波动方程的初值问题的求解为了求解波动方程的定解问题，我们先从最简单的入手，即初值问题。波动方程的初值问题也称为柯西问题，其定解条件只有初始条件，下面我们来探讨齐次初值问题的求解。3.1.1 齐次初值问题的求解齐次波动方程的初值问题具有以下形式， （3.1.1）要求解这个方程，我们可以通过变换自变量的方法，首先引入新的自变量，根据复合函数求导法则，可求得同理可得，于是，从而方程（3.1.1）中的泛定方程可化为， （3.1.2）容易看出，方程（3.1.2）的通解可表示为，则，方程（3.1.1）中的泛定方程通解为， （3.1.3）于是， （3.1.4） （3.1.5）对（3.1.5）积分可得， （3.1.6）其中，为常数，为任意一点。由（3.1.4）、（3.1.6）可解出： （3.1.7）把代入（3.1.3），就可得到（3.1.1）的解，这个表达式也称之为达朗贝尔公式。3.1.2 非齐次初值问题的求解与齐次化原理的应用在上一小节中，我们通过达朗贝尔解法求出了齐次波动方程的初值问题解的表达式，下面我们就引出齐次化原理进一步求解非齐次方程的初值问题。非齐次波动方程的初值问题具有以下形式， （3.1.8）由于上述方程是线性的，故我们可以利用叠加原理进行求解。首先将方程（3.1.8）分解为：（i）（ii）若已知方程（i）的解为，（ii）的解为，则根据叠加原理，（3.1.8）的解可表示为对于方程（i），我们利用上一节的结论，可以直接得出它的解为， （3.1.9）于是我们下面就只要求出方程（ii）的解，首先引出齐次化原理。（1）齐次化原理若是齐次方程 （3.1.10）的解，那么是方程 （3.1.11）的解。为了验证齐次化原理，我们首先引入含参变量积分的微分公式。若函数及其偏导数在区域，上连续，则在上可微，且都有，。本公式的证明见附录1。下面验证齐次化原理，在方程（3.1.11）中，、当时，、由含参变量积分的微分公式得，当时，、同理可得，证明完毕。通过验证，我们可以得出齐次化原理的可行性，下面我们就利用这个原理来解决在波动方程求解中将的非齐次方程转化为相应的齐次方程来进行求解的问题。（2）非齐次方程的求解与齐次化原理的应用对于初值问题（ii），我们可以利用齐次化原理把非齐次方程转化为相应的齐次方程来求解。即，若已知是齐次方程 （3.1.12）的解，那么便是初值问题（ii）的解。在方程 （3.1.12）中，令，则方程便可转化为， （3.1.13）容易看出，（3.1.13）与初值问题（i）是同类问题，于是下面我们直接应用达朗贝尔求解公式求出方程（3.1.13）的解，再替换变量得到（3.1.12）的解，即。由达朗贝尔公式可知，（3.1.12）的解为，于是根据齐次化原理，就得出初值问题（ii）的解，即 （3.1.14）下面验证（3.1.14）是初值问题（ii）的解，由含参变量积分的微分公式，可得到，于是有，又容易得知，于是可以证明，就是初值问题（ii）的解。综上可知，方程（3.1.8）的解由叠加原理可以表示为，在非齐次波动方程的初值问题求解中，首先将方程分解简化为泛定方程齐次、初始条件非齐次及泛定方程非齐次、初始条件齐次的两个方程。然后通过齐次化原理，将非齐次方程转化为相应的齐次方程，并且求出了齐次方程的解的表达式，即达朗贝尔公式。应用达朗贝尔公式及齐次化原理得出了非齐次的解的表达式。最后通过叠加原理，得出了方程的最终解的表达式。3.2 波动方程初边值问题的求解上一节我们研究了在波动方程的初值问题中，如何运用齐次化原理将非齐次方程转化为相应的齐次方程进行求解的问题。在初边值问题中，齐次化原理同样成立。下面我们继续讨论在波动方程的初边值问题中，如何运用齐次化原理将非齐次方程转化为其相应的齐次方程，并求出方程解的表达式。3.2.1 齐次波动方程初边值问题的求解类似于上一节初值问题的求解，我们先解决齐次方程初边值的求解问题。齐次波动方程的初边值问题具有以下形式， （3.2.1）由于边界条件是齐次的，所以可以运用分离变量法对其进行求解。在方程（3.2.1）中，令 （3.2.2）其中， 是仅与相关的函数，是仅与相关的函数。将（3.2.2）带入方程（3.2.1），则有，于是存在一个常数，使得 （3.2.3）成立。于是就可以得到两个常微分方程 （3.2.4）以及， （3.2.5）再考虑相关的边界条件，于是就有方程 （3.2.6）对于方程（3.2.6）的解，随着以及的不同情况而不同，于是我们分三种情况讨论它的解。1） 当时，方程（3.2.6）的通解可以表示为，要让它满足边界条件，则有由于于是只能有，即方程只有平凡解。2） 当时，方程的通解可以表示为，要使其满足边界条件，则只有3） 当时，方程的通解有以下形式，由边界条件可得。再由可知，若，则只有于是就有， （3.2.7）从而可得到一组非零解 （3.2.8）然后将代入到方程（3.2.4）中，就可以得到它的通解， （3.2.9）其中，为任意常数。于是有这样方程（3.2.1）的解就可以写成 （3.2.10）下面我们求出满足初始条件的。对关于进行求导，可得于是根据方程的初始条件，有根据傅里叶级数性质，有将代入（3.2.10）即可得到方程（3.2.1）的用级数形式表示的解。3.2.2 非齐次波动方程初边值问题的求解与齐次化原理的应用在上一节中，我们通过运用分离变量法成功求解出齐次波动方程初边值问题解得表达式，然而在非齐次的情况下，我们还是要先将非齐次方程转化成相应的齐次方程来进行处理。本节内容重点介绍如何应用齐次化原理解决非齐次波动方程。在本节中，我们同样首先把方程化简为一个齐次方程与一个非齐次方程，再运用齐次化原理把非齐次方程的求解转化为相应的齐次方程的求解，即通过分离变量法求出齐次方程的解，进而得出非齐次方程的解，最后通过叠加原理得到最终的解的表达式。非齐次波动方程的初边值问题具有以下形式： （3.2.11）方程是线性的，同样可以应用叠加原理进行求解，从而我们可以把方程分解为，（I）（II）于是，若已知（I）与（II）的解分别为，则方程（3.2.11）的解为，对于方程（I），我们可以直接利用（3.2.10）的结论，得出它的解为： （3.2.12）其中，下面我们引出齐次化原理，并求解方程（II）。（1）齐次化原理若是初边值问题 （3.2.13）的解，则是方程 （3.2.14）的解。在波动方程的初值问题中，我们已经验证了齐次化原理是成立的。接下来我们只需验证当时，的值即可。因为，所以所以，齐次化原理在波动方程的初边值问题中也是成立的。（2）非齐次方程的求解对方程（II）应用齐次化原理，可知，若是初边值问题 （3.2.13）的解，则就是方程（II）的解。在方程（3.2.13）中，令，则方程便可化为 （3.2.14）由于方程（3.2.14）的泛定方程与边界条件都是齐次的，于是便可以归结为与方程（I）是同类方程来求解。直接利用（3.2.10）的结论，可以得出方程（3.2.14）的解为， （3.2.15）其中，把代入（3.2.15）即可得到方程（3.2.13）的解， （3.2.16）其中于是方程（II）的解为， （3.2.17）其中于是，根据叠加原理，初边值问题（3.2.11）的解为其中，3.3 非齐次边界条件下齐次化原理的应用在3.1以及3.2小节中，我们讨论了齐次化原理在波动方程的初值以及初边值问题中的应用，即齐次化原理在边界为齐次的情况下是成立的。下面我们简单介绍在波动方程的初边值问题中边界条件是非齐次的情形下，如何转化方程进而求解方程。波动方程初边值问题非齐次边界条件的情形，即 （3.3.1）这里要求是具有二阶连续导数的函数，并且。根据叠加原理，这个问题可以分解为（I）、（II）（3.2小节中）以及（III）所以方程（3.3.1）的解为，。我们在上一节中已经得出了，所以下面我们求解问题（III）的解。其实问题（III）也可以转化为问题（I）和（II）的形式来求解，就是说只要找到一个合适辅助函数把非齐次边界条件转化为齐次边界条件来求解即可。我们令 （3.3.2）容易看出，（3.3.2）就是一个满足方程（3.3.1）的边界条件的函数。接着作变换，引入辅助函数 （3.3.3）它满足非齐次方程以及非齐次初始条件显然，满足齐次边界条件。这样就把问题（III）转化成了一个泛定方程非齐次、初始条件非齐次、边界条件齐次的问题，于是我们可以利用3.2小节中的方法，用齐次化原理对其进行求解。进而得出（3.3.3），这样就可以得到问题（III）的解最后根据叠加原理得出方程（3.3.1）的解。3.4 小结本章内容主要是针对齐次化原理在求解非齐次波动方程的初值以及初边值问题过程中的应用而展开的研究讨论。通过本章的内容，我们可以得知，齐次化原理在求解非齐次波动方程的过程中起到了极大的作用，并且通过对最终解的验证也证明了齐次化原理的可行性。对于波动方程非齐次边界的情形，也可以通过寻找适当的辅助函数，把非齐次边界转化为齐次边界，进而再利用齐次化原理对其求解。此外，齐次化原理也可以推广到一般的线性双曲型偏微分方程的求解中，本文不再予以论述。综上可见，齐次化原理具有很大的研究价值。第4章 热传导方程的求解与齐次化原理的应用在上一章中，我们探讨了齐次化原理在波动方程求解过程中的应用。在二阶线性偏微分方程中，热传导方程也是一个典型的方程，本章开始讨论齐次化原理在求解热传导方程中的应用。类似于波动方程，热传导方程也有初值和初边值问题，并且都有齐次与非齐次的情形。求解热传导方程，一般最常用的是傅里叶变换的方法。然而对于非齐次的情形，傅里叶变换则显得颇为复杂，所以本章就非齐次的情形，提出齐次化原理，对非齐次方程进行转化之后再求解，简化了求解过程。对于齐次情形热传导方程的初值问题，本章用的是傅里叶变换的方法，对于齐次初边值问题，用的则是分离变量的方法。在解决非齐次方程时，运用了齐次化原理对方程进行了转化，依据齐次情形的解，进而求出非齐次方程的解。最后，本章还就在其他边界条件下，齐次化原理的应用给出了概要性的描述。4.1 热传导方程的初值问题与齐次化原理的应用对于热传导方程的初值问题，一般直接使用傅里叶变换就可以求解出来，然而对于非齐次的情形，傅里叶变换就显得复杂得多。所以本节利用齐次化原理将非齐次方程转化为相应的齐次方程的问题来求解，简化了求解过程。首先，从简单的齐次初值问题入手，并利用傅里叶变换对其进行求解。4.1.1 齐次初值问题的求解齐次热传导方程的初值问题具有以下形式， （4.1.1）把视为参数，对进行傅里叶变换，并记利用傅里叶变换性质（傅里叶变换性质见附录2），可以把方程（4.1.1）变换为 （4.1.2）（4.1.2）是一个带参数的常微分方程，容易得出它的解为 （4.1.3）于是，由傅里叶变换的卷积性质可知， （4.1.4）数的傅里叶逆变换为，通过查表可知于是，方程（4.1.1）的解为， （4.1.5）4.1.2非齐次初值问题的求解与齐次化原理的应用上一小节中，我们已经利用傅里叶变换求得了齐次情形初值问题的解，类似于波动方程，下面我们引出齐次化原理，并用它对非齐次方程进行转化进而求出解得表达式。非齐次热传导方程，即 （4.1.6）方程是线性的，故可以分解简化为两个方程，即（1）（2） 在上一节中，我们已经得出了方程（1）的解，下面我们引出齐次化原理求出方程（2）的解，再应用叠加原理最后得出方程（4.1.6）的解。齐次化原理：若是方程 （4.1.7）的解，那么就是方程 （4.1.8）的解。下面验证齐次化原理，在方程（4.1.8）中，、当时，、由含参变量积分的微分公式得， 证明完毕。下面我们求出方程（4.1.7）的解。在方程（4.1.7）中，令，则方程可转化为 （4.1.9）此方程是齐次热传导的初值问题，所以直接引用（4.1.5）的结论可知，方程（4.1.9）的解为，把代入上式就可得（4.1.7）的解， （4.1.10）于是，根据齐次化原理可知，方程（2）的解为， （4.1.11）由叠加原理，可以得出非齐次热传导方程初值问题（4.1.6）的解为，4.2 热传导方程的初边值问题求解与齐次化原理的应用对于热传导方程的初值问题，我们已经在上一节利用傅里叶变换求出了齐次问题的解，并利用齐次化原理得出了非齐次情形的解。类似于这样的一个思想，我们先求解出热传导方程的齐次初边值问题的解，进而利用齐次化原理求出非齐次情形的解。在第三章波动方程的求解中，我们用分离变量的方法求解初边值问题，同样的，在热传导方程中，对于齐次边界的情形我们同样使用分离变量法进行求解。4.2.1 齐次初边值问题的求解齐次初边值问题为 （4.2.1）由于（4.2.1）的边界是齐次的，故我们运用分离变量法对其进行求解。令，其中表示仅与有关的函数，表示仅与有关的函数。于是代入方程，得到，即，其中为常数。于是有，再由边界条件，可知必须满足由于不恒为零，固有，于是，可得到 （4.2.2）1） 当时，（4.2.2）只有平凡解，即；2） 当时，方程的通解形式可以表示为，要使其满足边界条件，则也有；3） 当时，方程具有以下形式的通解， （4.2.3）由可知。由知，为了使，则必须使。于是固有值 （4.2.4）于是得到一组固有函数 （4.2.5）将代入方程，得到其通解于是， （4.2.7）其中，。再根据初始条件知，由傅里叶级数可知，把代入（4.2.7）就可得出原方程的解，4.2.2 非齐次初边值问题的求解与齐次化原理的应用在求出齐次初边值问题后，我们再来考察非齐次的问题。同样的，基于齐次方程的解，我们利用齐次化原理对非齐次方程进行求解。对于非齐次热传导初边值问题， （4.2.8）由于（4.2.8）是线性方程，故可以运用叠加原理进行求解，首先将方程分解为（I）（II）对于方程（I）可以直接利用（4.2.7）的结论 （4.2.9）其中，下边我们用齐次化原理求解方程（II）。齐次化原理如果是方程 （4.2.10）的解，那么就是方程（II）的解。在上一节中，我们经过验证已知，当时，以及成立。于是在这里我们只需验证当时，的值是否为零。当时，故容易得知。所以，在这里齐次化原理成立。下面求解方程（4.2.10）的解。在方程（4.2.10）中，令，则方程可转化为 （4.2.11）直接利用上一节的结论，可知方程（4.2.11）的解为 （4.2.12）其中，再把代入（4.2.12）即可得出方程（4.2.10）的解 （4.2.13）其中于是，由齐次化原理可求得方程（II）的解， （4.2.14）其中，最后，根据叠加原理，可得到方程（4.2.8）的解其中，4.3 其他边界条件情形下齐次化原理的应用在前面两节中，我们分别讨论了热传导方程的初值问题以及初边值问题，且边界条件都是齐次的。其实齐次化原理还可以推广到更多的情形，下面我们概要介绍在其他边界条件下，齐次化原理同样成立。（1）其他齐次边界条件下齐次化原理的应用在4.2小节中，我们给出的齐次边界条件为：。其实在以下三种情况下，齐次化原理同样成立。1） 2） 3）由于以上边界条件都是齐次的，故都可以用分离变量法对相应的齐次方程进行求解，再运用齐次化原理得出非齐次方程的解。（2）非齐次边界条件下齐次化原理的应用非齐次边界条件的非齐次方程， （4.3.1）这里要求有一阶连续导数，且。此方程为线性方程，故可以分解为（4.2.2）中的方程（I）、（II）以及（III）故而方程（4.3.1）的解为我们已经得出了，所以只要求出方程（III）的解即可。类似于波动方程中非齐次边界问题的求解，我们引入适当的变量把非齐次边界转化为齐次边界条件，再运用齐次化原理进行求解。令 （4.3.2）显然，它是一个满足方程（III）中边界条件的函数。再令 （4.3.3）于是它满足于非齐次方程以及齐次初始条件同时，显然满足齐次边界条件。因此根据叠加原理以及齐次化原理求出，进而由（4.3.3）求出方程（3）的解。4.4 小结结 论本论文主要是围绕齐次化原理在线性常微分方程、波动方程以及热传导的求解过程中的应用展开讨论，并且就求解的相关方程证明了齐次化原理的可行性。每一章节的最后都做了相应的推广，概要性地给出在其他情形下齐次化原理的应用。本文主要的工作有，1.分别用常数变易法以及齐次化原理求解出已知初始条件的一阶线性微分方程的解，对比后可知两种方法求出的解是相同的。2.在线性微分方程中，对齐次化原理进行了推广，它在高阶线性微分方程以及方程组的求解中同样适用。3.用达朗贝尔解法求解出了波动方程（用傅里叶变换求解出了热传导方程）齐次情形初值问题的解，引出齐次化原理并对其进行证明，然后应用齐次化原理将非齐次初值问题转化成相应的齐次情形进行求解，再根据叠加原理，得到了非齐次情形下波动方程（热传导方程）初值问题的解。4.利用分离变量法求解出波动方程（热传导方程）齐次情形下初边值问题的解，再应用齐次化原理将非齐次情形的初边值问题进行求解。5.在波动方程、热传导方程的非齐次边界条件下，对齐次化原理进行了概要性推广。当然，由于本身知识欠缺的问题，论文还有很多不足之处：1.在常微分方程的求解中，齐次化原理还可以应用于常系数微分方程的求解本论文没有深入讨论； 2.在波动方程中，本论文只讨论了一维的情形，齐次化原理可以推广到高维非齐次方程的求解中； 3.在热传导方程中，本文只探讨了简单的在非齐次边界条件下，如何将非齐次边界转化为齐次边界，进而利用齐次化原理进行求解，没有更深入的展开。 本论文研究的齐次化原理适用于非齐次高阶线性常微分方程（组）、波动方程以及热传导方程的求解，不乏一般性，在常系数微分方程以及一般的双曲方程、抛物方程中，齐次化原理同样成立。